2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测三十二蝗制新人教A版必修第一册

PAGE1-课时跟踪检测（三十二）弧度制A级——学考水平达标练1．下列命题中，正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D根据1弧度的定义可知D正确．2．半径为1，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形的面积为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C．π D.eq\f(4π,3)解析：选A由扇形面积公式得：S＝eq\f(1,2)×r2×|α|＝eq\f(1,2)×12×eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3)，故选A.3．(2018·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－eq\f(34π,5)终边相同的角是()A.eq\f(π,5) B.eq\f(2π,5)C.eq\f(4π,5) D.eq\f(6π,5)解析：选D因为－eq\f(34π,5)＝－8π＋eq\f(6π,5)，所以－eq\f(34π,5)与eq\f(6π,5)终边相同，选D.4．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是()A.eq\f(5π,11) B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22) D.eq\f(22π,5)解析：选B由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过eq\f(88,20)周，小链轮转过的弧度是eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).5．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为()A.eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π解析：选B显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了eq\f(7,3)周，转过的弧度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)))×2π＝－eq\f(14,3)π.6．若角α的终边与eq\f(π,6)角的终边关于直线y＝x对称，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π，4π))，则α＝________.解析：由题意知，角α与eq\f(π,3)角的终边相同，则eq\f(π,3)＋2π＝eq\f(7,3)π，eq\f(π,3)－2π＝－eq\f(5,3)π，eq\f(π,3)－4π＝－eq\f(11,3)π.答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)7．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π)，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq\f(1,3)α.答案：eq\f(1,3)8．地球赤道的半径约是6370km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01km)．解析：因为1′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,60)))°＝eq\f(1,60)×eq\f(π,180)，所以l＝α·R＝eq\f(1,60)×eq\f(π,180)×6370≈1.85(km)．答案：1.859．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解：(1)将阴影部分看成是由射线OA逆时针转到OB所形成的图形，故满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋2kπ＜α＜\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)))).(2)若将终边为OA的一个角改写为－eq\f(π,6)，此时阴影部分可以看成是由OA逆时针旋转到OB所形成的图形，故满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ＜α＜\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z)))).10．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角为α(0＜α＜2π)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝2rad.如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．B级——高考水平高分练1．集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z，故选C.2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.解析：eq\f(2π,3)＝120°，根据题设，弦＝2×4sineq\f(120°,2)＝4eq\r(3)(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．答案：93．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)，又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋eq\f(25,18)π＜4π(k∈Z)．解得－eq\f(97,36)＜k＜eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.4．已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.由题意知eq\f(1,2)lr＝25，则l＝eq\f(50,r)，∴y＝eq\f(50,r)＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义可以证明：当0<r≤5时，函数y＝eq\f(50,r)＋2r是减函数；当r>5时，函数y＝eq\f(50,r)＋2r是增函数．∴当r＝5时，y取得最小值20，此时l＝10，圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．5．如图所示，已知一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积．解：所在的圆的半径是2dm，所对的圆心角为eq\f(π,2)，所在的圆的半径是1dm，所对的圆心角为eq\f(π,2)，所在的圆的半径是eq\r(3)dm，所对的圆心角是eq\f(π,3).点A走过的路程是3段