高考数学 高频考点归类分析 基本不等式的应用（真题为例）

高频考点分析基本不等式的应用典型例题：例1.（年天津市理5分）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】D。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，∴。又∵，∴，即。∴。设，则，解得。故选D。例2.（年浙江省文5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【】A.B.C.5D.6【答案】C。【考点】基本不等式或配方法的应用。【解析】∵x+3y=5xy，∴，。∴。（或由基本不等式得）∴5，即的最小值是5。故选C。例3.（年湖北省理5分）设是正数，且，则【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】柯西不等式不等式的应用，待定系数法的应用。【解析】由柯西不等式知，而此时恰好满足取等条件。令，则。代入到中得，再将代入得。∵，∴。∴。故选C。例4.（年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【】A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lgx(x＞0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈)C．x2＋1≥2|x|(x∈)D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈)【答案】C。【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。【解析】对于A，当x＝eq\f(1,2)时，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＝lgx，所以A不一定成立；对于B，当sinx>0时，不等式才成立，所以B不一定成立；对于C，命题显然正确；对于D，∵x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，所以D不成立.故选C。例5.（年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【】A.B.=C.<<D.=【答案】A。【考点】基本不等式及其应用。【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。又∵，∴。∴。故选A。例6.（年福建省理7分）已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】解：（Ⅰ）因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}。又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1。（Ⅱ）由(1)知eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立。所以a＋2b＋3c【考点】带绝对值的函数，不等式的证明。【解析】（Ⅰ）由条件可得f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0，故有|x|≤m的解集为[-1，1]，故m=1。（Ⅱ）由（Ⅰ）得eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，从而，展开后可得，利用基本不等式证明它大于或等于9。例7.（年湖北省文5分）设∈R，则“”是“”的【】A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】A。【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。【解析】当时，，而（当且仅当，且，即时等号成立），∴。当取,显然有,但。∴由不可以推得。综上，是的充分不必要条件。故选A。例8.（年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。其中的真命题有▲_。（写出所有真命题的编号）【答案】①③④。【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。【解析】对于①，若，根据当n=1时，x2=[]=3,同理x3=。故①正确。对于②，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3,x2=2,x3=1,x4=2……x2k=1,x2k+1=1,……此时数列从第二项开始为2，1，2，1……，不成立。故②错误。对于③，由的定义知，，而为正整数，故，且是整数。∵对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，∴不论是偶数还是奇数，有。∵和都是整数，∴。又当时，，∵，∴成立。∴当时，。故③正确。对于④，当时，，∴，即。∴，即，解得。由③，∴。∴。故④正确。综上所述，真命题有①③④。例9.（年辽宁省理12分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。(Ⅰ)求的值。(Ⅱ)证明：当时，。【答案】解：（I）∵过（0，0），∴=0。∴=－1。∵曲线与直线在（0，0）点相切，∴。∴=0。（II）证明：由（I）知。由均值不等式，当＞0时，，∴。令。则。令。则当时，。∴在（0，2）内是单调递减函数。∵又，∴在（0，2）内，。∴在（0，2）内，。∴在（0，2）内是单调递减函数。∵又，∴在（0，2）内，。∴当时，。【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（I）由过（0，0），