2020年秋人教版八年级数学上册专题小练习三-三角形证明题(含答案)

PAGE12020年人教版八年级数学上册专题小练习三角形证明题LISTNUMOutlineDefault\l3如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系,并证明你的结论．LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，AB=2BC,AD、CE分别是BC、AB边上的高，试判断AD和CE的大小关系，并说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3(1)如图(1),在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则∠EAD与∠B,∠C有和数量关系？(2)如图(2),AE平分∠BAC,F为其上一点,FD⊥BC于D,这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？(3)如图(3),AE平分∠BAC,F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？LISTNUMOutlineDefault\l3（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH.LISTNUMOutlineDefault\l3如图,已知∠B=340,∠D=400,AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．（1）求∠M的大小．（2）当∠B,∠D为任意角时,探索∠M与∠B,∠D间的数量关系,并对你的结论加以证明．LISTNUMOutlineDefault\l3已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°．（1）∠ABC+∠ADC=°；（2）如图①,若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②,若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),试求∠E度数.LISTNUMOutlineDefault\l3动手操作，探究：如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是.研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中,BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．（1）如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2=°，∠3－∠1=°；（2）如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BEC=ɑ，∠BDC=，用含和的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）LISTNUMOutlineDefault\l3阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的高．P是BC边上一点,PM,PN分别与直线AB，AC垂直,垂足分别为点M,N.求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即.由AB=AC,可得BD=PM+PN．他又画出了当点P在CB的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图2所示.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴BD=PN-PM．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是:．

参考答案LISTNUMOutlineDefault\l3\s1解：∠C与∠AED相等，理由如下：∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行内错角相等），又∠B=∠3（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等两直线平行），∴∠C=∠AED（两直线平行同位角相等）．LISTNUMOutlineDefault\l3设BC=aAB=2aCE=cAD=d根据三角形面积相等可得：ad=2ac化简得：d=2c故：AD=2CELISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=0.5∠BAC=0.5（180°-∠B-∠C），又∵AD⊥BC，∴∠DAC=90°-∠C，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=0.5（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=0.5（∠C-∠B），即∠EAD=0.5（∠C-∠B）；（2）2∠EFD=∠C-∠B；（3）2∠AFD=∠C-∠B；LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；（2）∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B．LISTNUMOutlineDefault\l3证明：∵BG、AG分别是△ABC的角平分线，∴∠ABG=0.5∠ABC，∠BAG=0.5∠BAC，∴∠BGD=∠ABG+∠BAG=0.5（∠ABC+∠BAC）=0.5（180°-∠ACB）=90°-0.5∠ACB，∵CG平分∠ACB，∴∠HCG=0.5∠ACB∵GH⊥BC，∴∠CGH=90°-∠HCG=90°-0.5∠ACB，∴∠BGD=∠CGH．LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）∵∠B+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，而AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠2=∠1，∠3=∠4，∴∠B+2∠1=2∠3+∠D①，又∵∠B+∠1=∠3+∠M，∴2∠B+2∠1=2∠3+2∠M②，②﹣①得，∠B=2∠M﹣∠D，∴∠M=0.5（∠B+∠D），∴∠B=34°，∠D=40°，∴∠M=0.5（34°+40°）=37°（2）∠M与∠B，∠D间的数量关系为∠M=0.5（∠B+∠D），理由同上LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°；故答案为：180°；（2）延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°45°，延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°﹣45°=45°LISTNUMOutlineDefault\l3（1）∠BDA′=2∠A;（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A.理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠ADA′+∠DA′E+∠A′EA=360°∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°∴∠BDA′+∠ADA′+∠CEA′+∠A′EA=360°∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得∴∠A=∠DA′E∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A理由：∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得∴∠A=∠DA′E∴∠BDA′