2024-2025学年人教版数学八年级上册 全等三角形 单元试题

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题

一、单选题（每题3分，共30分）

1.如图，AC与相交于点0,Z1=Z2,若用“SAS”说明ABC^BAD,则还需添加的

一个条件是（）

A.AD=BCB.NC=NDC.AO=BOD.AC^BD

C.点尸到。4、的距离不相等D.ZAOP=ZBOP

3.如图，AB^AC,若要补充一个条件使ABE^ACF,则下列条件中不符合的是（）

A.NB=NCB.BE=CFC.AE=AFD.Z.BFC=Z.CEB

4.如图，已知3E=CF,ZACB=/FED,那么添加下列一个条件后，仍无法判定

△ABC二的是()

()

A.ZB=ZFB.AB=DFC.AC=DED.AB//DF

5.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm,一条线段PQ=AB,P,Q

两点分别在线段AC和AC的垂线"上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、尸、

。为顶点的三角形全等，则"的值为（）

A.6cmB.12cmC.12cm或6cmD.以上答案都不对

6.如图，在VABC中，BE,CE分别是—ABC和/ACB的平分线，过点E作。/〃BC交48

于。，交AC于尸，若AB=6,AC-4,则AD77周长为（）

ZBCB'=3O°,则/AC4'的度数为()

A.20°B.30°C.35°D.40°

8.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的

玻璃，那么，最省事的方法是（)

带②去C.带③去D.带①去和带②去

9.如图，点P是VA2C的三个内角平分线的交点，若VABC的周长为18cm,面积为27cm?,

则点尸到边8C的距离是（）

C.6cmD.8cm

10.如图1,ZBAD=90°,AB=AD,过点8作BC±AC于点C,过点。作DE1AC

于点E,由/1+/2=/2+/。=90,得Z7=ZD.又ZACB=ZAED=90。,可以推理

得到AABC^ADAE,进而得至〕JAC=£>E,BC=AE,我们把这个数学模型称为“K字”模型

或“一线三等角”模型：［模型应用］如图2,且AE=AB,3CLCD且3C=CD,请

按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（）

图1图2

A.3.74B.2.42C.0.48D.0.84

二、填空题（每题3分，共30分）

11.如图，△ABC四△DEF,点8、F、C、E在一条直线上，BE=5,BF=1,则

CF=

12.如图，在VABC中，AO1BC于Z),CE1AB于E,AD与CE交于点P,AD=CD,

BC=8,AF=4,则50的长为

A

13.如图，在VABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5,AC=3,则AD的取值范围是

14.如图，在RtAABC中，ZA=90°,BD平分/ABC,交AC于点£>.若AB=8,AD=6,

则点。到BC的距离是.

Ac

15.如图，AABC^AADE,若NE=70。，ZD=30°fZCAD=35°,则44Z)=____.

?

16.如图，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BEICE,垂足分别为D,E,AD=24cm,

DE=18cm,求BE=_____cm.

17.三角形的三边为3、5、x,另一个三角形的三边为y、3、4,若这两个三角形全等,

则x+y=

18.如图，RtZiABC中，ZC=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交3C于点O,CD=2,

尸为AB上一动点，则PD的最小值为.

19.如图，在册ABC中，/C=90。，8。平分/ABC,若AC=5,AZ)=3,则点。至必8的

距离是_________

20.如图，/A=/5=90。，AB=60cm,E,F分别为线段A8和射线80上的一点，若点

E从点3出发，以2cm/s的速度向点A运动，同时点P以4cm/s的速度从点3出发沿射线

的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G,使AAEG与ABEF全等,

则AG的长为

cE—B

三、解答题(共60分)

21.如图，在VA3C和DEF中,边AC,DE交于点H,AB//DE,AB=DE,BC=EF.

⑴若NB=55。，ZACB=100°,求NSE的度数;

(2)求证：AABC”ADEF.

22.如图，已知AB=DE,AF^DC,BC=EF.

(l)AABC^ADEF；

(2)AB//DE,BC//EF.

23.如图，AB,CD交于点0,且AC〃应），AC=BD.求证：AOC^BOD.

DH

24.如图，ZB=ZC=ZEFD=90°,E是BC的中点，DE平分工ADC.

⑴求证：AE是NIMB的平分线:

⑵求证：AB+CD=AD.

25.如图，已知点E是VA5C内两点，S.ZBAE=ZCAD,ZABC=ZACB,AB=AC,

AD=AE.

⑴求证：AABD沿AACE；

(2)延长80、CE交于点、F,若NS4c=86°,ZABD=20°,求/3FC的度数.

26.已知AD是VABC的高，过A作一直线，E是直线上一点，F是43上一点，连接£F,

AB=ZAEF+AAFE.

⑵若AB=AE,EF=AC,BC=5,△ADC的面积是△AEF面积的3倍.求线段AF的长;

(3)若=EF=AC,BC=mAF(m>1),请直接写出AABD的面积与*ACD面积的比

值(用含有机的式子表示).

参考答案:

1.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意即可求解，正确识图是解题的关键.

【详解】解：在VABC和中，由题意可知，Nl=/2,AB=BA,

二若用“SAS”说明ABC^,BAD,则还需添加的一个条件是AC=如，

故选：D.

2.C

【分析】本题考查角平分线的尺规作图，涉及角平分线的定义、角平分线的性质等知识，根

据题中尺规作图即可得到答案，熟记角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键.

【详解】解：由题意可知，图中尺规作图是作/AO3的平分线，

A、有尺规作图可知P。为/AQB的平分线，说法正确，不符合题意；

B、由尺规作图可知OC=OD,说法正确，不符合题意；

C、由角平分线性质可知点尸到Q4、的距离相等，选项原说法错误，符合题意；

D、由角平分线定义可得=说法正确，不符合题意；

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.ABE

和△ACT中，已知的条件有AB=AC,N4=NA；要判定两三角形全等只需条件一组对应

角相等，或=或=者即可.可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能

判定两个三角形全等的.

【详解】解：：AB=AC,2A=/A,

；.A、当/B=NC时，符合ASA的判定条件，故A正确，不符合题意；

B、当3E=C5时，给出的条件是SSA,不能判定两个三角形全等，故B错误，符合题意；

C、当AE=AF时，符合SAS的判定条件，故C正确，不符合题意；

D、当=阳时，180°-ZBFC=180°-ZCEB,即=符合AAS的

判定条件，故D正确，不符合题意；

故选：B.

4.B

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据3E=C5求出3C=FE,根据平行线的性

质求出=再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.

【详解】解：BE=CF,

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=FE,

A.NB=/F,BC=FE,ZACB=ZFED,符合全等三角形的判定定理ASA,能证明

△ABC冬ADFE,故本选项不符合题意；

B.AB=DF,BC=FE,ZACB=ZFED,不符合全等三角形的判定定理，不能证明

△ABC冬ADFE,故本选项符合题意；

C.BC=FE,ZACB=ZFED,AC=DE,符合全等三角形的判定定理81S,能证明

AABC^ADFE,故本选项不符合题意；

D.ABDF,

:.ZB=ZF,

ZB=ZF,BC=FE,ZACB=NFED,符合全等三角形的判定定理AM,能证明

AABC^ADFE,故本选项不符合题意；

故选：B.

5.C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键.先根据

题意得到/BC4=/PAQ=90。，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、。为顶点的三角

形全等，只有‘ACB丝QA尸和一AC3区PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即

可.

【详解】解：是AC的垂线，

ZBCA=ZPAQ=90°,

•..以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、。为顶点的三角形全等，只有“ACB多QAP和

一ACBaPA0两种情况，

当“AC3之。4尸，

/.AP=BC=6cm；

当之一PA。，

AP=AC=12cm,

故选：C.

6.D

【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明

ZABE=ZDEB,ZACE=NFEC,从而证明50=。产，CF=EF,从而求出的周

长即可.

【详解】解：QBE,CE分别是/ABC和/ACB的平分线

ZABE=ZCBE,ZACE=NBCE

DF//BC,

NDEB=NCBE,ZFEC=NBCE

ZABE=ZDEB,ZACE=ZFEC

:.BD=DE,CF=EF,

:._ADF的周长=AD+DE+EF+AF

=AD+BD+AF+CF

=AB+AC

=6+4

=10,

故选：D.

7.B

【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质.根据全等的

性质得到ZACB'=ZACB,然后根据等式的性质即可求解.

【详解】解：'/AACB^AA'CB',

：.ZACB'=ZACB,

：.ZA'CB'-ZACB=ZACB-ZACB,

：.ZAC4'=ZBCB'=30。.

故选B.

8.A

【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破损部分的边角，得到原来三角

形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解.

【详解】解：第③块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；

第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第①块，不但保留了原三角形的两个角还保留了两个角的夹边，符合判定定理“ASA”，所

以应该拿这块去.

故选：A.

9.A

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解

题的关键.过点P作尸于。，PELBC于E,于E根据角平分线的性质

得到PE=尸尸=尸£),根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】解：过点尸作于。，PEL3c于E,尸尸，AC于F如图，

:点尸是VABC的内角平分线的交点，

/.PE=PF=PD,

又VABC的周长为18cm,面积为27cm

SABC=^ABPD+^BCPE+^ACPF=^PE(AB+BC+AC),

：.-xl8xPE=27

2

PE=3cm

点P到边BC的距离是3cm

故选：A.

10.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积的计算，由“K字”模型可知,

EBA-.AGB,BG%CHD,则有EP=AG=6,PA=BG=3,BG=CH=3,

GC=DH=4,然后根据割补法求面积即可；

【详解】解：由“K字”模型可知，EBA%cAGB,BGC空CHD,

：.EB=AG=\A,BA=BG=Q.6,BG=CH=0.6,GC=DH=0.8,

BH=BA+AG+GC+CH=0.6+1A+O.8-hO.6=3Af

.•图中实线所围成的图形的面积为：

S梯形EBHD-SEBA~ABG~BGC~CHD

1

=­X(1.4+0.8)x3.4-2x—x1.4x0.6-2x—x0.6x0.8

2

=2.42.

故选：B；

11.3

【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出陟=EC是解题关键.

直接利用全等三角形的性质得出5C=EF,进而得出跖=EC,即可得出答案.

【详解】解：・.・AABC%ADEF,

JBC=EF,

：.BF=EC=1,

：.FC=BE-BF-EC=5-1-1=3.

故答案为：3.

12.2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识.先证4W=ZFCD,

再证明△ABE四z\C⑦(ASA),由全等三角形的性质得跳>=*，AD=CD,即可得出结

论.

【详解】解：AD1BC,CE1AB,

ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

:.NBAD+ZB=NFCD+ZB=90。,

:.ZBAD=ZFCD,

在和MFD中,

ZADB=ZCDF

<AD=CD,

ZBAD=ZFCD

AABD也△CFD(ASA),

:.BD=DF,AD=CD,

:.AF+DF=BC-BD,

BC=8,AF=4,

..4+BD=8-BD,

.\BD=2.

故答案为：2.

13.1<AD<4

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系.画出图形，延长AD至E,

^DE=AD,连接BE,证明ABZ汨名△CDA得到3E=AC,利用三角形的三边关系即可解

答.

【详解】解：如图，延长AD至E,使=连接8E,

：A。为3c边上中线,

BD=CD,

在VBDE和CZM中，

BD=CD

<NBDE=ZCDA,

DE=AD

BDE%.CDA（SAS）,

：.BE=AC,

在iABE中,AB—5,BE—AC-3,

/.5-3<AE<5+3,即2<AE<8,

/.1<AD<4.

故答案为：1<AD<4.

14.6

【分析】本题考查角平分线的性质.熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键.首先过点

D作DELBC于E,由在及ABC中，/A=90。，BD平分NABC,根据角平分线的性质，

即可得DE=AD,继而求得答案.

【详解】解：过点。作OEL3c于E,

A

•在必ABC中，/A=90。，

BA1.AC,

平分/ABC,DEIBC,

：.DE=AD=6,

.,.点。到BC的距离是6.

故答案为6.

15.45。/45度

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得

到/ZME=80。，再由全等三角形的性质得到44C=ZZME=80。，贝I]

ABAD=ABAC-ACAD=45°.

【详解】解：：/E=70°,/。=30°,

/.ZDAE=180°-ZE-ZD=80°,

AABC^/XADE

：.ZBAC=ZDAE=S0°,

,：ZC4D=35°,

ZBAD=ZBAC-ACAD=45°,

故答案为：45°.

16.6

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明_ACDaCBE,即可得到AD=CE=24cm,

BE=CD=CE-DE=6.

【详解】VZACB=90°,

・•・ZACD-^ZBCE=90°,

VAD1CE,BE.LCE,

：.ZE=ZADC=9Q°fZACD+ZZMC=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

•・・AC=BC,

：.△ACD也△CBE(AAS),

AAD=CE,BE=CD,

*.*AD=24cm,

AD=CE=24cm,

IDE=18cm,

・•・BE=CD=CE-DE=24-lS=6cm,

故答案为：6.

17.9

【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.根

据全等三角形的对应边相等分别求出无、》计算即可.

【详解】解：•••两个三角形全等，

♦♦无=4,y=5,

x+y=4+5=9,

故答案为：9.

18.2

【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解

答本题的关键.过点。作于点尸，由尺规作图痕迹可知，AE为/BAC的平分线，

则CD=£＞尸=2,由图可知，当点尸与点厂重合时，PO取得最小值，即可得出答案.

【详解】解：过点。作于点尸，

由尺规作图痕迹可知，AE为/8AC的平分线,

ZC=90°,

:.CD=DF=2,

P为A8上一动点，

,当点P与点尸重合时，尸。取得最小值,

.•.PD的最小值为2.

故答案为：2

19.2

【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离：过直线外一点作直线的垂线，则垂

线段的长叫这个点到直线的距离，掌握角平分线的性质是解题的关键.

作于E,根据AC与AD得到CD的长，由BO平分/ABC,根据角平分线的性到

DE=DC=2即可得到答案.

【详解】

解：如图，作DE工AB于E,

:.CD=AC-AD=5-3=2,

Q3D平分/ABC,

而NC=90°,

/.DE=DC=3,

.・•点D到A3的距离是2.

故答案为：2.

20.20cm或60cm

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键.

设运动时间为fs设BE=2fcm,BF=4tcm,A£=（6。—2f）cm,因为NA=NB=90。，使

△AEG与ABEF全等,可分两种情况，情况一：当AG=BE,/场=B尸时，列方程解得f,

可求出AG,情况二：当钻=3民46=族时，列方程解得可求出AG.

【详解】解：设运动时间为珀设BEuZfcm,BF=4rcm,AE=（60-2f）cm,

因为/A=/3=90。，使△AEG与全等，可分两种情况：

情况一：当46=3瓦4石=8/时，

有：60-2r=4?,

解得：f=10,

AG=BE=2/=2x10=20cm,

情况二：当A£=3瓦AG=8/时，

有60-2f=2t,

解得：1=15,

二.AG=BF=4/=4x15=60cm,

综上所述，AG=20cm或AG=60cm；

故答案为：20cHi或60cm.

21.⑴/CHE=25。；

(2)证明见解析.

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知

识点的应用是解题的关键.

(1)根据三角形内角和定理求出再根据平行线的性质得出NCHE=N4即可；

(2)根据平行线的性质得出NB=NDEF,求出3C=EF,再根据全等三角形的判定定理

推出即可；

【详解】(1)解：；/B=55。,ZACB^100°,

：.ZA=180°-ZB-ZACB=25°,

AB//DE,

：.NCHE=ZA=25°；

(2)证明：•/AB//DE,

：.ZB=ZDEF,

在VABC和DEF中,

AB=DE

■ZB=ZDEF

BC=EF

.ABC^DEF(SAS).

22.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握

三角形全等的判定方法，ASA,ASA,SSS,SAS,HL.

(1)根据SSS证明Z\ABC学ADEF即可；

(2)根据△ABC/△DEF,得出NA=N。，ZACB=ZDFE,根据平行线的判定方法即可

得出结论.

【详解】(1)证明：：AF=OC,

AAF-CF=DC-CF,AC^DF.

AB=DE

在VABC和JJEF中，<BC=EF,

AC=DF

：.AABC^ADEF(SSS).

(2)证明：由(1)可得△ABC之△DE尸，

/.ZA=ZD,ZACB=NDFE,

：.AB//DE,180°-ZACB=180°-ZDFE,

：.ZBCF=ZCFE,

：.BC//EF.

23.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等

得到NA=NBNC=ND,再利用ASA即可证明AOC^BOD.

【详解】证明：：AC〃3D,

ZA=ZB,zc=zr>,

XVAC=BD,

.AO咨BOD(ASA).

24.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是

解题的关键.

(1)过点E作EFLZM于点P,首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得

CE=£F,根据等量代换可得BE=EF,再根据角平分线的判定可得AE平分ZBAD；

(2)首先证明RtDFE当RtDCE,可得DC=DR,同理可得=再由4。=诙+小

利用等量代换可得结论.

【详解】（1）证明：如图，过点E作EF_LZM于点尸,

ZC=90°,DE平分NADC,EF±DA,

:.CE=EF,

E是3C的中点,

/.BE—CE，

,\BE=EF,

又ZB=90°,EF±AD,

平分"W；

(2)证明：AD=CD^AB,

ZC=ZDFE=90°f

••・在RtADFE和RtVDCE中,

[DE=DE

[EF=CE'

RtA£>FE^RtADCE(HL),

;.DC=DF,

同理AF=AB,

AD=AF+DF,

.\AD=CD+AB.

25.(1)证明见解析

⑵/3b。=126°

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等

三角形的对应边和对应角是解题的关键.

（1）先由=推导出/54D=NC4E,再根据全等三角形的判

定定理“SAS”证明△Afi。丝△ACE；

(2)由NS4c=86。求得NABC+NACB=94。，再由全等三角形的对应角相等求得

ZABD=ZACE=20°,则ZFBC+ZFCB=54°,再由NBFC=180°-(ZfBC+ZFCB)求得

2班C的度数.

【详解】(1)NBAE=NCAD,

:.ZBAE-ZDAE=ZCAD-ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和ZkACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD注AACE.

(2)ZBAC=86°,

ZABC+ZACB=180°-ABAC=180°-86°=94°,

QZABD=ZACE=20°,

ZFBC+NFCB=(ZABC+ZACB)-ZABD-ZACE=94°-20°