2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十四对数的运算新人教A版必修第一册

PAGE1-课时跟踪检测（二十四）对数的运算A级——学考水平达标练1．log242＋log243＋log244等于()A．1 B．2C．24 D．eq\f(1,2)解析：选Alog242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.2．化简eq\r(log232－4log23＋4)＋log2eq\f(1,3)得()A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2解析：选Beq\r(log232－4log23＋4)＝eq\r(log23－22)＝2－log23.∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.3．(0.25)＋(log23)·(log34)的值为()A.eq\f(5,2) B．2C．3 D．4解析：选D原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝(2－2)＋eq\f(lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.故选D.4．已知ab＞0，有下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10)，其中正确的是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：选D①②式成立的前提条件是a＞0，b＞0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥2，,fx＋1，x＜2，))则f(log23)＝()A.eq\f(1,6) B．3C.eq\f(1,3) D．6解析：选A由2＜3＜4得1＜log23＜2，又log26＞log24＝2，因此f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log26＝eq\f(1,6)，故选A.6．方程lg(4x＋2)＝lg2x＋lg3的解是________．解析：原方程可化为lg(4x＋2)＝lg(2x×3)，从而可得4x＋2＝2x×3，令t＝2x，则方程可化为t2＋2＝3t，即t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，所以x＝0或x＝1.经检验，x＝0与x＝1都是原方程的解．答案：x＝0或x＝17．已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝eq\f(2,3)(lgE－11.4)．若A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，则A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的________倍．解析：设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，则9＝eq\f(2,3)(lgE1－11.4)，8＝eq\f(2,3)(lgE2－11.4)，所以lgE1＝24.9，lgE2＝23.4，从而lgE1－lgE2＝1.5，即lgeq\f(E1,E2)＝1.5，所以eq\f(E1,E2)＝101.5＝10eq\r(10)，即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10eq\r(10)倍．答案：10eq\r(10)8．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))a＝eq\f(1,3)，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))a＝eq\f(1,3)，得a＝log73，又b＝log74，∴log4948＝eq\f(lg48,lg49)＝eq\f(lg3＋2lg4,2lg7)＝eq\f(log73＋2log74,2)＝eq\f(a＋2b,2).答案：eq\f(a＋2b,2)9．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．解：法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.法二：令ax＝by＝cz＝t，∵a，b，c是不等于1的正数，∴t＞0且t≠1，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt)，∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.10．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg2≈0.3010)．解：设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a，则a(1－60%)n＜0.1%a，即0.4n＜0.001，两边取常用对数，得n·lg0.4＜lg0.001，∴n＞eq\f(lg0.001,lg0.4)＝eq\f(－3,2lg2－1)≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.B级——高考水平高分练1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：选D由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0.48－80＝93.28＝lg1093.28.故与eq\f(M,N)最接近的是1093.2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3x＋1)，则f(log23)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,9)))＝________.解析：∵log23＋log4eq\f(1,9)＝log23－log23＝0，f(－x)＋f(x)＝eq\f(1,3－x＋1)＋eq\f(1,3x＋1)＝eq\f(3x,3x＋1)＋eq\f(1,3x＋1)＝1.∴f(log23)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,9)))＝1.答案：13．(2018·荆州中学高一期末)(1)计算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋(－9.8)0＋logeq\r(2)－1(3－2eq\r(2))；(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)y－logeq\r(2)x的值．解：(1)原式＝log327＋lg52＋lg22＋1＋logeq\r(2)－1(eq\r(2)－1)2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋1＋2＝eq\f(13,2).(2)依题意得x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴0＜eq\f(y,x)＜eq\f(1,2).又lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，又x＞0，∴4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))＋1＝0，解得eq\f(y,x)＝eq\f(1,4)或eq\f(y,x)＝1(舍去)，因此logeq\r(2)y－logeq\r(2)x＝logeq\r(2)eq\f(y,x)＝logeq\r(2)eq\f(1,4)＝eq\f(－2,\f(1,2))log22＝－4.4．(2018·唐山一中高一期中)已知loga3＝m，loga2＝n.(1)求am＋2n的值；(2)若0＜x＜1，x＋x－1＝a，且m＋n＝log32＋1，求x2－x－2的值．解：(1)由loga3＝m，loga2＝n得am＝3，an＝2，因此am＋2n＝am·a2n＝3×22＝12.(2)∵m＋n＝log32＋1，∴loga3＋loga2＝loga6＝log36，即a＝3，因此x＋x－1＝3.于是(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝5，由0＜x＜1知x－x－1＜0，从而x－x－1＝－eq\r(5)，∴x2－x－2＝(x－x－1)(x＋x－1)＝－3eq\r(5).5．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg