2025届高考数学一轮复习 统计、统计案例 练习

统计、统计案例

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

L可以描述总体稳定性的统计量是()

A.样本平均数B.样本中位数C.样本方差D.样本最大值

2.设随机变量X-B(n,p),且E(X)=4D(X),则p=()

A.-ilB.ilC.-D.3-

4324

3.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7,现用分层随机

抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则n等于()

A.54B.90C.45D.126

4.住宅小区的公共环境对小区居民的生活是非常重要的，好的公共环境离不开小

区物业人员好的管理.某物业公司为了评估下属某小区物业人员的工作，采用随机

抽样的方法调查100名该小区居民对小区公共环境的认可程度(100分制)，评价标

准如表：

75<65W

中位数mm>85m<65

m<85m<75

评价优秀良好合格不合格

若调查所得的分数的频率分布直方图如图所示，则根据居民对小区公共环境的认

可程度，该小区居民对小区物业部门的评价为()

A.不合格B合格C良好D.优秀

5.为研究变量x与变量y之间的关系，根据两变量的5对随机观测数据，作散点图如

图所示，若去掉点A(3,5),则下列四个说法正确的个数为()

•E(7,ll)

矶9,6)

•4(3,5).c(8,4)

•D(10,2)

①相关系数r变小；

②残差平方和变小；

③决定系数R2变小；

④变量x与变量y的线性相关性变强.

A.lB.2C.3D.4

6.在一次独立性检验中，判断两个分类变量A和B是否有关系，得出下表：

AA

B1040

B15a

且最后发现,根据小概率值a=0.1的/独立检验，认为两个分类变量A和B没有关

系，则a的值可以为()

A.40或20B.30或40C.20或30D.10或20

7.一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2,还有一个数没记清，但知道这组数的

平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()

A.9B.10C.12D.-8

8.已知一堆小陶瓷球中A,B两种型号的球的比例为8：2,现通过机器分型号进行

筛选.已知这台机器把A种型号的球筛选为B种型号的球的概率为4%,把B种型

号的球筛选为A种型号的球的概率为2%.经过一轮筛选后，现从这台机器筛选出

来的“A种型号的球”中随机抽取一个，则这个球是真的A种型号的球的概率为

()

A.—B.—C.—D.-

1932501255

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=/则()

A.E(X)=|B,E(2X+2)=YC,D(X)=^D.D(2X+2)=!|

10.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.已知某地6月1日至口2日的PM2.5日均值

分别为36,27』8,25,120,34,45,36,32,36,32,35(单位wg/n?),则下列说法正确的是()

A.这12天中PM2.5日均值的众数为36

B.这12天中PM2.5日均值的中位数为36

C.这12天中PM2.5日均值的第80百分位数是36

D.这12天中PM2.5日均值前5天的方差小于后5天的方差

1L近年来，一股乡村篮球热潮迅速兴起并席卷全网，形成一项特别的篮球赛事一

“村BA”.某篮球俱乐部为了解年轻人爱好篮球运动是否与性别有关，从某公众号

的用户中随机调查了100人，得到如图所示的列联表：

篮球运动

，性别

爱好不爱好

男3020

女1040

则下列说法正确的是()

附:/=----n（ad_bc）------，其中n=a+b+c+d;

卜（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'K।

a0.050.010.001

X”3.8416.63510.828

A.爱好篮球运动的人群中，女生的频率为:

B.男生中爱好篮球运动的频率为|

C.依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为性别与是否爱好篮球运动无关

D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为性别与是否爱好篮球运动有关

12.某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙，两全保险;丙,理财类保险;

丁，定期寿险;戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司

对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的

A.54周岁以上的参保人数最少

B.18~29周岁人群参保总费用最少

C.丁险种更受参保人青睐

D.30周岁以上的参保人群约占参保人群的80%

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.下面是2X2列联表，则表中b的值为.

总计

yiy2

X1a2163

X2223557

总计bc120

14.已知变量x、y的对应值如下表所示:

X02468

yim+l2m+l3m+311

y与x具有较好的线性相关关系，且经验回归方程为y=1.3x+0.6,则m=.

15.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位:号）数据得到的样本频率分

布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5],则样本中平均气温不低于23.5°C的

城市个数为.

频率/组距

0.26

0.2a2

“20.521.522.523.524.525.526.5平均气温/七

16.设随机变量Z满足P（Z=i）=|,i=l,2,3,直线y=$+Z与抛物线y?=6x的公共点的个

数为X,则方差D（X）=.

17.（10分）手机辐射靠SAR值来衡量,SAR值代表辐射对人体影响的大小，是最直接

的测试值,SAR值越低，辐射被吸收的量越少.下面是甲、乙两款手机在6种不同场

景下测试所得的SAR值（单位:W）:

甲:0.81.31.71.91.21.5

乙:1.31.61.31.71.61.5

根据以上数据回答下面的问题:

⑴甲、乙两款手机哪款手机辐射大?

⑵甲、乙两款手机哪款手机辐射更稳定?

18.（12分）高校学生社会实践在现代教育中已经成为一种独特的教育手段.某高校

为了调查本校学生一周社会实践的时间，随机抽取了本校500名参加了社会实践

的学生，将他们一周社会实践的时间（单位:h）按[1,6）,[6,11）,[11,16）,[16,21）,[21,26]分组,

得到的频率分布直方图如图所示.

⑴求a的值，并估计这500名学生一周社会实践时间的平均数（同一组中的数据用

该组区间的中点值代表）；

⑵为进一步了解这500名学生在社会实践中时间的分配情况，从[11,16）两组学

生中，采用分层随机抽样的方法抽取了9人,再从这9人中随机抽取2人，记这2人

中社会实践时间在[11,16）的人数为X,求X的分布列及数学期望.

19.（12分）某科技集团生产A,B两种高新产品的核心部件，下表统计了该科技集团

近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据,结果如下：

研发投入x/亿元12345

收益y/亿元3791011

⑴利用样本相关系数r进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关

系?（当|r|€[0.75,1]时,可以认为两个变量有很强的线性相关性）

⑵求出y关于x的经验回归方程.

（3）该科技集团计划用10亿元对A,B两种部件进行投资，对B部件投资x（lWxW6）

元所获得的收益y近似满足y=0.9x-W+3.7,则该科技集团针对A,B两种部件各应投

入多少研发资金，才能使所获得的总收益P最大?

n

E（xi-x）（yi.y）

11

附:样本相关系数In---—

£（"-为2£（yi-y）2

\i=ivi=l

AS（xi-x）（yi.y）aA

回归直线方程的斜率-=^n----------，截距=y-,

bEpi-弓2bx

i=l

555

参考数据:Z；（xb2=10W（y而2=40.（x田（y而=19.

i=li=li=l

20.（12分）某调查中心为研究学生的近视情况与学生是否有长时间使用电子产品

习惯的关系，在某校已近视的学生中随机调查了120人，同时在该校未近视的学生

中随机调查了120人，得到如下数据:

长时间使用电子产品非长时间使用电子产品

近视5466

未近视3090

⑴依据小概率值a=0.01的7独立性检验，能否判断该校学生患近视与长时间使用

电子产品的习惯有关联？

⑵据调查,该校患近视学生约为49%,而该校长时间使用电子产品的学生约为30%,

这些人的近视率约为70%.现将上述频率视为概率,从每天非长时间使用电子产品

的学生中任意选取一名学生，求他患近视的概率.

附：*（a+b）£；：?；（b+d），其中n=a+b+c+d;

a0.050.010.001

X”3.8416.63510.828

21.（12分）某同学进行定点投篮训练,已知该同学每次投中的概率均为/且各次投

篮之间互不影响.

⑴若该同学进行两次投篮，未中不计分，投中一次计2分，记X为两次总得分，求X

的分布列及数学期望.

⑵已知当随机变量Y服从二项分布B（n,p）时，若n充分大，则随机变量Z=服

VnP（i-P）

从标准正态分布N（0,l）.为保证投中的频率在0.5到0.7之间的概率不低于90%,理

论上该同学至少要投多少次篮？

Y

附:若n表示投篮的次数,Y表示投中的次数,则投中的频率为:;若Z〜N（0,l）,则

P（Z<1.28）=0.9,P（Z<1.645）=0.95.参考数据:①=2.45.

22.（12分）目前小剧场的演出趋向于幽默和娱乐性，以"娱乐大众"为最主要的目标，

部分地区的演出市场较为火爆.已知某小剧场的座位数量是固定的,该剧场管理人

员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价应（单位:元）和上座率［（上座人数与

总座位数的比值）的数据，其中i=l,2,3,4,5,并根据统计数据得到如图所示的散点图：

“上坐率

1_•

0.8-

0.6-•

0.4-・^

0.2-,•

100—200300—400—^^价阮

⑴由散点图判断y=bx+a与y=clnx+d哪个模型能更好地对y与x的关系进行拟

合（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程；

⑵根据⑴所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多.

55

参考数据*=240,产0.5,2x/=365000,二物=457.5;设4=山.

i=li=l

555

贝I£z产27,二zf=147.4,二4%=12.7;e5-2=180,e54=220,e"=600.

i=li=li=l

答案

一1

17.(l)x二±(O.8+1.3+1.7+1.9+1.2+1.5)=1.4(W);

'6

一1一一

X乙=%(1.3+1.6+1.3+1.7+1.6+1.5)=1.5(W),由于X甲<x乙，所以乙款手机的辐射大.5分

(2)s^=i[(0.8-1.4)2+(1.3-1.4)2+(1.7-1.4)2+(1.9-1.4)2+(1.2-1.4)2+(1.5-1.4)2]=—;

222222

s|j=i[(1.3-1.5)+(1.6-1,5)+(1.3-1.5)+(1.7-1,5)+(1.6-1.5)+(1.5-1.5)]=—;

22

因为sj>s：,所以乙款手机辐射更稳定.................................10分

18.(1)由频率分布直方图可得5X(0.02+0.05+0.07+2a)=l,解得a=0.03.

这500名学生社会实践时间的平均数为3.5X0.1+8.5X0.25+13.5X0.35+(18.5+23.5)

X0.15=13.5.......................................................................................................................4分

⑵由题意可得，调查的学生中社会实践时间在［11,16)两组的频率分别为

0.1,0.35,采用分层随机抽样的方法在这两组抽取9人,则人数分别为2,7.

随机变量X的所有取值为0,1,2,

「21plpl7127

P(X=0)=|t=^,P(X=l)=^=-P(X=2)=g=^,

故X的分布列为

X012

177

P

361812

17714

E(X)=0X-+lX-+2X-=-12分

19.(l)x=3,y=8,

E(xi-x)(yi.y)

1919

-^=_=0,95>0,75.

可以用线性回归模型拟合y与x的关系.................................4分

5

As(xi-5)(yi-y)

(2)：b=「

R£(Xi-x)2

i=i

.a=819X3=2.3,

.-.y关于x的经验回归方程为y=1.9x+238分

(3)设B部件的研发投入为x(lWxW6)亿元，则A部件的研发投入为(10-x)亿元,

44

总收益P=1.9(10-x)+2.3+0.9x-J+3.7=-x-^+25,

+j_-8_x3_Q-x)(4+2x+x2)_(2-x)[(x+l)2+3]

p»=_1

X3X3X3X3

令P'=0,得x=2,

当x€[1,2)时,P>O,P单调递增;当xC(2,6],P<0,P单调递减.

当x=2时,P取得最大值22亿元.该科技集团在A,B两种部件上分别投入8亿元、

2亿元的研发资金,可使所获得的总收益P最大，最大值为22亿元........12分

20.⑴零假设为H。:学生患近视与长时间使用电子产品的习惯无关.

2=240X(54X90-30X66^=960^10549>6635=

120X120X84X15691

根据小概率a=0.01的片独立性检验,没有充分证据推断出Ho成立，所以H。不成立,

即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关........................6分

⑵设事件A表示“长时间使用电子产品的学生”，则事件可表示“非长时间使用电

子产品的学生”，事件B表示“任意选取一人，此人患近视”，

贝IP(A)=0.3,P(A)=0.7,P(B|A)=0.7,P(B)=0.49,

P(B尸P(A)•P(B|A)+P(A)-P(B|A)=0.3X0.7+0.7XP(B|A)=0.49,

解得P(B区)=。4即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意选取一名学生，他

患近视的概率为0.4.....................................................................................................12分

21。)设事件A(i=l,2)表示第i次投中,

由题意可知随机变量X的所有取值为0,2,4,

P(X=0)=P(A1)P(A2)=|X|=^:

P(X=2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=|X|+|X1=11，

339

P(X=4)=P(A1)P(A2)=|X|=^

X的分布列为

X024

4129

P

252525

数学期望E(X)=0X/+2X导4*六号.6分

⑵设至少投n次，其中投中的次数Y〜