人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形（第7课时）》示范教学设计

特殊的平行四边形（第7课时）教学目标1．通过带领学生复习，加深学生对特殊的平行四边形相关性质和判定的理解，进而使学生对几何图形形成整体认识，提升逻辑推理能力．2．能够熟练应用特殊平行四边形的性质和判定进行计算和证明．教学重点根据不同的题目类型，选取合适的特殊平行四边形的性质和判定进行计算和证明．教学难点特殊的平行四边形性质和判定的综合应用．教学过程知识回顾1．矩形的性质：（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）对角线：矩形的对角线相等．（3）对称性：矩形是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴，所以一般情况下矩形有两条对称轴．2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形．（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．3．菱形的性质：（1）边：菱形的四条边都相等．（2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）对称性：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，所以一般情况下菱形有两条对称轴．4．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）边：四条边相等的四边形是菱形．5．正方形的性质：（1）边：四条边相等．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．6．正方形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．（2）边：有一组邻边相等的矩形是正方形．（3）角：有一个角是直角的菱形是正方形．（4）对角线：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形．7．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：新知探究类型一、矩形性质与判定的综合应用【问题】1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为点E．求证：AE＝CE．【师生活动】让学生尝试独立完成，教师提醒学生通过作辅助线解决问题．【答案】证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F．∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°．∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°．∴∠BCF＝∠D．在△BCF和△CDE中，∴△BCF≌△CDE（AAS）．∴BF＝CE．∵CE⊥AD，BF⊥CE，∴∠AEF＝90°，∠BFE＝90°．又∵∠A＝90°，∴四边形AEFB是矩形．∴AE＝BF．∴AE＝CE．【归纳】几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形”是判定；反之，“已知一个四边形是矩形，证明线段或角的关系”是性质．解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质．【问题】2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【答案】证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点，∴OE＝AO，OG＝CO．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO．∴OE＝OG．同理可得，OF＝OH．∴四边形EFGH是平行四边形．∵OE＝AO，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC．同理可证，FH＝BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴EG＝FH．∴四边形EFGH是矩形．【设计意图】通过问题1，2，让学生能综合运用矩形的性质及判定解决问题，加深学生对知识的理解，进一步明确图形之间的关系．类型二、菱形性质与判定的综合应用【问题】3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，将AB两端延长，并截取AE＝AB＝BF，CE交AD于点G，DF交BC于点H．试判断CG与DH的位置关系，并说明理由．【师生活动】首先让学生独立完成，然后教师展示结果并讲解．【答案】解：CG与DH互相垂直．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC．∴∠EAG＝∠CDG．∵AB＝AE，∴AE＝DC．在△AEG和△DCG中，∴△AEG≌△DCG（AAS）．∴AG＝DG＝AD．同理可得，BH＝CH＝BC．又∵AD＝BC，∴DG＝CH．又∵DG∥CH，∴四边形CDGH是平行四边形．又∵BC＝2AB＝2CD，∴CD＝CH．∴平行四边形CDGH是菱形．∴CG与DH互相垂直．【归纳】解决此类问题时，要先利用菱形的判定证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的联系和区别．【问题】4．如图，点E，F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD＝18，试求四边形ABCD的面积．【答案】解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O．∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，AO＝OC，EO＝OF．又∵点E，F为线段BD的两个三等分点，∴BE＝FD．∴BO＝OD．∵AO＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE＝5．∵BD＝18，∴EF＝6，OE＝EF＝×6＝3．由勾股定理，得，∴AC＝2AO＝2×4＝8．∴S四边形ABCD＝BD·AC＝×18×8＝72．【设计意图】通过问题3，4，让学生掌握菱形性质与判定的综合应用．类型三、正方形性质与判定的综合应用【问题】5．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥CD交AD边于点F，连接BD，交EF于点G．（1）求证：四边形FECD是正方形；（2）若FG＝2，DC＝3，求的值．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°．又∵EF∥CD，∴四边形FECD为矩形．∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝45°．∴∠CDE＝∠DEC＝45°．∴CD＝CE．∴四边形FECD是正方形．（2）解：在正方形FECD中，∠EFD＝90°，FD＝DC＝CE＝3，∴在Rt△DFG中，．∴．【归纳】判定一个四边形为正方形的常用方法：（1）根据定义，先判定其为平行四边形，再证明它有一组邻边相等，且有一个角是直角；（2）先判定它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；（3）先判定它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．【问题】6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，顺次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝50°，∠EBA＝20°，求证：四边形BFDE是正方形．【师生活动】教师提出问题，学生独立作答，教师巡查并及时纠错．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∴∠BAC＝∠BCA．∴∠BAE＝∠BCF．在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）．（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD．又∵AE＝CF，∴OE＝OF．∴四边形BFDE是平行四边形．由（1），得△BAE≌△BCF，则∠EBA＝∠FBC＝20°．∵∠ABC＝50°，∴∠EBF＝∠EBA＋∠ABC＋∠FBC＝20°＋50°＋20°＝90°．∴四边形BFDE是矩形．又∵A