2025年高考数学复习题型突破训练：数列不等式（原卷版）

第05讲数列不等式

目录

题型一：数列不等式中恒成立问题......................................1

角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题...........................1

角度2：根据数列中的恒成立求参数.................................2

角度3：数列中的恒成立的探索性问题...............................4

题型二：数列不等式中能成立（有解）问题............................7

题型一：数列不等式中恒成立问题

角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题

典型例题

例题1.（2023春•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）数列｛氏｝满足/用=3%,+1-2〃，%=2,数列

2n-\

｛%,｝的前”项和为s,，数列低｝满足2=^^,数列帆｝的前〃项和为

an+2n

（1）求数列｛%｝的前〃项和S.；

（2）求证：4＜；

例题2.（2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，S2=l,

⑴求数列｛2｝的通项公式;

⑵证明：工＜2.

例题3.（2023•全国•高三专题练习）已知j,—J,an+1=sineN,.

（1）判定数列单调性；

⑵判断"”〈羲2019，'"N*是否恒成立.

角度2:根据数列中的恒成立求参数

典型例题

例题1.（2023•河南•校联考模拟预测）数列｛g｝是首项和公比均为2的等比数列，S“为数列｛4｝的前〃

项和，则使不等式/+…成立的最小正整数"的值是（）

A.8B.9C.10D.11

例题2.(2023•安徽合肥•合肥市第八中学校考模拟预测)已知正项数列｛%｝,其前〃项和为S”，且满

M1

足(％+l)2=4(S“+l),数列也｝满足”=(T)用——，其前“项和小设XeN,若(＜彳对任意weN*恒

anan+l

成立，则2的最小值是.

例题3.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模)已知数列［卢与的前n项和

分别为与＜，贝!1$3-4=；若J-7；＜〃〃+1)(〃+2)对于任意"€4恒成立，则实数2的取值范围是

例题4.(2023•云南•校联考模拟预测)已知数列｛与｝的前〃项和为S“，弓=1,S用=25“+2向，”N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设｛£｝的前〃项和为I，若对任意的正整数〃，不等式7；＞苏］；+7恒成立,求实数冽的取

值范围.

例题5.(2023春•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)已知数列｛%｝的前”项和为

邑=2%-2叫

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对一切正整数〃.不等式2rr-n-3＜恒成立.求A的最小值.

角度3：数列中的恒成立的探索性问题

典型例题

例题1.（2023春•广东佛山•高二佛山一中校考阶段练习）已知各项为正数的数列｛%｝的前〃项和为5“,

%=1,且a；+an=2S“eN*）.

⑴设a=/；，求数列低｝的前"项和为小

⑵设4=4"+㈠广为非零整数，〃eN*）,是否存在确定的2值，使得对任意〃eN*,有*〉c,

恒成立•若存在，请求出2的值；若不存在，请说明理由.

例题2.（2023•全国•高三专题练习）设q=l,an+l=^a；-2an+2+Z＞（neN*）.

（1）若6=1,求0，/及数列｛6｝的通项公式；

⑵若6=-1,问：是否存在实数。，使得知＜。＜右用对所有〃eN*成立？证明你的结论.

精练核心考点

1.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知S”是各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和,

Sn+l=2（an+^sXa3a5=64,若而“一S?"-65W0对”eN*恒成立，则实数4的最大值为（）

A.872B.16C.1672D.32

2.（2023春•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校考阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且二±若

乜二2Vl-"恒成立，则实数4的最大值为.

n

3.（2023•四川•校联考模拟预测）已知数列｛4｝的各项均为正数，5,为其前"项和，且a”S,H（"wN*）成

等差数列.则｛%,｝的通项公式为;若n“为数列［片^］的前〃项积，不等式II”,2：+1对

V"eN*恒成立，则实数2的最小值为.

4.（2023•广东广州•统考模拟预测）设S“为数列｛%｝的前〃项和，已知V〃eN*,a">0,a；+l=2a£.

⑴求凡;

(2)求证：a„+l<an.

5.（2023•天津和平,耀华中学校考二模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，%=1,邑=10,数列也｝满

足：4=3,4+］=24-l（〃eN*）.

⑴证明：抄“-1｝是等比数列；

（2）证明:S2n+1-bn>2Sn-bn+x-

小卜，〃为奇数

aa、工日RV/9

⑶设数列｛c,｝满足：c„=-nn+2.证明：

纭,“为偶数yT

b“

6.(2023春•北京海淀•高二北理工附中校考期中)设数列｛0“｝的前〃项和为S”，且满足S“=2%-l(〃eN*

⑴求证数列｛%｝是等比数列;

(2)数列也｝满足加=%+%(〃eN*),且4=3.

(i)求数列｛，｝的通项公式；

(ii)若不等式logz(或-2)〈五小+几对〃eN*恒成立，求实数人的取值范围.

7.(2023・湖北•模拟预测)设对任意”eN*,数列｛%｝满足0〈%<1,%+1<而］，数列匕｝满足的=巴红

%

⑴证明：｛c"｝单调递增，且C“<1；

2n

(2)记”=竺皿-又一，证明：存在常数乙使得、>.</.

%+1%%+2k=l

8.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛七｝的前"项和为E,,4=；,且满足(〃-1)国+2加/用=0

⑴设"=2，证明：低｝是等比数列

n

(2)设Cl/2，数列匕,｝的前〃项和为1,证明：Tn<2

4-a„+2

9.（2023春•北京丰台•高二北京市第十二中学校考期中）已知等差数列｛%｝的前n项和公式为,2a3-a2=5,

S5~S3=14.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵若对V〃eN*，斗-氏+昼0恒成立，求4的取值范围.

10.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的通项公式为"eN+，%=2"-l,设"=—1—,数列也｝的

anan+i

前〃项和为是否存在最小的正整数加？使得对一切〃eN+，7；＜三成立，说明你的理由.

题型二：数列不等式中能成立（有解）问题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛叫满足%=。＞0,%+1=-。：+加.卜€江），若存在实数乙

使｛与｝单调递增，则〃的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

例题2.（2023•全国•高三专题练习）数列｛%｝的通项公式。〃=2〃+3,若"=丁二，是否存在正整数掰，

。一%

使得"=20+1,若存在，求出现的值；若不存在，说明理由

例题3.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在次上的函数/(x)满足/(x+l)=2/(x)+l,当xe[0,l)时,

/(同=式设“X)在区间+(“eN*)上的最小值为.若存在〃eN*,使得4%+1)＜2”7有解,

则实数4的取值范围是.

例题4.(2023•北京通州•统考三模)已知：正整数列｛%｝各项均不相同，〃eN*,数列｛[｝的通项公式

T=4+电+…+4〃

n1+2+---+H

(1)若刀=3,写出一个满足题意的正整数列｛%｝的前5项：

(2)若%=1,%=2,4=?,求数列｛%｝的通项公式；

⑶证明若V左eN*,都有应4”,是否存在不同的正整数"J,使得刀，％为大于1的整数，其中3"＜八

例题5.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，数列｛，｝是各项均为正数的等

比数列，4=8,4-34=4.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)在①见=20,②邑=2%，③3%-%=%，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

问题：已知%="，，是否存在正整数M使得数列]!的前左项和l＞三？若存在，求人的

最小值；若不存在，说明理由.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

精练核心考点

1.（2023・上海•高三专题练习）已知数列｛%｝满足q=1,,存在正偶数〃使得

（a„-2）（a„+1+A）＞0,且对任意正奇数〃有心「幻（。用+㈤＜0,则实数彳的取值范围是（）

A.[1]B,18厂”（1,+8）C.HJD.

2.（2023・全国•高三专题练习）设数歹£