七年级数学上册数学 4.3 用一元一次方程解决问题-销售、行程、工程、几何、分段、方案选择问题（解析版）

4.3用一元一次方程解决问题——销售、行程、工程、几何、分段、方案选择问题分层练习考察题型一销售问题1．某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【详解】解：设该商品的原售价为元，根据题意得：，解得：，则该商品的原售价为300元，该商品的成本为：．故本题选：．2．万达商场以100元的价格卖出两套不同的服装．老板一算，结果一套赚，一套亏本．你帮他算一算，这个商场是A．亏本 B．赚钱 C．不亏也不赚 D．无法确定【详解】解：设赚钱的那件服装进价为元，根据题意得：，解得：；设亏本的那件服装进价为元，根据题意得：，解得：；，这个商场是亏本．故本题选：．3．某花店先后以每支2元和每支4元的价格两次共购进玫瑰700支，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．（1）求两次各购进玫瑰多少支？共付款多少钱？（2）若花店起初以每支6元的价格销售玫瑰，但售出500支后，受市场影响，花店把剩下的玫瑰每支标价9元，再打折后全部售出，已知这两次销售共获利1900元，请问花店对剩下的玫瑰是打几折销售的？【详解】解：（1）设第一次购进玫瑰支，则第二次购进玫瑰支，根据题意得：，解得：，则，（元），第一次购进玫瑰400支，第二次购进玫瑰300支，共付款2000元；（2）设花店对剩下的玫瑰是打折销售的，根据题意得：，解得：，花店对剩下的玫瑰是打五折销售的．4．某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元件，乙种商品售价为30元件．（注：获利售价进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多260元，那么的值是多少？【详解】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元，由题意得：，解得：，，答：该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元；（2）由题意得：（元），答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1600元的利润；（3）由题意得：，解得：，答：的值是5．5．某电商销售、两种产品，相关信息如表：进价（元件）售价（元件）产品3045产品4060（1）该电商十月份备货、两种产品一共用去31200元，其中产品的数量比产品数量的多40件，、两种产品各备货多少件？（2）该电商准备在十一月份的“双十一”活动中采取以下的优惠政策：产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），产品打八五折．①产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件产品打折；②若、两种产品均全部售完，则“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该电商计划为“双十一”备货产品500件，则产品的备货数量是多少件？【详解】解：（1）设产品备货件，产品的数量比产品数量的多40件，产品备件，该电商十月份备货两种产品一共用去31200元，，解得：，，产品备货240件，产品备货600件；（2）①产品实行的“买五免一”，即买五件花四件的钱，，产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件产品打八折，故本题答案为：八；②设“双十一”产品的备货数量是件，“双十一”产品的备货数量是500件，“双十一”两种产品的利润为元，十月份两种产品的利润为：（元），又“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元，，解得：，“双十一”产品的备货数量是1600件．考察题型二行程问题1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为．【详解】解：设第3天走的路程为里，则第2天走的路程为里，第1天走的路程为里，依次往后推，第5天走的路程为里，第6天走的路程为里，根据题意得：，解得：，故本题答案为：48里．2．已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为A． B． C． D．【详解】解：设这列火车长为米，由题意可得：，解得：，这列火车长300米．故本题选：．3．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船，已知船在静水中的速度是，水流速度是，若、两地距离为，则、两地间的距离是．【详解】解：①地在地上游时，设、两地间的距离是，根据题意得：，解得：；②地在地下游时，设、两地间的距离是，根据题意得：，解得：；综上，、两地间的距离是42.5或47.5．故本题答案为：42.5或47.5．4．甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题．（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程．【详解】解：（1）由题意得：，解得：，慢车行驶的时间为4小时；（2）①两车相遇前相距315千米，，解得：，此时快车行驶的路程：（千米）；②两车相遇后相距315千米，，解得：，此时快车行驶的路程：（千米）；③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，，此种情况不存在；综上，当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米．5．甲、乙两站相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为80千米时；从乙站开出一列快车，速度为120千米时．（1）如果两车同时开出，相背而行，那么多长时间两车相距540千米？（2）如果两车相向而行，慢车先开出1时后，快车开出，那么再经过多长时间两车相遇？（3）如果两车同时开出，同向而行（快车在后），那么经过多长时间快车可以追上慢车？（4）如果两车同时开出，同向而行（慢车在后），那么经过多长时间两车相距车300千米？【详解】解：（1）设经过小时两车相距540千米，由题意得：，解得：，答：经过小时两车相距540千米；（2）设乙车开出小时两车相距540千米，由题意得：，解得：，答：乙车开出小时两车相距540千米；（3）设经过小时快车可追上慢车：由题意得：，解得：，答：经过6小时快车可追上慢车；（4）设经过小时，两车相距300千米，由题意得；，解得：，答：经过小时两车相距300千米．6．星期天天气晴朗，小林骑自行车前往离家9千米远的某景区游玩，由于太匆忙，出发半个小时后，他爸爸发现他把可以免费进入景区的证件落在家里，于是，他立即骑摩托车去追，已知小林骑自行车的平均速度为12千米时，爸爸骑摩托车的平均速度为48千米时．（1）求爸爸追上小林时，小林距目的地有多远？（2）若爸爸出发的同时手机通知小林掉头来取，结果爸爸出发十分钟还没有遇到小林，手机联系才发现他俩已经错开了一段距离了，这时他们又赶紧掉头，相遇后爸爸把证件给小林．问爸爸从家里出发到送证件成功共花了多少时间？（打电话、掉头的时间忽略不计）【详解】解：（1）设爸爸经过小时能追上小林，则小林出发了小时，根据题意得：，解得：，，答：爸爸追上小林时，小林距目的地有1千米远；（2）爸爸出发十分钟时，小林离家的距离为（千米），此时爸爸离家的距离为（千米），此时两人相距4千米，设小林与爸爸从开始掉头到相遇的时间为小时，根据题意得：，解得：，，答：爸爸从家里出发到送证件成功共花了小时．考察题型三工程问题1．某城市下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天和15天完成，如果两队从两端同时施工2天，然后由乙单独完成，还需天完成．【详解】解：由乙队单独施工，设还需天完成，根据题意得：，解得：．故本题答案为：10．2．整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则可列方程为A． B． C． D．【详解】解：设整个工作为1，则由一部分人先做2小时，工作量为，再增加3人和他们一起做4小时，工作量为，由题意可得：．故本题选：．3．某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多10天．（1）现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？（2）已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？【详解】解：（1）由题意可得：乙队单独完成这项工程需要（天），设还需要天才能完成，依题意得：，解得：，答：还需要9天才能完成；（2）设甲工程队需要施工天，则乙工程队需要施工天，依题意得：，解得：，则乙需要（天），答：甲工程队需要施工10天，乙工程队施工需要15天．4．在七、八年级一次调研测试中，考试的科目、时间和阅卷时间安排如下表：考试时间考试科目阅卷时间16日上午七、八年级语文17日上午开始16日上午七年级英语17日下午开始八年级物理17日上午开始16日下午七、八年级数学17日下午开始16日下午八年级英语17日下午开始已知七年级三门学科各有4100份答题卡，八年级四门学科各有4800份答题卡．学校有一台型扫描机、一台型扫描机，每小时可以分别扫描900份、1200份答题卡．（1）若两台扫描机同时扫描，则将所有答题卡扫描完成需要小时；列方程解决下列问题：（2）若从16日下午开始用型扫描机扫描七年级语文、八年级语文、八年级物理答题卡，能否在17日上午开始阅卷前将这部分答题卡扫描好？（3）若从16日下午开始同时用两台扫描机先扫描上午考试的答题卡，然后再同时用两台扫描机扫描下午考试的答题卡，用型、型扫描机扫描了一段时间后，型扫描机出现故障，只有型扫描机在扫描，为确保在17日上午完成所有扫描任务，最多只能用了多少小时必须修好型扫描机？【详解】解：（1）答题卡共有：（份），两台扫描机同时扫描，每小时可扫描：（份），故所有答题卡扫描完成需要时间为：（小时），故本题答案为：15；（2）设用型扫描机扫描完需要小时，由题意得：，解得：，故用型扫描机扫描完需要15小时分钟，16日下午到17日上午共有15小时10分钟，且15小时分钟小时10分钟，不能在17日上午开始阅卷前将这部分答题卡扫描好；（3）从16日下午到17日上午共有19小时，设用了小时必须修好型扫描机，则二者共同扫描小时，由题意得：，解得：，最多只能用了7小时必须修好型扫描机．考察题型四几何问题1．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”的周长为26，则正方形的边长为．【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，依题意得：，解得：，，即正方形的边长为5．故本题答案为：5．2．在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为．【详解】解：设正方形纸板的边长为，则，，区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，，解得：，正方形纸板的边长为．故本题答案为：5．3．周长为68的长方形被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形的面积为A．98 B．196 C．280 D．284【详解】解：设小长方形的宽为(x>0)，根据题意得：，化简得：，解得：，则大长方形的面积为．故本题选：．考察题型五分段问题1．某地自2022年12月2日起施行新的出租车计费标准（如下表）．行驶路程收费标准不超出的部分起步价8元超出不超出的部分2元超出的部分3元根据已知条件，解决下列问题．（1）若行驶路程为，则打车费用为元；（2）若行驶路程为，则打车费用为元（用含的代数式表示）；（3）当打车费用为29元时，行驶路程为多少千米？【详解】解：（1）由题意得：总车费为（元），故本题答案为：12；（2）由题意得：总车费为（元），故本题答案为：；（3）设行驶路程为千米，，且，，由题意得：，解得：，答：当打车费用为29元时，行驶路程为11千米．2．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：户月用水量收费标准（元/）不超过3.5超过，但不超过的部分5超过的部分7（1）小明家3月份用水量为，应缴纳水费元；（2）设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示）（3）小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为，．【详解】解：（1）根据题意得：（元），故本题答案为：73；（2）根据题意得：①当时，应缴纳水费元；②当时，应缴纳水费元；③当时，应缴纳水费元；应缴纳水费元；（3）设小红家6月份的用水量为，则7月份的用水量为．①当时，，解得：；②当时，，解得：（不合题意，舍去）；综上，，，小红家6月份的用水量为，7月份的用水量为，故本题答案为：16，34．3．一种蔬菜在某市场上的批发价格如：购买数量不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上价格5元千克4元千克3元千克已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）．（1）若第一次购买15千克，第二次购买55千克，则两次总费用为元；（2）若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？【详解】解：（1）总费用为：（元），故本题答案为：240；（2）设第一次购买千克，则第二次购买千克，①若第一次购买不超过20千克，第二次购买40千克以上，由题意得：，解得：，第二次购买（千克）；②若第一次购买20千克以上但不超过40千克，第二次购买也为20千克以上但不超过40千克，由题意得：，方程无解；③若第一次20千克以上但不超过40千克，第二次购买40千克以上，由题意得：，解得：，第二次购买（千克），答：第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克．4．某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元台，优惠活动如下：销售量单价不超过10台的部分每台立减140元超过10台但不超过20台的部分每台立减220元超过20台的部分每台立减300元（1）①若该单位购买了16台这种手写板，花了元；②若该单位购买了台这种手写板，花了元；（用含的代数式表示）（2）若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．【详解】解：（1）①根据题意得：（元），故本题答案为：11680；②根据题意得：，故本题答案为：；（2）设他们购买了台手写板，①当时，均价760元，不合题意，舍去；②当时，，解得：，不在范围内，舍去；③当时，，解得：；综上，他们购买了25台手写板，答：他们购买了25台手写板．5．“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元按原价，对消费超过200元以上的顾客的实行如下优惠：一次性购物优惠办法超过200元但不超过600元超过200元不超过600元的部分八折超过600元每满300减100元（1）小博妈妈一次性购物元，她实际付款元．（用含的式子表示）（2）小西妈妈一次性购物元，小博妈妈一次性购物元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付250元，求的值．（3）小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元斤），两提牛奶（75元提），两板鸡蛋（35元板），一提卷简纸27元，一个文具袋6元，妈妈正准备一次性付款，小博说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？【详解】解：（1）小博妈妈实际付款：元，故本题答案为：；（2），小西妈妈按原价付款：元，，按超过200元不超过600元的部分八折付款，小博妈妈实际付款：元，，解得：，的值为150；（3）总费用：（元），，每满300减100元，一次性付款的方案实际付款：（元）；再买两个6元的文具袋，总费用：（元），再买两个6元的文具袋实际付款：（元），共节省：（元），小博的方法是再买两个6元的文具袋，可节省88元．考察题型六方案选择问题1．元旦期间，甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销，甲水果店连续两次降价，第一次降价，第二次降价，乙水果店一次性降价，小丽想要购买这种橙子，她应选择A．甲水果店 B．乙水果店 C．甲、乙水果店的价格相同 D．不确定【详解】解：设橙子的原价为，甲水果店售价为：，乙水果店售价为，，小丽应选择乙水果店．故本题选：．2．某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生的测温和教室消毒工作．（1）若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要230元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵20元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格．（2）由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如表）购买方案红外线测温枪消毒剂优惠9折8.5折每购100瓶消毒剂送1支测温枪8折8.5折无若学校有20个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？【详解】解：（1）设每瓶消毒剂元，每支测温枪元，由题意得：，解得：，每支测温枪的价格为：（元），答：每瓶消毒剂30元，每支测温枪200元；（2）方案所需的总费用为：（元），方案所需的总费用为：（元），，学校选择种购买方案所需的总费用更低，答：学校选择种购买方案所需的总费用更低．3．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：（1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？（2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？（3）3班的学生人数为，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．【详解】解：（1）（元），答：1班购票需要704元；（2）设2班有人，由题意得：，解得：，答：2班有46人；（3）选择方案二购票更省钱，理由如下：设3班有人，由题意得：，解得：，当班级人数为63人时，两种方案费用相等，由（1）（2）可知：班级44人时，按照方案一购票的费用高于班级46人时，按照方案二购票的费用，班应选择方案二购票更省钱．4．下表是中国电信两种”套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超主叫时间，流量不超上网流量不收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月基本费元主叫通话分钟上网流量接听主叫超时部分（元分钟）超出流量部分（元）方式一49200500免费0.200.15方式二69250600免费0.150.1（1）若某月小萱主叫通话时间为220分钟，上网流量为，则她按方式一计费需元，按方式二计费需元，所以她应该选择方式；（2）若小萱某月主叫通话时间为100分钟，是否存在某上网流量，按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．（3）若小萱每月主叫通话时间在100分钟以内，要选择更低的计费方式，请你帮助她做出选择，直接写出结果即可．【详解】解：（1）方式一：（元），方式二：（元），，她应该选择方式二，故本题答案为：98，89，二；（2）存在，理由如下：①当时，方式一计费需49元，方式而计费需69元，，不合题意；②当时，根据题意得：，解得：（舍去）；③当时，根据题意得：，解得：；综上，当上网流量为，按方式一和方式二的计费相等．（3）由（2）可知：当上网流量未超过时，应选择方式一，当上网流量超过时，应选择方式二．1．将长为1、宽为的矩形纸片按如图①所示的方式折叠一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形，称为第一次操作；再把剩下的矩形按如图②所示的方式折叠一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去若在第次操作后，剩下的矩形为正方形．则操作终止．当时，的值为．【详解】解：由题意可知，当时，第1次操作后剩下的长方形的长宽分别为、，所以第2次操作时正方形的连长为，第二次操作后剩下的矩形的两边分别为、，故本题答案为：；此时，分两种情况：①如果，即时，那么第3次操作时，正方形边长为，经过第三次操作后所得的矩形是正方形，矩形的宽等于，即，解得：；②如果，即，那么第3次操作时，正方形边长为，则，解得：．故本题答案为：或．2．甲乙两地相距2000米，小明从甲地出发，10分钟后到达乙地，休息4分钟后从乙地原路原速返回．在小明从甲地出发的同时，小红从乙地以的速度步行至甲地，到甲地停止，设小红步行的时间为分钟．（1）①时，小明距离甲地的路程为米；小红距离甲地的路程为米；②时，小明距离甲地的路程为米；（用含的代数式表示）（2）小红从乙地到甲地步行过程中，当为何值，他们相距40米？【详解】解：（1）①小明的速度为，根据题意得：当时，小明距离甲地的路程为米，小红距离甲地的路程为米，故本题答案为：，；②根据题意得：当时，小明距离甲地的路程为米，故本题答案为：；（2），①当时，，解得：或；②当时，，解得：（不合题意，舍去）；③当时，，解得：或；④当时，，解得：；综上，当为7或或23或或时，他们相距40米，答：当为7或