2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元质量测评新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1第一章集合与常用逻辑用语单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在2018年俄罗斯世界杯足球比赛中，下列能构成集合的是()A．所有著名运动员B．所有志愿者C．比较受欢迎的球队D．参加比赛的所有高个子队员答案B解析A，C，D中都没有一个确定的标准，不满足集合的确定性，因而都不能构成集合；B中，所有的志愿者能构成一个集合．故选B.2．集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析∵集合A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7.故选C.3．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M答案A解析根据集合间的关系及集合的运算性质，易知A正确．4．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案C解析“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．故选C.5．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(∁ZM)∩N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案B解析由已知，得∁ZM＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁ZM)∩N＝{－1,0,1}．故选B.6．已知全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]等于()A．∅ B．{x|x≤0}C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}答案D解析∵∁UA＝{x|x≤0}，∁UB＝{x|x>－1}，∴A∩(∁UB)＝{x|x>0}，B∩(∁UA)＝{x|x≤－1}，∴[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]＝{x|x>0或x≤－1}．故选D.7．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a2＋(b－1)2＝0⇔a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0⇔a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．故选A.8．设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当x＝－4，y＝0时，满足x2＋y2≥9，但不满足x>3且y≥3；当x>3且y≥3时，一定有x2＋y2≥9，所以“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的必要不充分条件．故选B.9．50个学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为()A．20 B．14C．12 D．10答案B解析用维恩图表示如图：共有50人，设既会讲英语又会讲日语的有x人，则36－x＋x＋20－x＋8＝50.解得x＝14.故选B.10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7答案A解析因为全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，所以a>3.故选A.11．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维恩图可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.12．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析①充分性：若△ABC不为等腰三角形，不妨设a<b<c，则max{a－b，b－c，c－a}＝c－a，min{a－b，b－c，c－a}＝a－b或b－c，所以D＝c－b或b－a，故D≠0.所以若D＝0，则△ABC为等腰三角形．②必要性：若△ABC为等腰三角形，不妨设a＝b，D＝max{0，b－c，c－b}＋min{0，b－c，c－b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－c＋c－b＝0b>c，,c－b＋b－c＝0b<c.))所以“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是________________．答案红豆生南国解析“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．14．若集合A＝{1,2,4,6,7}，B＝{3,4,5,7}，则A∩B＝________.答案{4,7}解析根据A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以A∩B＝{4,7}．15．已知集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．答案1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案1解析因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求：(1)A∩B；(2)(∁UA)∩(∁UB)；(3)∁U(A∪B)．解(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}．(2)∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}．在数轴上画出集合∁UA和∁UB，可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}．(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在a，使C⊆B？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解假设存在这样的a值．∵y＝2x－1且x∈A，即－1≤x≤a，∴－3≤y≤2a－1.又∵z＝x2且x∈A.∴当－1<a≤0时，a2≤z≤1；当0<a<1时，0≤z≤1；当a≥1时，0≤z≤a2.若－1<a≤0，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾．同理当0<a<1时，也不存在a的值．而a≥1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1，即(a－1)2≤0，∴a＝1.故存在a＝1，使得C⊆B.19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1或x≥m＋1}．(1)当m＝0时，求A∩B；(2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1或x≥1}，又A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|1≤x<3}．(2)因为p：x∈(－1,3)，q：x∈(－∞，m－1]∪[m＋1，＋∞)．q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5，2))，求A∩B.解由题意，知A，B中都至少有一个元素．若A中只有一个元素，则a2－4×2×2＝0，a＝4或a＝－4，此时A＝{1}或A＝{－1}，不符合题意；若B中只有一个元素，则9－8a＝0，a＝eq\f(9,8)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，不符合题意．故A，B中均有两个元素．不妨设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}，则x1x2＝1，且x1，x2∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5，2))，所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))；又因为x3＋x4＝－3，且x3，x4∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5，2))，所以B＝{－5,2}，所以A∩B＝{2}．21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：∵方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ξ2＋2aξ＋b2＝0，,ξ2＋2cξ－b2＝0))⇒ξ＝eq\f(－b2,a－c)＝eq\f(b2,c－a).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c－a)))2＋2c·eq\f(b2,c－a)－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，易得x0＝eq\f(b2,c－a)是方程的公共根．综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.22．(本小题满分12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件．解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16－16m≥0，,Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，))解得m∈eq\b\lc\[\