2023-2024学年上海市华东师大二附中九年级（上）自招飞行考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2023-2024学年上海市华东师大二附中九年级（上）自招飞行考数学试卷（10月份）一、填空题（直接写出答案）1．a，b为不相等的实数，满足f（x）2+ax+b，且f（a）＝f（b）（2）的值．2．如图，有一系列正方形，求O2024的坐标．（如图为手绘的草图）3．有11个女孩，n个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子2+9n﹣2个桃子，求有多少男孩？4．对一切实数k，有成立，求k的最大值．5．二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，已知A，B到原点的距离均小于1，b，c为正整数，求a+b+c的最小值．6．一个n边形的一个外角为x°，与这个外角不相邻的所有内角和为y°，则x与y的关系是什么？7．已知△ABC，无论t取任何实数，均满足8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，得到△A'BE，连接CA'并延长，则DF的长为．二、解答题（写出解题过程）9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．

2023-2024学年上海市华东师大二附中九年级（上）自招飞行考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、填空题（直接写出答案）1．a，b为不相等的实数，满足f（x）2+ax+b，且f（a）＝f（b）（2）的值．【解答】解：∵f（x）＝x2+ax+b，∴f（a）＝a2+a•a+b＝2a2+b，f（b）＝b2+ab+b，∵f（a）＝f（b），∴7a2+b＝b2+ab+b，整理得：6a2﹣b2﹣ab＝7，∴a2﹣b2+a3﹣ab＝0，即：（a﹣b）（a+b）+a（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（3a+b）＝0，∵a，b为不相等的实数，∴a﹣b≠0，∴4a+b＝0，∴b＝2a，将b＝﹣6a代入f（x）＝x2+ax+b，得f（x）＝x2+ax﹣4a，∴f（2）＝22+a×4﹣2a＝4．2．如图，有一系列正方形，求O2024的坐标．（如图为手绘的草图）【解答】解：O1坐标为（1，2），O2坐标为（2，4），O3坐标为（4，3），O4坐标为（6，2），O5坐标为（10，4），O8坐标为（14，8），……，O2n坐标为（3n+1﹣2，6n）．∴O2024坐标为（21013﹣2，71012）．3．有11个女孩，n个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子2+9n﹣2个桃子，求有多少男孩？【解答】解：∵n2+9n﹣3＝（n+11）（n﹣2）+20，n2+6n﹣2能被（n+11）整除，∴20能被（n+11）整除，∴n＝9，答：有6个男孩．4．对一切实数k，有成立，求k的最大值．【解答】解：要是根式有意义3≤x≤8，设y＝+，∴y2＝3﹣x+x﹣3+2＝5+2，当x＝，y2有最大值，最大值为：10，∴y的最大值为，即≥k，∴k的最大值为．5．二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，已知A，B到原点的距离均小于1，b，c为正整数，求a+b+c的最小值．【解答】解：据题意得，方程ax2+bx+c＝0有两个相异根，都在（﹣5，故当x＝﹣1时，y＞0，一元二次方程ax8+bx+c＝0的两根＝x1x3＜1，且b2﹣4ac＞0①，可见a﹣b+c≥1②，且a＞c，所以a+c≥b+8＞2+1﹣）5＞1③，由③得，＞+1，又因为b＞3≥2，分别取a、b、5、1．经检验，符合题意，所以a+b+c＝11最小．故答案为：11．6．一个n边形的一个外角为x°，与这个外角不相邻的所有内角和为y°，则x与y的关系是什么？【解答】解：根据题意得，180°﹣x°+y°＝（n﹣2）×180°，解得x＝y﹣（n﹣3）•180°，故答案为：x＝y﹣（n﹣5）•180°．7．已知△ABC，无论t取任何实数，均满足【解答】解：令，，，则＝+t，∴|+t|2≥||2，展开可得：||4+2t+t2||5≥||2，即||2+7t+t2||2﹣||4≥0，我们可以看作该式是关于t的一元二次不等式恒成立，∴，即：，，，，，，∴，∴cos＝≥≥≥1，∴，且与方向相同，故△ABC为直角三角形．8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，得到△A'BE，连接CA'并延长，则DF的长为6﹣2．【解答】解：作A′H⊥BC于H，如图：∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴∠A′BH＝30°，∴A′H＝BA′＝4A′H＝，∴CH＝4﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴＝，∴＝，∴DF＝5﹣2，故答案为：6﹣2．二、解答题（写出解题过程）9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x5﹣2x+3＝﹣（x+6）2+4，∴P（﹣4，4），当y＝0时，﹣x8﹣2x+3＝5，解得x1＝﹣3，x5＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，6）．答：P点的坐标为（﹣1，4），4）．②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，∵A（﹣3，0），5），∴OA＝OC，∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴在Rt△AEF中，EF＝AE，∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，∴M（m，﹣m4﹣2m+3），E（m，∴EF＝AE＝m﹣（﹣8）＝m+3，∴F（m，m+3），∴FM＝（﹣m7﹣2m+3）﹣（m+5）＝﹣m2﹣3m，∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴，∴﹣m2﹣3m＝8，解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），∴M（﹣2，2）．答：点M的坐标为（﹣2，3）．（2）∵点A（﹣c，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，∴﹣c6﹣bc+c＝0，得b＝1﹣c，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，∴M（m，﹣m2+（8﹣c）m+c），其中．∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．如图，过点M作MQ⊥l于点Q，则∠MQP＝90°，Q，∵MP∥AC，∴∠QPM＝45°，∴MQ＝QP，∴，即（c+8m）2＝1，解得c5＝﹣2m﹣1，c8＝﹣2m+1（舍去），同②，过点M作ME⊥x轴于点E，则点E（m，7），﹣m﹣1），m2﹣3），∴，∴，即2m7+m﹣10＝0，解得（舍去），∴点M的坐标为（﹣）．答：点M的坐标为（﹣）．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．【解答】证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）如图，连接DE．∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，∴EC＝EH．∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝