2025高考数学一轮复习 二次函数与幂函数-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第9讲-二次函数与幕函数-专项训练【原卷版】

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）已知常数aeQ,如图为幕函数尸%。的图象，则a的值可以为（）

2.（5分）（2023德州模拟）幕函数於尸（小+吵5）%—+2加5在区间（0,+8）上单调递增,

则43）等于（）

11

A.27B.9C,-D-

3.（5分）一次函数严办+6（。声0）与二次函数严办2+及+。在同一坐标系中的图象大

致是（）

4.（5分）若函数尸/_3/4的定义域为[0,刈,值域为[4,-4]厕m的取值范围是（）

A.[0,4]B.[|,4]C.[|,+8）D.[|,3]

5.（5分X多选题）幕函数小尸（小一5"+7）%/-6在（o,+8）上单调递增，则以下说法正确

的是（）

A.m=3

B.函数人x）在Gs,O）上单调递增

C.函数小）是偶函数

D.函数於）的图象关于原点对称

【加练备选】

（多选题）已知幕函数作）=（加向巴则下列结论正确的有（）

1

人人央珠

的定义域是R

CJ（x）是偶函数

D不等式於-1）次2）的解集是［-1,1）0（1,3］

6.（5分X多选题）已知函数尸只以+1的定义域为［10,在该定义域内函数的最大值

与最小值之和为-5,则实数/的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（5分汜知幕函数小）的部分对应值如表:

则不等式人恸）S2的解集是.

8.（5分）（2023•南通模拟）已知①/（0）=0;②{4.）="）;③在区间（2,3）上单调递减厕

同时满足条件①②③的一个函数©）=.

9.（5分）已知二次函数X%）=ax2+2x+c（x金R）的值域为［1,+8）,则（+g的最小值

为.

10.（10分）已知二次函数小）的最小值为3,且41月⑶=5.

⑴求人x）的解析式；

⑵若产/⑴的图象恒在直线y=2x+2加+1的上方，求实数加的取值范围.

11.（10分）已知二次函数於）的最小值为1,函数产危+1）是偶函数且次0尸3.

⑴求於）的解析式；

⑵若函数兀0在区间［2a,a+1］上单调，求实数a的取值范围.

【能力提升练】

12.（5分）若幕函数1x）的图象过点（2,&）,则函数产/㈤+1.的最大值为（）

57

A.1B-C.2D-

13.（5分）侈选题）若二次函数於）=加+2办+1在区间［-2,3］上的最大值为6,则a的

可取值为（）

11

A-B-

-33C.-5D.5

14.（10分）现有三个条件:①对任意的都有於+1）加）=2%-2;②不等式於）<0

的解集为31<%<2};③函数y=/（x）的图象过点（3,2）.请你在上述三个条件中任选两

个补充到下面的问题中，并求解.

已知二次函数於）=a12+bx+c,且满足.

⑴求函数1%）的解析式；

（2）设g（x）yx）-吟若函数g（x）在区间［1,2］上的最小值为3,求实数加的值.

2025高考数学一轮复习-第9讲-二次函数与幕函数-专项训练【解析版】

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）已知常数a£Q,如图为幕函数产产的图象，则a的值可以为（）

【解析】选C.由幕函数尸。的图象关于y轴对称知，函数产产是偶函数才非除B,D

选项;再根据幕函数尸产的图象在第一象限内从左到右下降，可得a<0,排除A选

项.

2.（5分）（2023德州模拟）幕函数於）=（苏+吵5）%—+2加5在区间（0,+助上单调递增,

则43）等于（）

11

A.27B.9C,-D-

【解析】选A.由题意彳导m2+m-5=l,

即加2+物6=0,解得m=2或m=-3,

当m=2时，可得函数人劝=炉，

此时函数1%）在（0,+8）上单调递增，符合题意；

当m=-3时,可得益）=/，

此时函数左）在（0,+8）上单调递减，不符合题意，即幕函数小）=/厕43）=27.

3.（5分）一次函数产ax+以W0）与二次函数产aP+bx+c在同一坐标系中的图象大

致是（）

【解析】选C.若a>0,则一次函数严办+6为增函数，二次函数尸加+bx+c的图象

开口向上，故可排除A;若。<0,一次函数严办+6为减函数，二次函数严办2+bx+c的

图象开口向下，故可排除D;对于B,看直线可知A0/>0,从而-2<0,而二次函数图

象的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.

4.（5分）若函数尸Eg的定义域为[0,刈,值域为[4,-4]厕m的取值范围是（）

A.[0,4]B.[|,4]C.[|,+8）D.[|,3]

【解析】选D二次函数图象的对称轴为直线产且心=与43%0）=-4,结合函数

图象（如图所示），可得mG[|,3].

5.（5分X多选题）幕函数小尸（加Z5加+7）%--6在（o,+8）上单调递增厕以下说法正确

的是（）

A.m=3

B.函数｛x）在（-8,0）上单调递增

C.函数小）是偶函数

D.函数於）的图象关于原点对称

【解析】选ABD.因为幕函数小尸（疗一5加+7）/2-6在。+8）上单调递增,

r-t-.(m2-5m+7=1

所以rk_6>0,督得加=3,

所以加)=如,

所以｛-%)=(-%)3=-%3=处)，

故仆AR为奇函数，函数图象关于原点对称，

所以於)在(-8,0)上单调递增.

【加练备选】

(多选题)已知幕函数小尸(加力/,则下列结论正确的有()

1

人人央珠

B^x)的定义域是R

CJ(x)是偶函数

D不等式於-1)次2)的解集是［-1,1)0(1,3］

【解析】选ACD.幕函数兀0=(加+凯力所以加+|=1,所以加=-点所以兀r尸%一司定义

4141

域为(-8,0)U(0,+oo),B错误;因为/(-32)=(-32”F，A正确於尸%一七尸,定义域(-8,0)

11

U(0,+8)关于原点对称，又人㈤司㈤,所以八工)是偶函数,C正确;因为

5

4

小户户,所以仆)在(0,+8)上单调递减，在(-8,0)上单调递增，又危)是偶函数，所以不

等式⑥/闫⑵等价于川11)次2),所以

解得-13<1或1<%S3,D正确.

6.(5分)(多选题)已知函数尸送以+1的定义域为口用,在该定义域内函数的最大值

与最小值之和为-5,则实数/的值可以为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】选BC.函数》=/一以+1是开口向上,对称轴为直线产2的抛物线,

因为函数的定义域为［1月，

所以当x=l时产-2,当x=2时产-3,

因为在［1用内函数的最大值与最小值之和为-5,

所以当尸2时尸1或x=3,所以2</<3.

7.（5分汜知幕函数小）的部分对应值如表:

则不等式人恸）S2的解集是.

【解析】设幕函数为危尸吟则（5=今所以。言,所以危尸枝不等式邓/2等价于

1

1%匹2,所以恸04,所以-4SE4.所以不等式川%法2的解集是［-4,4］.

答案［-4,4］

8.（5分）（2023・南通模拟）已知须0）=0遂人4个月（%）您在区间（2,3）上单调递减厕

同时满足条件①②③的一个函数©）=.

【解析】由题意可知小）的图象关于直线%=2对称，且在（2,3）上单调递减，且人0尸0,

可取兀0=-/+4%满足条件.

答案：-/+4x（答案不唯一）

9.（5分）已知二次函数於）=。%2+2%+。（％£R）的值域为［1,+oo）,则｝+g的最小值

为.

【解析】因为二次函数兀0=qX2+2x+c（x£R）的值域为口,+8）,则4>0,

所以於）mm弋父限1,

即4C-1=4,可得C-±则C>1,

当且仅当c=2时，等号成立，

因此X的最小值为3.

ac

冬1—1塞・J3

10.（10分）已知二次函数小）的最小值为3,且｛1）=/（3）=5.

（1）求八%）的解析式;

【解析】⑴根据题意得二次函数小）的顶点坐标为（2,3）,

设八工）=4（%-2）2+3，然后把点（3,5）代入得4=2,所以1工）=2（%-2）2+3=2%2_8%+11.

⑵若产/㈤的图象恒在直线尸2x+2加+1的上方，求实数机的取值范围.

【解析】（2）y=/（x）的图象恒在直线产2%+2加+1的上方&;3）-（2x+2冽+1）>0恒成立,

令g（x）=2%2-8x+11-（2x+2m+l）=2x2-l0x+10-2m,

若g（.x）=2x2-10x+10-2m>0恒成立，

贝必=（-10）2-4X2X（10-2加）<0,解彳导m<--,

4

即实数m的取值范围为（-8,》.

n.（io分）已知二次函数於）的最小值为1,函数产/a+i）是偶函数，且大o尸3.

⑴求加）的解析式；

【解析】（1）因为函数产於+1）是偶函数，

所以加）的图象关于直线尸1对称.

又因为兀0的最小值为1,

所以可设兀0=冽（%-1y+1,

又人0尸3,所以加=2,

所以_AX）=2（x-1>+1=2X2-4X+3.

（2）若函数於）在区间［2的+1］上单调，求实数a的取值范围.

【解析】⑵要使1工）在区间［2见什1］上单调，

111112a<a+1,演2a<a+l,

AJl2a>1+1<1,

解得或左0,

所以实数a的取值范围为（-8,0］U［i1）.

【能力提升练】

12.（5分）若幕函数1x）的图象过点（2,&）,则函数产/⑴+1-％的最大值为（）

57

A.1B.-C.2D.-

43

【解析】选B.设1工）=%。，

因为小）的图象过点（2,四），

所以A2）=2a=VX则所以於）=代所以产y+1-%=-（后;所以所求最大值为

ZZ4

5

4'

13.（5分）侈选题）若二次函数於）=加+2办+1在区间［-2,3］上的最大值为6,则a的

可取值为（）

11

AB

---

-33C.-5D.5

【解析】选BC显然存0,有兀0=a（%+l）2-a+l,

当。>0时段）在［-2,3］上的最大值为43）=154+1,

由15a+1=6,解得斫|,符合题意；

当a<0时於）在［-2,3］上的最大值为4-1）=1-凡

由l-a=6,解得a=-5,符合题意，

所以a的值为沙-5.

14.（10分）现有三个条件:①对任意的x£R都有兀什1）：/（%）=2%-2;②不等式於）<0

的解集为31<%<2};③函数歹=/(%)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两

个补充到下面的问题中，并求解.

已知二次函数於)=ax2+bx+c,且满