辽宁省抚顺市2025届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）

辽宁省抚顺市2025届高三第一次模拟考试

数学(理)试题

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知复数z满意z(l+i)=l+2i(i是虚数单位)，则复数z的模|z|=(

A啰R回「回

/k.--D.------D.

2244

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出z的表达式，然后依据除法的运算法则进行运算，最终求出z的模。

【详解】Vz(l+i)=l+2i,

.1+2i(1+2i)(l-t)3+i31.

••z=-----=------------=----=—F—i9

1+i(1+222

故|z|=+；=故本题选B.

【点睛】本题考查了复数求模问题。

2.已知集合4={叩丁=/有},F={x|(x+l)(x-2)<0],则4nB=()

A.(-1,1]B.(1,2)C.(-1,1)D.(0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别求出集合4和B,由此能求出4CB。

【详解】.集合4={久|丫=^^}={久[%<1},

B={x\(x+1)(%-2)<0}={x|-1<x<2},

/.4nB={x|-1<x<1]=(-1,1).故本题选C.

【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础学问，考查运算求解实力。

3.在等差数列{册}中，前兀项和S.满意$9-$2=35,则。6的值是()

A.5B.7C.9D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

依据等差数列性质求。6的值.

【详解】因为Sg-S2=35,所以。3++。6+。7+。8+。9=35,即7a6=35,。6=5,选

A.

【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解实力，属基础题.

4.军训时，甲、乙两名同学进行射击竞赛，共竞赛10场，每场竞赛各射击四次，且用每场击

中环数之和作为该场竞赛的成果.数学老师将甲、乙两名同学的10场竞赛成果绘成如图所示

的茎叶图，并给出下列4个结论：(1)甲的平均成果比乙的平均成果高；(2)甲的成果的极差

是29；(3)乙的成果的众数是21；(4)乙的成果的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的

个数为()

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

依据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可推断选项.

【详解】依据茎叶图知甲的平均成果大约二十几，乙的平均成果大约十几，因此(1)对;

甲的成果的极差是37-8=29,(2)对；乙的成果的众数是21,(3)对；乙的成果的中位数是

V—=18.5.(4)错，选C.

【点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析推断与求

解实力，属基础题.

5.从6名高校生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人，组成4人学问竞赛代表队,

则不同的选法共有（）

A.15种B.180种C.360种D.90种

【答案】B

【解析】

【分析】

先从6名高校生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，问题得以解决.

【详解】先从6名高校生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人选2人,故有462c4z=180

种，故本题选B.

【点睛】本题考查排列、组合的应用，留意要先有依次选取，再进行组合.解决此类问题的

关键是推断问题与依次有没有关系。

(X+2y-240

6.实数居y满意约束条件|x-y+1>0则z=2x-y的最大值是（

(x—2y—2〈0

A.-5B.—6C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解

化z=2x-y化为y=2工-z,由图可知，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴上截距最小，z有

最大值为：4.故本题选C.

【点睛】本题考查简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法。

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积.

【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示,

1

故几何体的体积为2X23=4.

故选：B.

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，依据三视图推断几何体的形态是解题的关

键，属于中档题.

8.执行如图的程序框图，则输出的S的值是()

［开始］

S=0.?=1

S=S+2,

」i=i+l

/输出S/

结束

A.126B.-126C.30D.62

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的

运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，可得答案.

【详解】模拟程序的运行，可得：

S=0,i=1

满意条件iW5,执行循环体，S=2,i=2

满意条件iW5,执行循环体，S=6,i=3

满意条件i45,执行循环体，S=14,i=4

满意条件i<5,执行循环体，S=30,i=5

满意条件iW5,执行循环体，S=62,1=6

此时，不满意条件”5,退出循环，输出S的值为62.故本题选D.

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正

确的结论。

9.已知函数/'(x)=sEx-cos卜+3,若在区间［0,，上a恒成立，则实数a的最大值是

【答案】A

【解析】

【分析】

干脆利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒

成立问题的应用求出结果

71\3,37T

【详解】函数/(%)=sinx-cosix+—=-sinx--cosx=^3sin(^x——),

6,226

।-7T717171\l3厂.，nJ3

由于：04久4彳，故：\^/3sm(x--)<—.

36662

当工=0时，函数的最小值为-阿

2

71

由于在区间［0目上/⑸2a恒成立，

故：a<-0,所以a的最大值为-宣故本题选A.

22

【点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主

要考查学生的运算实力和转化实力。

10.在三棱锥产一ABC中,已知PA=4B=4C,ABAC=APAC,点D,E分别为棱BC,PC的中点,

则下列结论正确的是()

A.直线DEJ.直线4。B.直线DEJ.直线P4

C.直线DEJ.直线4BD.直线DEJ.直线AC

【答案】D

【解析】

【分析】

画出图形，取PB中点G,连接AG,CG,证明PB1平面C4G,则PB14C,再由D,E分别为棱BC,

PC的中点，可得DE//PB,从而得到DE_LAC.

【详解】由题意，如图所示，因为P4=AB=4C,ABAC=/.PAC,

：.\PAC^BAC,得PC=BC,取PB中点G,连接AG,CG,

贝IJPB1CG,PBLAG,

又：AGcCG=G,平面&4G,贝！］PB_LAC,

,：D,E分别为棱BC,PC的中点，

：.DE//PB,贝!|DEJ_4C.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的

判定与应用，其中解答中正确驾驭空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定定

理与性质定理是解答额关键，着重考查空间想象实力与思维实力，属于中档题.

11.已知双曲线-----V=1®>0)的右顶点为4,0为坐标原点，若［04<2,则双曲线C的离

a2+l

心率的取值范围是()

A.(g,+8)B.C.D.(1,^/2)

【答案】C

【解析】

【分析】

求出右顶点4的坐标，由|。4|<2,可以得到a?+l的取值范围，求出离心率的表达式，利用不

等式的学问，求出双曲线C的离心率的取值范围。

/1_______

【详解】双曲线-----y2=i(a>o)中，右顶点为做加2+1,0),

Q+1

--------C11

***\OA\=Ja(2+1<2,1<a2+1<4;・1>----->T

Q+1一

•C2=+1+1=Q.2_|_2，

j+1,即B<e<72,故本题选C.

【点睛】本题求双曲线离心率的取值范围。

12.若函数6%)=，(，_2x)-a有三个零点，则实数a的取值范围是()

A.[(2-2遮)e$,(2+26中一正]B.《2-2病理,(2+2回艰)

C.((2-2隹)/,0)D.(0,(2+2正*-的)

【答案】D

【解析】

【分析】

由人乃=0,利用参数分别法，然后构造函数，求出函数的导数，探讨函数的极大值和微小值,

利用数形结合进行求解即可.

【详解】由f(x)=ex(x2-2x)-a=0得a=ex(x2-2K),

设g(x)=ex(x2-2x)>则g'(x)=ex(x2-2)>

由g1(x)>0得久2-2>0得久>也或x<-A/2,此时函数g(x)为增函数，

由g1(x)<。得久2一2<0得-四<x<隹，此时函数g(x)为减函数，

即当久=也时，9。)取得微小值g(也)=/(2-2亚)，

当#=-也时，g(x)取得极大值g(-必=葭隹(2+2必，

当XT-OOJ(X)TO,且f(x)>0,函数图象如下图所示：

要使fO)有三个零点，

贝1]0<。<6砥2+2必，

即实数a的取值范围是(03一机(2+2物)，故本题选D.

【点睛】本题主要考查函数方程的应用，利用参数分别法，构造函数，探讨函数的极值，利

用数形结合是解决本题的关键.

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参与社区志愿者服务,若用f表示抽取的志愿

者中女生的人数，则随机变量f的数学期望伏。的值是.(结果用分数表示)

【答案w4

【解析】

解：用随机变量&表示选出的志愿者中女生的人数，C可取0,1,2,

当&=0时，表示没有选到女生；当&=1时，表示选到一个女生；当g=2时，表示选到2个

女生，

C2

：.?(€=0)二="10”/21,

g

P(g=1)=C5c21,

C?

c2

P(g=2)=卫〃1〃/21,

=0X10/21+1X10/21+2X1/21="4'/7.

故答案为：4/7

33

14.若5勿卜一'乃)=则cos2a的值是.

7

【答案】--

【解析】

【分析】

先依据诱导公式化简sE(a-1元)，再依据二倍角余弦公式求结果.

【详解】因sin(a-=cosa,所以cosa=1,

因此cos2a=2cos2a-1=2x_1=一京

【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解实力，属基础题.

1

15.已知点尸是抛物线C：/=4久的焦点，点M为抛物线C上随意一点，过点M向圆0-1)2+/=2

作切线，切点分别为4B,则四边形AFBM面积的最小值为.

【答案】j

【解析】

【分析】

画出满意题意的图象，可得M与原点重合时，四边形4FBM面积最小，进而得到答案.

【详解】如下图所示：

圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM的面积最小，则MF最小，

即M距离准线最近，故满意条件时，”与原点重合，

&

此时MF=1,BF=BM=],

此时四边形面积S=2SABMF=2X2X^X^J,故答案为：

△BMk22222

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简洁几何性质。

19

16.设数列｛册｝是递减的等比数列，且满意a2a7=3，%+%=7则…。2九的最大值为

24

【答案】64.

【解析】

【分析】

9

利用等比数列的性质可以得出a2a7=。3a6，与。3+。6=：联立，解出。3，。6的值，数列｛4｝是

4

递减的等比数列，可以求出q的值，利用单调性就可求出2a2n的最大值。

19

【详解】设递减的等比数列｛4｝的公比为q,丁。2a7=亍%+。6=7

L4

・19

・・。

Q2a7=5Z=43+4=7

1

角牟得。3=2,%=[.

。。

36]13

/.q=一=-,.'.q=a1=一=8,a2=4,a4=1.“25时，anE(0,1).

a382q2

/.a1a2a3...a2n<2a3a4=8x4x2xl=64.

%a2a3…a2n的最大值为64.

故答案为：64.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理实力与计算实力。

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C的对边，若a=10,角8是最小的内角，且

3c=AasinB+3bcosA.

(I)求sEB的值；

(II)若△ABC的面积为42,求b的值.

3

【答案】(I)sinB=--t(II)b=6也

【解析】

【分析】

(I)由正弦定理，三角形内角和定理可得+8)=4sinAsinB+3sinBcosA,结合s出4>0,

整理可得3cosB=4sEB,又sEB>0,利用同角三角函数基本关系式可求宣九8的值.

(II)由(I)及三角形的面积公式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，依

据余弦定理可求b的值.

【详解】(I)由3c=4as出3+3bcos4、4+8+C=兀，及正弦定理可得：

3sm(i4+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,

由于sim4>0,整理可得:3cosB=4sinB,

又sinB>0,

3

因此得：sinB=-.

3

(II)由(I)矢口5出3=有,

又△4BC的面积为42,且。=10,

13

从而有］Xyx10c=42,解得c=14,

又角B是最小的内角，

Ti34

所以^sinB=得cosB=1

4

由余弦定理得/=142+102-2X14X10X-=72,即6=6也.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形

的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想。

18.“微信运动”是手机4PP推出的多款健康运动软件中的一款，高校生M的微信好友中有400

位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男

20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数状况可分为五个类别：40~2000

步，（说明：“0〜2000”表示“大于或等于0,小于2000”，以下同理），B、2000〜5000步，

C、5000〜8000步，D、8000〜10000步，E、10000〜12000步，且4、B、C三种类别的人数比

例为1:4:3,将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频

率分布直方图.

参与者超越者合计

男20

女20

合计40

若某人一天的走路步数大于或等于8000,则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参

与者”.

(I)若以高校生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的全部

微信好友每天走路步数的概率分布，试估计高校生M的参与“微信运动”的400位微信好友

中，每天走路步数在2000〜8000的人数；

(II)若在高校生M该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进

行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女

性微信好友被采访的概率；

(III)请依据抽取的样本数据完成下面的2x2列联表，并据此推断能否有95%的把握认为“认

定类别”与“性别”有关？

37

【答案】(1)260;(II)—;(III)见解析.

42

【解析】

【分析】

(I)所抽取的40人中，该天行走2000〜8000步的人数：男12人，女14人，400位参与“微

信运动”的微信好友中，每天行走2000〜8000步的人数约为：400x||=260人；

(II)依据分层抽样可得男6人，女3人，再依据古典概型的概率公式可得；

(III)依据列联表计算出K2的观测值，结合临界值表可得.

【详解】(I)所抽取的40人中，该天行走2000〜8000步的人数：男12人，

女14人，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000〜8000步的人数

26

约为：400x—=260人；

40

(II)该天抽取的步数在8000〜12000的人数：男8人，女4人，

再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人

禺《+《心+隽*37-n或37

所求概率P=----------------------=瓦(或p=1-=

C/QCQ

(III)完成2x2列联表

参与者超越者合计

男12820

女16420

合计281240

、,招740(12x4-8x16)2

计算代=」-------------1x1.905,

20X20x28x12

因为1.905<3.841,所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关,

即“认定类别”与“性别”无关

【点睛】本题考查了独立性检验。

19如图,在正三棱柱ABC-4小心中,AB=AA1=2,E,F分别为4B,的中点.

(I)求证：BiE//平面4CF；

(II)求CE与平面4CF所成角的正弦值.

【答案】(I)见解析；(II)中.

19

【解析】

【分析】

(I)取AC的中点M,连结EM,FM,推导出四边形EMFBi为平行四边形，从而%E//FM,

由此能证明/E//平面4CF.

(II)取BC中点。，连结40、OF,以。为原点，分别以。8、4。、OF为支轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面4CF所成角的正弦值.

【详解】(I)证明：取4c的中点“，连结EM,FM,在A4BC中,

1

因为E、M分别为AB,AC的中点，所以EM//BC且EM=]BC,

又产为名。1的中点，B1G//BC,

//BC且B/=|fiC,即EM//且EM=B/,

故四边形EMFBi为平行四边形，

又MFu平面ACF,名尔平面ACF,

.•.%£•//平面4CF

(II)取BC中点。，连结A。、OF,

贝（jAOlBC,OF_L平面ABC

以。为原点，分别以。氏40、OF为支轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系

1B

则有4(0,-V3,0),B(l,0,0),C(-l,0,0),E(-,-与0),F(0,0,2),

得/==(1,0,2),仅=(1,-点,0)设平面4CF的一个法向量为G=®y,z)

则｛22:〉即匕滤二3令z=N，厮=(2圾2,-同

设CE与平面4CF所成的角为仇

Ef4、,由2^/19

贝!]s出。=cos(CE,n)=：-=---,

阳•同19

所以直线CE与平面4CF所成角的正弦值为3”.

19

【点睛】本题考查线面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想。

Xy

20.已知点M(2,l)在椭圆C:”+-=l(a>b>0)上，A,B是长轴的两个端点，且疝4•麻B=—3.

QND

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)已知点E(1,O),过点M(2,l)的直线2与椭圆的另一个交点为N,若点E总在以MN为直径的

圆内，求直线/的斜率的取值范围.

221

【答案】(I)上+匕=1；(II)(—2+8).

826)

【解析】

【分析】

22I2

(I)由题意可得Q2=8,又点M(2,l)在椭圆C上，即万+二=1,即可求出椭圆方程,

8b‘

(II)联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线，斜率的取值范围.

【详解】(I)由已知可得(-Q-2,-l>(a-2,-1)=-3,解得Q2=g,

22I2

又点M(2,l)在椭圆C上，即万+二=1,解得后=2，

8/

22

所以椭圆C的标准方程为上+匕=1;

82

(II)设N(xpy。当直线，垂直于x轴时，点E在以MN为直径的圆上，不合题意，

因此设直线，的方程为y=fc(x-2)+1,

代入椭圆方程消去y得(4/+1)%2+8(fc-2fc2)x+4(4/一轨―1)=0)

222

4(4fc-4fc-l)Q2(4k-4k-l)-4k-4k+1

则有24=八_-----L,即久1=7—.....L,y1=——------,

4k2+14k2+14fcz+1

且判别式A=16(2k+l)2>0，即kK—，又点E总在以MN为直径的圆内，

所以必有而■EN<0,即有4+为一1<0,

..小、/p14k2-8k-*3—4k^—4k+1,z1

将工I，代入得一Z-----+-----1------<0,解得k>一7,

4k2+14k2+16

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解

答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积

进行求解，此类问题易错点是困难式子的变形实力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻

辑思维实力、运算求解实力、分析问题解决问题的实力等.

21.已知函数f(久)=Inx-ax^a6R).

(I)探讨函数/•(£)的单调性；

(II)证明：ex-e2lnx>0(e为自然对数底)恒成立.

【答案】(I)见解析；(II)见解析.

【解析】

【分析】

(I)求出函数的导数，通过探讨a的范围，求出函数的单调区间即可；

xX

(11)取。=-,有"40,即仇》工-，求出出；Tex(当且仅当％=?时等号成立)，问题转

eee

x

化为证明/之"在(0,+8)上恒成马上可，设9(町=e?》>0),依据函数的单调性证明即可.

1_ax

【详解】(I)解：函数f(x)的定义域为(0,+8),/,(%)~~~a=~—(x>0)

当aV0时，/(久)>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)内单调递增；

当a>o时，令r(x)=o,得工=工，所以当工e仅，3时ro)>o，ro)单调递增；

当％C(；+8)时f'(x)V0,/(%)单调递减，

综上所述，当"0时,/(%)在(0,+8)内单调递增；

当a>0时，f(x)在沱)内单调递增，在g+8)内单调递减

(II)证明：由(1)可知，当a>0时，/(%)=Inx-ax<Zn--1

a

xx

特殊地，取。=-,有仇工-―《0,即仇,

eee

所以)久W"(当且仅当欠=。时等号成立)，因此，要证仇第>0恒成立，

只要证明，之e%在(0,+8)上恒成马上可

、exex(x-1)

设g(%)=—(九>。>则。'(久)=—2—，

xX

当xe(0,l)时g,O)<0,g(x)单调递减，

当久e(l,+8)时g'(x)>0,g(x)单调递增.

故当x=l时，g(x)mm=9(1)=e,即皇2ex在(0,+8)上恒成立

因此，有e*之ex'e?伍无，又因为两个等号不能同时成立，

所以有ex-e21nx＞0恒成立

、e?X6X—e2

或：令g（x）=e"-e2）久（久＞