2024高考数学数列中的知识交汇和创新型问题

数列中的期识交乐和创新型问题

［题目II〕王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初

开始还贷,分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等

分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内，每月偿还同

等数额的贷款（包括本金和利息）.

（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元,最后一个还贷月应还6500

元,试计算王先生该笔贷款的总利息；

（2）若王先生采取等额本息的还贷方式,贷款月利率为0.3%,•银行规定每月还贷额不得超过家庭月

收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）

参考数据1.003叫《1.428,1.00318°«1.433,1.003121«1.437

题目区|佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核

心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成''方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、

造型独特、类似一个个方体错位堆叠,总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基,

支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个

方体也为33.6米高,再往上2个方体均为24米高,最上面的两个方体均为19.2米高.

坊塔示意图

（1）请根据坊塔方体的高度数据,结合所学数列知识，写出一个等差数列｛册｝的通项公式,该数列以

33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列,连续取用该数列前山（小G

N*）项的值作为方体的高度,在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依

次为2a1、3a2、4a3、...、（m+l）am（（m+D册,表示高度为o™的方体连续堆叠m+1层的总高度），请

问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.

•••

题目区在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间

存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反,于是就有消费者与商

家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上

二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价,再加上二者差价的一

半，如此下去,可得表1:

表1

次数消费者还价商家讨价

.1Q=bi+/(a—bj

第一次b'F

^2=Ci-y(C-6i)

第二次1°2=

第三次%=。2-~^-(C2—b2)。3=匕3+/(。2—6)

•••・•・•••

b=c-i—~^~(c-i—b-i)Cn=b+-^-(c-i—b)

第九次nnnnnnn

消费者每次的还价图(nGk)组成一个数列｛bj.

(1)写出此数列的前三项，并猜测通项勾的表达式并求出limb.；

九一+8

(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价,最终商家将能有

百分之几的利润？

题目区近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年

初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除

运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.

(1)若a=100,在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底切除运营成本后资金达到

3000万元？(结果精确到0.1万元)

题目Ui甲、乙两人同时分别入职AB两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基

础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资

数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍.

（1）分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）

（2）设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为期、图元，记品=册一队,讨论数列｛品｝的单调性，指

出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资,并说明理由.

题目叵治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨,通过扩大宣传、环

保处理等一系列措施,预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年

开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%.

（1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数"⑺6N*）的表达式；

（2）设人.为从今年开始几年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为

现有的治理措施是有效的;否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.

题目区为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次

服用小毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）

这种药物在人体内的含量是册毫克，（即5=G）.

（1）已知772=12,求出、。3；

（2）该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物,求m的最大值.

题目叵保障性租赁住房,是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，

国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住

房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米,其中有25

万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,

另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.

（1）到哪一年底,该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于

475万平方米？

（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

题目区某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能

减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一

年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数

量维持在这一年的水平不变.

（1）记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列｛册｝,每年发放电动型汽车牌照数

为构成数列｛6„｝，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

a=_

Ql=10。2=9.5。3=_4

bi=2&2=3%=_.bi=_

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张?

题目叵］市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：

①等额本金:每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相

同；

②等额本息:每月的还款额均相同.

银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账,则2020年8月7日

首次还款）.已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试

计算该笔贷款的总利息、.

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小

张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.

参考数据：1.0042.61.

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑,小张应选择哪种还款方式.

题目叵］流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11

月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部

门采取措施,使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1(9&k<29#CN*)日起每天的新感染者比前

一天的新感染者减少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)若到11月30日止,该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问H月几日，该市新感染者人

数最多？并求这一天的新感染者人数.

题目旧某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有4B,C,。这4个选项，4个选项中仅

有两个或三个为正确选项.题目得分规则为:全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

已知测试过程中随机地从四个选项中作选择,每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项

为两个的概率为J，并且规定若第i(i=1,2,…,71-1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两

个的概率为1;第i(i=题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为

(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；

(2)求第n题正确选项为两个的概率；

(3)若第九题只选择8、。两个选项，设V表示第n题得分,求证：E(V)W2.

io

题目叵］甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对

方;若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可

知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.

（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；

（3）若舄（i=0,l,…,6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则冗=0,冗=1.证明：

｛一+L、｝（i=0,1,2,…,5）为等比数列.

题目叵已知数列｛册｝的前几项和为Sng=2,对任意的正整数71,点（M+i,Sn）均在函数/（无）=2图象

⑴证明:数列｛SJ是等比数列；

（2）问｛册｝中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.

•••

题目|15｝如果数列｛册｝对任意的nEN*,an+2—an+1＞册+厂册,则称｛a"｝为“速增数列”.

（1）请写出一个速增数列｛册｝的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

（2）若数列｛时｝为“速增数列”，且任意项Z,©=1,a2=3,耿=2023，求正整数A;的最大值.

题目叵］设数列｛册｝的前n项和为S”,若得WW25CN*）,则称｛册｝是“紧密数列”.

（1）若@=2管，判断｛an｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

（2）若数列｛册｝前几项和为5.=十（川+371）,判断｛册｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

（3）设数列｛册｝是公比为q的等比数歹U.若数列｛an｝与｛SJ都是“紧密数列”，求q的取值范围.

题目,已知｛册｝和｛bn｝是各项均为正整数的无穷数歹U,若｛册｝和｛6J都是递增数歹U,且｛册｝中任意

两个不同的项的和不是拈/中的项，则称｛册｝被｛幻｝屏蔽.已知数列｛cj满足工+2+…

Clc2

+————=n(nETV*).

cn

(1)求数列｛cn｝的通项公式；

(2)若｛dn｝为首项与公比均为C1+l的等比数歹!J,求数列｛cn-dn］的前几项和S〃,并判断｛Sn｝能否被

｛品｝屏蔽,请说明理由.

题目|18］设4=/(c)是定义域为R的函数，如果对任意的g、X2GR(x1^x2),\f(x1)-f(x2)\<届―电|均

成立，则称夕=/(•)是“平缓函数”.

⑴若力Q)=-—,〃，)=simc,试判断夕=力㈤和沙=人3)是否为“平缓函数”？并说明理由；(参

6+1

考公式:①>0时，sinreV/恒成立)

(2)若函数是“平缓函数"，且g=/Q)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的刈、电GA,

均有-/(®2)l<y；

(3)设u=gQ)为定义在R上函数，且存在正常数人>1使得函数夕=A-gQ)为“平缓函数”.现定

义数列｛xn｝满足:g=0,4=g(*nT)(n=2,3,4,…)，试证明:对任意的正整数71,gQn)W.

71—1

题目叵]若项数为N(N>3)的数列4：电@,…,aw满足：5=1«六m[=2,3,--,")，且存在河6

{"我■二则称数…有性质

{2,3,…,N—1}，使得an+1—anE

(1)①若N=3,写出所有具有性质P的数列4；

②若N=4,a4=3,写出一个具有性质尸的数列A4；

⑵若N=2024,数列4)24具有性质P，求4124的最大项的最小值；

⑶已知数列4：出42,…,。',为：仇也，…,与均具有性质P，且对任意i/e{1,2,…,M，当1巧时，都有

a六电,bj.记集合7]={aiQ,…,aQ，T2={仇也，…,如}，求工口或中元素个数的最小值.

题目西在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列，我们把这样的操作称为该

数列的一次“和扩充”.如数列1,2第1次“和扩充”后得到数列1,3,2,第2次“和扩充”后得到数列

1,4,3,5,2.设数列a,b,c经过第4次“和扩充”后所得数列的项数记为2，所有项的和记为S”.

⑴若0=1,1=2,6=3,求2,S2;

(2)设满足2023的打的最小值为9,求为及(其中[句是指不超过力的最大整数，如[1.2]=

LTJ

1,[—2.6]=—3)；

•••

题目囱J已知Q：电42,…,出为有穷整数数列.给定正整数力,若对任意的nE在Q中存在

汁1,。汁2,…,出+4/>0）,使得a：+a汁1+*2H---Fa；+j=n,则称Q为m—连续可表数列.

（1）判断Q：2,1,4,2是否为7—连续可表数列？是否为8—连续可表数列？说明理由；

⑵若Q：电《2,…，以为8—连续可表数列，求证：k的最小值为4.

题目画已知有限数列｛册｝,从数列｛%｝中选取第1项、第i2项、…、第基项（i《i2〈…VJ），顺次排列

构成数列｛既｝，其中bk=aik,1WkWm,则称新数列｛既｝为｛a,J的长度为m的子列.规定:数列｛册｝

的任意一项都是｛册｝的长度为1的子列，若数列｛册｝的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列

｛a„｝为完全数列.设数列｛册｝满足an=n,l&n&25,nCN*.

（1）判断下面数列｛册｝的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列①：3,5,7,9,11；数列②：2,4,8,16.

（2）数列｛斯｝的子列｛既｝长度为山,且｛d｝为完全数列,证明：m的最大值为6；

（3）数列｛册｝的子列｛瓦｝长度巾=5,且｛既｝为完全数列，求/+；+；+白+；的最大值.

。5

12

题目叵］有穷数列｛册｝共小项(m>3).其各项均为整数,任意两项均不相等.b,=

|Q「Qz+J(i=1,2,…,nz—1),"+i(i=1,2,…,?72—2).

(1)若｛QJ：0,1,。3・求。3的取值范围；

54

⑵若小=5,当2旧取最小值时,求»的最大值；

i=li=l

m—1

(3)若1力(i=1,2,=M+L求馆的所有可能取值.

k=l

题目叵如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第，列的数为a(ij),已知各行从左至右成等

差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.

(1)若a(i,J)=100,求实数对(i,j)；

(2)证明:所有正整数恰在数表中出现一次.

｛

题目|25］若数列｛an｝满足履+i—QJ=l(k=1,2,3,…,?i—1(/>2)),则称数列QJ为〃数列.记S4=Qi

+a2+a3+—l-an.

(1)写出一个满足电=<25=1,且$5=5的〃数列；

(2)若5=24,八=2000,证明：〃数列｛aJ是递增数列的充要条件是an=2023；

(3)对任意给定的整数口⑺>3),是否存在首项为1的〃数列｛册｝,使得S0=1?如果存在，写出一个满

足条件的〃数列｛册｝；如果不存在，说明理由.

・3定义矩阵运算：(：；)(；)=()；/•已知数列｛”｛.｝满足电=1，且(；：)(；：

kn(2"+l)r

(1)证明：｛%｝,｛“J分别为等差数歹！j,等比数列.

(2)求数列伍20+3蝮i+l｝的前n项和Sn.

14

题目区将数列｛册｝按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列｛册｝的

一个分群数列，｛源｝称为这个分群数列的原数列.如（如小2,…,4）,3r+1,0r+2,…,e），（&+1,如+2,…,a$）,

…，（aa+lEm+Z,…是数歹U｛册｝的一个分群数列,其中第k个括号称为第k群.已知数列｛册｝的

通项公式为an=2n.

（1）若数列｛册｝的一个分群数列每个群都含有3项,该分群数列第k群的最后一项为既,求数列｛bn｝的

通项公式.

（2）若数列｛册｝的一个分群数列满足第七群含有k项，4为｛册｝的该分群数列第k群所有项构成的数

集，设｛m\amEAk,am+6E/小｝,求集合河中所有元素的和.

题目也已知数列修｝是以寺为首项的常数列应为数列｛编的前几项和.

⑴求S”；

⑵设正整数771=Mx3°+%义3】+…+既X3*,其中dC{0,1,2},“eN.例如：3=0x3°+lx3、则b0

=0,bi=1；4=1X3°+lX3、则b0=1,bx=1.若于(m)=bo+b^1■既,求数列{S„-/(S„)}的前九项

和黑.

题目叵已知｛aJ是公比为q的等比数列.对于给定的=1,2,3…用，设T⑻是首项为ak，公差为

2aLi的等差数列｛册｝，记T㈤的第i项为戏).若麽)+券=烁,且斓=4).

⑴求｛册｝的通项公式；

⑵求

，=i晅溜

n

⑶求£好

i=l

题目叵］已知数列｛册｝的前n项和为S”,且S"=2"+L

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)保持｛册｝中各项先后顺序不变，在&与&+1之间插入九个1，使它们和原数列的项构成一个新的数

列｛口｝,记｛0｝的前n项和为北,求Zoo的值(用数字作答).

16

题目叵］若项数为k（keN*,k>3）的有穷数列｛an｝满足：0Wai<a2<a3<-<电，且对任意的i,j

（1<iWk）,%.+应或出一的是数列｛册｝中的项,则称数列｛an｝具有性质P.

（1）判断数列0,1,2是否具有性质P,并说明理由；

（2）设数列｛an｝具有性质P,如（i=L2,…，%）是｛4｝中的任意一项，证明：&一备一定是｛4｝中的

项；

⑶若数列｛aj具有性质P,证明：当k>5时，数列｛aj是等差数列.

题目叵已知有穷数列As,a2,…，册（n>3）中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足

"的整数令集合4山）=｛“除=m,k=l,2,…，n｝.记集合4mo中元素的个数为sG71）（约

定空集的元素个数为0）.

⑴若46,3,2,5,3,7,5,5,求人⑸及s⑸；

（2）若J/H—^―-H--1■—J、=,求证：a］，a2,…，a”互不相同；

s（ajs（a2）s（an）

（3）已知出=a,&2=b,若对任意的正整数i,，（i片，，i+，Wn）都有i+/CA（aJ或i+/C4%）,求出

+<22+—Fa”的值.

•••

题目33]已知无穷数列｛an｝满足册=max｛an+1,an+2｝-min｛a九+i,Q2｝（n=1,2,3,…），其中max｛⑨g｝

表示力，g中最大的数，min｛%,g｝表示力，g中最小的数.

（1）当Qi=l,电=2时，写出。4的所有可能值；

（2）若数列｛册｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛%｝中的项；

⑶若册＞0伍=1,2,3,…），是否存在正实数河，使得对任意的正整数人都有册《河？如果存在，写出

一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

题目回设N为整数.有穷数列｛册｝的各项均为正整数，其项数为馆（馆＞2）.若｛Q/满足如下两个性

伊0九+1],Q九为奇数，

质，则称｛aj为月数列：①%=1，且&Wl（i=l,2,…,小一l）；②Qr1+l=《an少田4（九=1，

可，%,为偶数

2,…,m—1）

（1）若｛aj为Pi数歹!J,且。尸5,求加；

（2）若｛册｝为21数歹!J,求出的所有可能值；

（3）若对任意的B数列｛QJ，均有馆《210g2Gi+d，求d的最小值.

18

题目叵］若数列｛//满足4+1=则称数列｛4J为“平方递推数列”.已知数列｛%｝中，的=9,点

（%,册+1）在函数/（⑼=^+2*的图象上，其中n为正整数，

（1）证明：数列｛册+1｝是“平方递推数列”，且数列｛lg（a„+l）｝为等比数列；

⑵设鼠=lg（%+l）,c“=2n+4,定义a*b='a：?’,且记*=bn*q,求数列｛虞｝的前?2项和Sn.

［b,a>b,

题目叵如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比都大于2,则称这个数列为“G型数列”.

⑴若数列｛aj满足电=1,an+1an=32^,求证:数列｛册｝是“G型数列”.

（2）若数列｛册｝的各项均为正整数，且电=1,｛aJ为“G型数列”,记bn=册+1,数列｛0｝为等比数列,

公比q为正整数，当仍”｝不是“G型数列”时,求数列｛册｝的通项公式.

（3）在（2）的条件下，令c”=,记｛cj的前n项和为,是否存在正整数rn,使得对任意的nG

^n^n+1

N*,都有击6（巾―1,巾］成立？若存在，求出山的值;若不存在,请说明理由.

bn