2025高考数学一轮复习：变量的相关关系与一元线性回归模型 专项训练

202s高考数学一轮复习-乞3-变量的相关关系与一元线性回归模型-专项训

练

基础巩固练

1.下面属于相关关系的是（）

A.圆的周长和它的半径之间的关系

B.价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系

C.家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势

D.正方形的面积和它的边长之间的关系

2.下面的散点图与相关系数:•一定符合的是（

XD

3.（2023盐城质检）如图,这是相关变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析.方案

AAA

一:根据图中所有数据，得到经验回归方程y=bix+ai,相关系数为n;方案二:剔除点（10,21）,根

AAA

据剩下数据得到经验回归方程y=匕2》+。2,相关系数为厂2.那么（）

y.

30-冬

IeIII

10------1------1-6---------1

___!I!I••J!IB1!I一

05W1520-x

A.0<n<r2<lB.0<r2<n<l

C.-l<n<r2<0D.-l<r2<n<0

A

4.（2023扬州调研）日知t组数据侬M（iWzW10,且iGN*）的经验回归方程为y=7x+l,若

1010

£巷=70，则力尸（）

i=li=l

A.50B.250C.490D.500

5.（多选题）对相关系数r来说，下列说法错误的是）

A.MW1,川越接近0,相关程度越大;用越接近1,相关程度越小

越接近1,相关程度越大;惘越大,相关程度越小

C.MWIJH越接近i,相关程度越大;M越接近o,相关程度越小

加越接近1,相关程度越小;川越大，相关程度越大

6.（多选题）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城

统计了2023年5个月5G手机的实际销量,如下表所示：

月12345

份月月月月月

月

份

12345

编

号X

销

量5096a185227

U部

若y与x线性相关，且求得经验回归方程为y=45x+5,则下列结论正确的是（）

A.a=142

B.y与x正相关

C.y与x的相关系数为负数

D.预计2023年7月份该手机商城的5G手机销量为320部

7.某部门所属的10个工业企业的固定资产价值x与工业增加值y的资料如下表（单位:百万

元）：

固

定

资

产33566789910

价

值

Y

工

业

增

151725283()3637424045

加

值

r

根据上表资料计算的相关系数约为.

AAA

8.给出下列说法:①回归直线丫=bx+a恒过样本点的中心（元歹），且至少过一个样本点;②两个

变量相关性越强，则相关系数用就越接近1;⑨等一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,

AA

方差不变;②在回归直线方程y=2-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量y平均减少

0.5个单位.其中所有说法正确的序号是.

9.随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户,尤其在近几年，新能源汽车涌入市场,

越来越受到人们喜欢.某新能源汽车销售企业在2019年至2023年间的销售量y(单位:万辆)

的数据如下表：

20192020202120222023

年份

年年年年年

年份

代号12345

X

销售

量

1718202223

)'/万

辆

(1)根据数据资料，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求出了关于x的经验回归方程,并预估2024年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆.

555

参考数据:£(x,-x)(>,-y)=16,S(x,-x)2=10,S(y,-y)2=26,V65«8.06.

i=li=li=l

n__

£3-幻(y广历

参考公式:相关系数『:=1'=,

S(X同2f(y;-y)2

Ji=li=l

nn

△△八△Extyi-rixy£(xrx)(yi-y)A

经验回归方程y=阮+Q中力=耳——-=j----------fa=9-阮其中无》为样本平均值.

£xj-nx£(Xi-x)2

i=i1i=i

综合提升练

10.(2023南京质检)为考察两个变量x步的相关性，把搜集到的数据整理如下表,则这两个变量

的线性相关程度()

r510152025

yl03105110111114

A.很强B.很弱C.无相关D.不确定

nnnn

U.已知£O，-y)2是£(x,-%)2的4倍,£(犷目8例是£(x,-x)2的1.5倍，则相关系数r的值为

i=li=li=li=l

()

131

AA.3-B.4C.7D.7

4455

12.(多选题)(2023徐州月考)如图，这是某市2021年4月至2022年3月每月最低气温与最高

气温的折线统计图,已知每月最低气温与最高气温的相关系数r=0.83,则下列结论正确的是

（若网＞0.75,则线性相关程度较强X）

f气温/七一最高气温-♦.最低气温

45■

40-

35-

30-

25-

20-

15-

10'ya.

5'00-2?

OV——1——1—1——1—'—1——>»

-5M56789101112113月份

A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正相关

B.月温差（月最高气温-月最低气温）的最大值出现在10月

C.9-12月的月温差相对于5〜8月，波动性更大

D.每月最高气温与最低气温的平均值在所统计的前6个月里逐月增加

13.（2023南通质检）近五年来某草场羊只数量与草地植被指数的数据如下表所示，绘制相应的

散点图，如图所示：

年份12345

羊只数

1.40.90.750.60.3

量力只

草地植

1.14.315.631.349.7

被指数

，草地植被指数

60

50

40

30

20

10

00.51工5羊只就量/万只

根据图表得到以下判断:⑦羊只数量与草地植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得

到的两变量间的相关系数为人去掉第一年数据后得到的相关系数为厂2,则|川＜|切；③可以利

用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草地植被指数.以上判断中正确的个数

是.

14.为了研究某班学生的脚长x（单位:厘米）和身高双单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名

学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

AAA1010A

y=bx+a.已知£xi=225,£y,=l600,b=4,该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为

i=i;=1

厘米

15.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量兴百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千

克）的对应数据的散点图如图所示.

"百千克

5

4

3----------t-f-t

--r।!!

o24568/千克

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加

以说明（若M>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求了关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加

量y

Z(许乃(方方)A£xiyt-nxyA

附:相关系数公式—h==A=y-bx.

2n_2

,1(y.-y)Ex.-nx

i=l1

i=l

555

参考数据:£(x,-x)(y,-y)=6,£(x,-x)2=20,£⑴-7>=2,匹关：0.95.

创新应用练

16.某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示.水瓶内胆壁厚不计，且内胆分为①②③④

四个部分（如图），它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体.若圆台部分

的体积为52兀cm3,且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出等cn?.盖上瓶塞后，暖水瓶的最大盛水

量为V.

⑴求V.

⑵该同学发现:该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时,保温效果不同.为了研究保温效果最好时

暖水瓶的盛水体积，做以下实验:从盛有最大盛水量%的水的暖水瓶中倒出不同体积的水，并

记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温共单位：。C）与时刻f满足经验回归方程

y=c/+d,通过计算得到下表：

倒出

体

0306090120

积

v/cm3

拟合y-y-y一y-y-

结果ci什dC2t+dc^t+dc^t+dC5t+d

倒出

体

150180210450

积

v/cm3

拟合y=y=y=y=

结果cc>t+dcit+dc^t+dCl6什〃

注:表中倒出体积x（单位:cm3）是指从盛有最大盛水量的水的暖水瓶中倒出的那部分水的体积.

其中：

ClC2C3C5C6C7

-1.4-1.3-1.2-1-1.1-0.9-0.8

令w=\c\,Wi=\ci\,xz=30（z-1）,zM,2/­­,16.对于数据（%泌）«=1,2,…,7）,可求得回归直线方程为

£1：.=依+%对于数据（孙科）（k8,9,・・・,16）,可求得回归直线方程为Z2：w=0.0009x+0.7.

（7）指出依的实际意义，并求出回归直线办的方程.（参考数据:就々0.0032）

（五）若直线L与直线心的交点横坐标为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体

积保留整数,且兀取3.14）,保温效果最佳？

八A

附:对于一组数据("1,Vl),(02,㈤,…,其回归直线片仰+a中的斜率和截距的最小二乘估计

AS(Ui-U^Vi-V)AA

分别为6=----------------,a=v-pU.

空㈤2

I-「

lOcml①j②：③同4cm

sJ----------------------------------

L一

--------20cm---------

参考答案

l.C2.C3.D4.D5.ABD6.ABD

7.0.99188.②③④

5__

S(Xi-x)(yi-y)A只

9.解(1)由参考公式和参考数据可得r=「=点玄=塌。去右0.993,

I55V1UXZ6V65o.Uo

E(xf-x)2S(yt-y)2

AJi=li=l

显然，|接近1,故y与X有很强的线性相关关系.

A5

八X(Xi-x)(yi-y)161

(2)由参考公式得b=果------=2=1.6,由表中数据可得元=1x(l+2+3+4+5)=3,y=

E(和罚105.

1=1

1

1x(17+18+20+22+23)=20,

AAA

故。=歹一位=20-1.6、3=15.2,,：回归直线方程为丫=1.6%+15.2,又2024年对应的代号为6,

A

所以y=1.6x6+15.2=24.8,

由此预估2024年该新能源汽车企业的销售量为24.8万辆.

10.All.A12.ABC13.114.166

15.ft?⑴相关系数片

6京。.95.

2V5xV2

因为8>0.7