空间角与距离问题（9大题型+模拟） 解析版-2025年高考数学重难点突破（新高考专用）

『备战2025高考』重难点内容突破（新高考）

空间角与距离问题

高考要求

1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.

2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

知识解读

1.异面直线所成角

若异面直线/i，/2所成的角为仇a，b分别是直线3/2的方向向量，则cos0=Icos<a,b>I=当瞿.

\a\\b\

注意：两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0,71）,所以公式中要加绝对

值.

2.直线与平面所成角

如图所示，设/为平面a的斜线，/na=A,a为/的方向向量，n为平面a的法向量，6为/与a所成的角，

贝ijsin0=Icos<a,n>I

|a||n|

注意：直线与平面所成角的范围为［o，m，而向量之间的夹角的范围为［0,扪，所以公式中要加绝对值.

3.平面与平面的夹角

（1）平面与平面的夹角：平面a与平面尸相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二

面角称为平面a与平面乃的夹角，如图①.若平面a,4的法向量分别是必和“2，则平面a与平面-的夹角

即为向量〃i和〃2的夹角或其补角.设平面a与平面少的夹角为仇则cos9=Icos<ni，n2>I=|二靠卜

|ni-n2|

|nil|n2r

图①图②图③

（2）二面角：二面角a-/-/7为0或兀一。.设二面角大小为°,则Icos°I=cos6>=1詈署,如图②③.

注意：注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为［0,扪，两个平面的夹角的范围为［o,；］.

4.空间距离

（1）点到直线的距离:

U

AQ

设弱=a,直线/的一个单位方向向量为u,则向量豳在直线/上的投影向量丽=（cru）u.在REAPQ中，

由勾股定理，得PQ=J|00|2-|ffl|2=7a2-（a'w）2；

（2）点到平面的距离：已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面

a的垂线/,交平面a于点Q,则"是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是弱在直线/上的投影向

量丽的长度.因此。。=府心|=|鲁|="整；

I|n|II\n\I\n\

（3）两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.

题型突破

题型1异面直线所成角

解题锦囊求异面直线所成角主要有两种思路：1、几何法：根据条件作出异面直线所成角，通过解三

角形求解，2、空间向量法：（1）坐标法建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，结合向量的数量积求

解；（2）基向量法：用已知夹角或模的向量表示出直线的方向向量，结合向量的数量积求解.

例1（2024・青海・模拟预测）如图,在三棱锥P-ABC中，ZAPB=90°,ZCPA=ZCPB=60°,PA=PB=PC=2,

点、D,E,F满足PD=DB，PE=2EA，AF=FC，则直线C£与。尸所成的角为（）

【答案】D

【分析】设，，禾!用空间向量运算得■。一

PA=aPB=b>PC=c1CE=|d,DF=^a-b+c^利用数量积

的运算律求解数量积，即可解答.

【详解】设PA=q，PB=b，PC=c，则。％=0，a-c=Z?-c=2x2xl=2,

22

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

Dk=PF-PD=g（PA+PC）-；PB=g（a—b+c）,

......1-21--1--112

所以CE•。尸=—a——ab——a-c-\--b-cc=0,

33622

故直线CE与。尸所成的角为90。.

故选：D

【类题演练1X2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知直三棱柱ABC-A用G中，ZABC=120°,AB=C=2,BC=1,

则异面直线A4与BG所成角的余弦值为（）

A有nV15「Mn73

2543

【答案】C

【分析】根据空间向量法求线线角即可.

【详解】以8为原点，在平面ABC内过B作8C的垂线交AC于。，

以80为X轴，以2C为y轴，以8月为z轴，建立空间直角坐标系,

因为直三棱柱ABC-A瓦G中，ZASC=120°,AB=CCl=2,BC=\,

所以A(石,-1,0),4(0,0,2),B(0,0,0),q(0,1,2),

所以例=(-73,1,2),BQ=(0,1,2),

设异面直线与Bct所成角为e,

|的•BC5回

所以cos（9=

\AB}\-\BCl\^y/8-y[5~4

故选：C.

【类题演练2】（2024•广东梅州•模拟预测）直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=120°,AB=AC=AAi,则

异面直线8A与AG所成角的余弦值为（）

33正"

A.-B.——C.—D.—

4424

【答案】A

【分析】由题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线与AG所在直线的方向向量，由空

间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可.

【详解】以A为原点，在平面A3C中过A作AC的垂线交于。，

以AD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

因为直三棱柱ABC-A瓦G中，/BAC=120°,

设4B=AC=⑨=1,

(/?)A

所以8T，-2,0，4(0，°」)，A(0,0,0),q(0,1,1),

7

3=--^~巧/，AG=（0,1,1）,

设异面直线BA与AG所成角为。,

AC

H-1|1；；3

则cos6=

\BA^-\AC^

3

所以异面直线即与g所成角的余弦值为“

【类题演练3】(2024高三•全国•专题练习)在三棱柱ABC-A与G中，底面边长和侧棱长都相等,

ZBA4,=ZC4A=60°,则异面直线AB,与BQ所成角的正弦值为()

A立R0rV6而

6666

【答案】D

【分析】设的=c,AB=a,AC=b，借助空间向量数量积与模长的关系及向量夹角计算公式计算即可得.

【详解】如图，设的=。，AB=a,AC=b，三棱柱人与。-AgG的棱长均为1,

则ci'b=1,b,c——,ci'c=一,

222

=(a+e)•(/?-m+e)=〃•/7一同+c,z?+|c|—1+—+1=1,

又|AB{I==J，+2〃地+上2=Si/--1-~+-=,

_\BXBCX_1_V6

则0°"昂3=同网二万&=石'

故异面直线A片与BC,所成角的正弦值为』1_

故选：D.

题型2直线与平面所成角

吧孽向量法求直线与平面所成角的2种方法

（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其

余角就是斜线和平面所成的角.

角度1求直线与平面所成角

例2（2024,江苏扬州•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A5CD是等腰梯形,

点/在网上，点N在上，平面AAW「平面PCD.

（1）求证：N是的中点;

⑵若PA±AB,PA=AB,PC=BC,求直线MC与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）包

7

【分析】（1）由面面平行得到线线平行，从而得到四边形ADCN为平行四边形，CN=AD=^BC,得到结

论；

(2)作出辅助线，得到/54C=90。，结合三角形全等得到上4LAC,从而证明出线面垂直，建立空间直

角坐标系，求出平面PCD的法向量，求出线面角的正弦值.

【详解】(1)因为平面AAW「平面PCD,平面ABCDc平面=

平面/IBCDc平面PCD=CD.所以⑷VCD,

又由梯形ABC。可得AOCN,所以四边形ADCN为平行四边形，

所以CN=AD=[BC,所以N是3c的中点.

(2)连接AC,由(1)知N是BC的中点，AN=CD=-BC,

2

故AN=BN=CN,故ZNBA=ZNAB,NNCA=NNAC,

因为NNR4++NNC4+NN4c=180。，

所以ZWB+NM4c=90。，故/R1C=9O。，即AB人AC,

因为CB=CP,AB=AP,C4=C4,所以ABC与全等，

所以NPAC=NBAC=90,即B4_LAC,

又上4，AB,ABcAC=AAB,4Cu平面ABC。，所以PAL平面A3CD,

以｛AB,AC,AP｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-型，

因为AB=g2C=l,由勾股定理得A。=1BC。一AB?=g=6,

则尸（0,0,1）,2（1,0,0）,。（0,后0）,£>-；，¥，。，

\7

所以CO=，一4,0,PD=,AC=（0,^,0）,

\7\7

/、n-CD-0

设平面尸CD的法向量为〃=（x,y,z）,贝",

nPD=Q

1A/3

——x------y=0

即《22

1460

——x-\-----y-z=0

122,

取X=石，贝!Jy=-1,z=—百，于是用=（若1,—指）,

由平面AMN?平面尸CD,平面依Cc平面AAW=MN,平面PBCc平面PCD=PC.

得MNPC,

1

又N是BC的中点，所以M是PB的中点，M=

l2r?

设直线MC与平面PCD所成角为巴

sin0=\cos(CM,n

\CM[\n\近.77，

2

所以直线MC与平面尸8所成的角的正弦值为理

7

【类题演练1】（2024•广东茂名•模拟预测）已知四棱柱ABC。-ABGR的底面是正方形，4?=4,A4,=40，

点用在底面ABCD的射影为8C中点“，则直线AR与平面ABCD所成角的正弦值为.

【答案】巨

4

【分析】以点》为坐标原点，BA、HC、”片的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系8-孙z,

求得平面ABCD的一个法向量为“=（0,0,1）,直线AR的一个方向向量=（0,6,2近），利用向量的夹角公

式可求直线A2与平面ABCD所成角的正弦值.

【详解】因为点耳在底面ABC。的射影为BC中点，，则平面ABCD,

又因为四边形ABCD为正方形，

以点”为坐标原点，BA>HC、郎的方向分别为X、夕、二轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系

H—xyz,

因为耳〃_L平面ABC。，_BCu平面A3CD,则A"_L8C,

因为AB=4,AA,=472,贝!]=、BB；-BH?=232—4=2万,

则A（4,-2,0）、0（4,2,0）、3（0,-2,0）、耳（0,0,2近），

所以AZ>|=AD+。@=AD+24=（0,4,0）+（0,2,2近）=（0,6,24）,

易知平面ABCD的一个法向量为〃=（0,0,1）,

s鹤一2币币

cosAD,,n=।---\---=----=---

\AD^-\n\8x14，

因此，直线A2与平面ABC。所成角的正弦值为也.

4

故答案为：叵.

4

【类题演练2】（2024•浙江金华•三模）四棱锥尸-ABCD的底面ABCD为正方形，24,平面ABCD,且

PA=y/2,AB=1.四棱锥尸-ABCD的各个顶点均在球。的表面上，Bsl,ILOB,则直线/与平面尸AC

所成夹角的范围为.

7T

【答案】0,-.

【分析】依题意可证明3。工平面PAC,建立空间直角坐标系，用向量法求线面角可得结果.

【详解】解：依题意，四棱锥尸-ABCD的外接球的球心。为PC的中点，连接AC,3。，

交点为0,因为底面ABCD为正方形，所以AC13。，

又PA_L平面ABCD,且89u平面ABCD,所以以_LB£>,

又PAAC=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,所以301平面PAC,

所以8。为平面PAC的一个法向量,

如图建立坐标系，并设直线/上异于2的一点R（%y,z）,所求线面角为巴

乙乙乙］\N

则3R=(x-l,y,z),BO=乎,=

\乙乙乙/I、乙乙

由吠80=0可得x=y+&+l，

x1y

\BR-BQ\-----1----F—z

回sin。=IcosB??,BQ卜222ll

网出小2y2+3z?+2后yz

当z=0时，sinO=O,

当ZRO时,

综上，sin6>e0,—,00e0,：

IT

故答案为：0,-.

另解：依题意，四棱锥P-ABCD的外接球的球心。为PC的中点，连接ACM,

交点为。，因为底面ABCD为正方形，所以AC13D,

又PA_L平面ABCD,且BDu平面A3CD,所以

又PAAC=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,所以平面PAC,

即8。_L面PAC,

若〃/平面ACP,贝I/与平面PAC所成的角为0.

若过B的直线I与平面PAC相交于点R,

在平面3。。中，过8作直线BSL0B,与平面PAC相交于点为S,

因为BQ，面PAC,且RSu平面PAC,所以BQLRS,

又BO1,BR,BSLOB,且BRBS=B,BR,BSu平面BRS,

所以8。工平面BRS,

故过B且与8。垂直的直线与平面PAC的交点的轨迹为直线RS,

又RSu平面2RS,所以RS_LC®,又BQLRS,且08BQ=B,

所以RS_L平面8。。，又。Su平面8OQ,所以RS_LOS,

又BQ,面PAC,所以R。为BR在面B4C内的射影，

BQ

即NBRQ为直线I与平面PAC所成的角，且tanNBRQ=,

RQ

又侬考,而|RQ闫QS|=1,

、BQJ2

当且仅当RS重合等号成立，故0<5皿/5昭2=亲"?，

Q32

综上，sin0e|0,,赳吟•

【点睛】方法点睛：解决直线与平面所成角的方法：（1）几何法：作出直线与平面所成角，在直角三角形

中求角；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，用向量法求线面

角.

【类题演练3X2024•湖南邵阳•三模）如图所示，四棱锥P-ABCD中，“，平面ABC。，ABCD,ABLAD,

AP=AB=2AD=2CD,E为棱PC上的动点.

DC

⑴求证：BC1AE；

（2）若PE=2EC，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】①证明见解析

⑵乎

【分析】（］）连接AC,取43的中点/，连接CP,利用平行四边形的判定及性质可得=则有

AC1BC,然后根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值.

【详解】（1）连接AC,取48的中点/，连接CP,则==

又♦,AB〃CD,歹"CD,.•.四边形AZXF为平行四边形，.•.CFMADULAB,

一2

ZACB=90°,即AC^BC,

DC

又PA_L平面ABC。，8。匚平面钿。£>,，24_18。，

又•，ACPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,，台。！•平面PAC,

又AEu平面PAC,:.BCLAE.

（2）以A为坐标原点，AO,AB,A尸所在直线分别为x轴，>轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=a.则AP=AB=2AD=2a,

DC

x

依题意得。（d。,。），C（aM,O）,B（0,2a,0）,尸（0,0,2a）,

贝！JBP=(0,-2a,2a),CP=(-a,-a,2a),

21(ala2a\

PE=2EC，.-.r>£=-DC+-DP=l--,y,yI.

设平面PBC的法向量为〃=(%,%,Zo),

n•BP=-2ay+2aze=0,

则0n0

n•CP=-ax0-ay0+2az0=0,

取>0=1，得Zo=l,%o=1..,.〃=(1,1,1).

I/>IIDE-HILIR

设直线DE与平面PBC所成角为。，则有sin。=cosDE,n)\=卜"=丹=4

1、Z|\DE\\n\,3问3

•・・直线DE与平面PBC所成角的正弦值为6.

3

角度2已知线面角求值

例3（23-24高三下•上海•期中）如图所示，在四棱锥尸-ASCD中，四边形ABCD为直角梯形,

ABCD,ZDAB=60,CD=1,AB=3,AP3C是等边三角形，尸为线段BC的中点，尸

（1）求证：平面PCB_L平面ABCD；

（2）若E为线段尸F上的一点，且直线8E与平面上位）所成角的正弦值为立，求E尸的值.

4

【答案】（1）证明见解析

(2)EF=2

【分析】（1）利用线线垂直可得尸尸，平面ABCD,进而可证平面P3cl平面ABCD；

（2）过。作垂足为

【详解】（1）因为一P8C为等边三角形，尸为线段BC的中点，所以依，3C,又尸

因为四边形ABCD为直角梯形，ABCD,所以AABC是平面ABCD上的两条相交直线,

所以Pb_L平面ABC。，PFu平面PBC,所以平面PBC」平面ABCD；

(2)因为四边形ABCD为直角梯形，ABCD,ZDAB=60°,

所以NA5C=NOC8=90,过D作。"J_AB，垂足为H,

由CD=1,AB=3,得A/7=2,所以DH=26,BC=DH=2^>

建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,3),A(3,V3,0),B(0,0),D(l,0),

设E（0,0,a）,则PA=（3,A/3,-3）,DA=（2,2月,0）,

设平面PAD的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-PA=3尤+小y-3z=0

则,令y=拒,贝!]"=（—3,石,—2）,

n-DA=2x+2y/3y=0

又BE=(0,-6,a),设直线BE与平面PA。所成角为a,

\n.BE\|2a+3|77

贝!Jsina=解得a=2,即EF=2.

\n\.\BE\~4^+a2

【类题演练1】(2024•河北沧州•三模)如图，在直三棱柱ABC-A,4G中，AB=BC=AAl=2,ABIBC,

D，E分别为AC,AG的中点.

l\/♦»/\

B

(1)证明：平面A^EV/平面BQ。；

(2)线段BC上是否存在点使得直线4M与平面BCQ所成的角的正弦值为逆，若存在，求出线段8M

9

的长；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

⑵存在，1.

【分析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面A用E与平面BCQ的法向量，利用空间位置

关系的向量证明推理即得.

(2)由(1)中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-A与G中，ABJ.BC,则直线BCBAB用两两垂直，

以点3为坐标原点，直线BC,BA,BB,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

4(0,2,0),4(0,0,2),0(1,1,0),E(l,l,2),G(2,0,2),4(022),

然=(0,-2,2),A£=(l,-1,2),BD=(1,1,0),8G=(2,0,2),

m•AB=—2b+2c=0(、

设平面4与E的法向量为历=(a,6,c),贝卜},令6=1,得m=(-1,1,1),

m-AE=a—b+2c=0

/、n-BD=x+y=0/、

设平面8CQ的法向量为〃=x,y,z),贝。,令y=l,得"=-1,1,1),

n-BCl=2x+2z=0

显然加="，点AF平面5CQ,所以平面平面8CQ.

(2)假设线段BC上存在点M,0,0)满足条件，0WY2,AM=&-2,-2),

设直线A"与平面BCQ所成的角为凡

|f+4|_5/

则sin。=|cos(n,\=

Ia||AW"j8+「9

化简得2产-%+7=0,而04/42,解得f=l,

所以存在点M符合题意，此时8M=1.

【类题演练2】（2024•浙江宁波•模拟预测）在空间四边形ABCD中，AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=及.

⑴求证:平面ADCJ_平面ABC;

⑵对角线上是否存在一点石，使得直线与平面ZC£所成角为30。.若存在求出B黑F的值，若不存在说

明理由.

【答案】⑴证明见解析；

⑵存在，黑=石.

ED

【分析】（1）取AC的中点0,连00,80,可证明仞，8,00,AC,DO1OB,根据线面垂直与面面垂

直的判定定理即可证明；

（2）以。为原点，OB,OC,OD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出AD与平面ACE的法向量"

的坐标，根据sin3（T=#冷即可求解.

|叫•同

【详解】（1）取AC的中点。，连DO,B。,

因为AC=2,AD=OC=&,所以AD_LCD,E>O_LAC,且。0=1.

又AS=8C=AC=2,则以"AC,且80=后

又则BO?=。。2+3。2,则。。

因为4。门。3=0,4。,。8<=平面ABC,所以£>O_L平面4BC.

因为DOu平面ADC,所以平面ADC_L平面ABC.

（2）易知OBQGOD两两垂直，以。为原点，OB.OCQD所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，

则。(O,O,O),A(O,T,O),3(£O,O),C(O,I,O),Z>(O,O,I),

则。2=(百,0,-1).

设DE=ADB=(后,0,-2),则E(后,0,-几+1).

则OE=(瓜,0,-几+1),OC=(0,1,0),

设平面ACE的法向量为〃=(x,%z),

n-OE=^2x+(-A+l)z=0

n-OC=y=0

令x=X—1,贝!Jz=y=0,即〃=(2—1,0,.

又AZ）=（（M,1）,所以sin3（r=—r—,

1明•同

即5一，口川+[一行]，即2万+2几-1=0,解得2=—产•或2=—资（舍去），

因为DE=，所以DE=X（DE+£»）,所以ABE=（1-2）OE,

,-1+A/3

所以翁BE1-^J

DEA-—1+6

2

故翳技

题型3二面角

幽蕈向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法

（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则

这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

例4（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥尸—ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,点E在A。上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

p

⑴若歹为线段尸E中点，求证：BF〃平面PCD.

(2)若AB上平面PAD,求平面R4B与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵叵

30

【解析】(1)取PD的中点为S,接SESC,则跖〃ED,SF=；M=1,

而ED//BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四边形SFBC为平行四边形,

故班7/SC,而平面尸CD,SCu平面PCD,

所以3尸〃平面PCD.

(2)

因为£D=2,故AE=1,WAEHBC,AE=BC,

故四边形AECB为平行四边形，故CEHAB,所以CEL平面尸A。,

而尸E,a)u平面尸AO,故CELPE,CELED,而PELED,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（0,—1,0）,3（1,—1,0）,C（l,0,0）,£＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,

则PA^（0,-1-2），照=（1,一1,—2）,PC=（1,0,-2）,PD=（0,2,-2）,

设平面PAB的法向量为m=(x,%z),

m-PA=0[—y—2z=0/、

则由可得cc，取机=(O,-2,l),

设平面PCD的法向量为"=(〃,dc),

n-PC-0[a—2b=0/、

则由可得0,c八，取”=2,1,1),

n-PD=Q[2b-2c=0'7

故cosm,n=1-।广=-,

75x7630

故平面RIB与平面PCD夹角的余弦值为我

30

【类题演练1】(2024•全国•高考真题)如图，在以/,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形N5CA

与四边形40访均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=20M

为AD的中点.

⑴证明：3拉//平面0)£；

(2)求二面角尸-BM-E的正弦值.

【答案】⑴证明见详解；

⑵迪

13

【解析】(1)因为BC〃AD,E尸=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形为平行四边形，所以BM//CD,又因为比欣仁平面CDE,

CDu平面CDE,所以〃平面CDE；

(2)如图所示，作3O_LAD交AD于0,连接OF,

因为四边形A3CD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(1)3czM1为平行四边形，可得氏0=CD=2,又AM=2,

所以.ABM为等边三角形，。为AM中点，所以02=若，

又因为四边形及无尸为等腰梯形，M为4)中点，所以EF=MD,EF//MD,

四边形SF7WD为平行四边形，FM=ED=AF,

所以为等腰三角形，―ABA/与底边上中点。重合，OF1AM,OF=^AF1-AO1=3-

因为0*+。尸2=3尸2,所以os_Lop,所以03,O£»,O尸互相垂直，

以。3方向为x轴，0D方向为了轴，OF方向为z轴，建立。-孙z空间直角坐标系，

F（0,0,3）,B（V3,0,0）,M（0,l,0）,E（0,2,3）,BM=（-73,1,0）,SF=（-A/3,0,3）,

BE=（-V3,2,3）,设平面BFM的法向量为根=（%,另,z1），

平面EMB的法向量为，z=（9,%，Z2），

m-BM=0f-V3x+y,=0「

则，即J力，令玉=百，得M=3,4=1,即机="3,1,

mBF=。1―6%+3ZI=0'7

YI•BM=0[-y/3x+y=0l

则，即厂一?发7，令S,得当=3乌=一1,

n-BE=0[-A/3X2+2y2+3z2=0

/r-\m-n11114C

即力=（忘3,T）,cos"，，"丽丁标后=石，则sin肛〃=蛋，

故二面角尸-及0-E的正弦值为W

A弋冲;嘀

【类题演练2】（2023•广东佛山・统考二模）四面体ABC。中，ABYBD,CDLBD,AB=3,BD=2,CD=4,

平面ABD与平面BCD的夹角为:，则AC的值可能为（）

A.V17B.723C.735D.同

【答案】AD

【解析】在四面体ABCD中，ABYBD,CD±BD,贝!|<54,OC〉是二面角A—3D—C的平面角，如图,

A

AC=AB+BD+DC=-BA+BD+DC，而AB=3,BD=2,CD=4,

2222

AC=BA+BD+DC-1BADC=9+4+16-2x3x4cos(BA,DC)=29-24cos<BA,DC),

因为平面说与平面BCD的夹角为三，则当〈54,。。〉=］时，|4口=后,

当〈BA,OC〉=与时，|AC|=4r,

所以AC的值可能为J万，V41.

故选：AD

【类题演练3】（2024•四川宜宾•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是正方形,

AD=PD=2,ZPDC=120,PA=2&，点E为线段PC的中点，点厂在线段AB上.

（l）5gAF=1,求证：C"EF；

⑵若F是AB上靠近点B的三等分点，求平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）半.

4

【解析】（1）在正方形ABCD中，AD=CD,又AD=PD=2,.〔PD=CD=2

在,PCD中，点E为线段PC的中点，DELPCOE平分/尸DC,

在RtZXCDE中，DE=CDcos60=1,

过E作EHJLC。交CO于H,连接FW,则=DEcos60=」，

2

在正方形ABCD中，AP=g,.,.四边形AFHD是矩形，

:.CDLFH,又CD1EH,EHcFH=H,EH,FHu平面EFH,

\CDA平面EFH,又EFu平面

(2)AD=PD=2,PA=2>/2,.-.AD±PD,

在正方形ABCD中，ADLCD,

而CDcPD=O,C£>,P£>u平面PCD,

所以A£>_L平面PCD,

又ADu平面ABCD,:.平面ABCD1平面PCD,

过。作DG_LOC交PC于点G,

由平面"CD4平面尸CD,平面ABCDc平面PCD=DC,ZX7u平面尸CD,

得，OG_L平面ABCD,

故ZHDCQG两两互相垂直，以。为原点，以"DCDG所在直线分别为％y,z轴,

建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,巩2,2,0）（（0,2,0）,尸倒,-1,石）,

由(1)知：DH=Z)£cos60=g,EH=OEsin60=咚,

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产是A3上靠近点B的三等分点，.♦.AF=§AB=§,；.F

设平面的法向量为4=（%,为4）,

1A/3

4•DE5%+彳石0

故<,取％=2故y=-3,4=

4

nlDF=2xi+-y1=0

所以平面DEF的一个法向量々=（2,-3,73）,

同理：设平面ADP的法向量%=（元2，%/2）,

n2-DP=-y2+A/3Z2=0

，取Z2=1,故%=G,=0,

n2,DA=2X2=0

平面ADP的一个法向量"

设平面DEF与平面DR4所成的锐二面角的平面角为。，

-n

则2=B

cos0=Hl^l4

故平面DEF与平面DE4所成的锐二面角的余弦值为3.

4

题型4点到平面的距离

解题锦囊

求点面距常见的三种方法

（1）作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；（2）等体积法；（3）向量法.其中向量法在

易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.

例5（2024•黑龙江•三模）如图，在直三棱柱ABC-中，AB=AAl=^,AB±AC,。为AC的中

点.

⑴证明：A瓦，平面4出。；

（2）若二面角A-BC-O的余弦值为正，求点A到平面BCD的距离.

4

【答案】⑴证明见解析

（2）点A到平面BCD的距离为逅.

2

【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知AA，A8,AA，AC,四边形九4超出为平行四边形,

又因为A5=A4,,所以四边形A41AB为正方形，所以A片，耳5,

因为AA'AC,ABJ.AC,MAB=A,

所以ACJ■平面,

所以AC1AB1，

因为AO//AC,

所以

又因为ABcAO=A，\B,ADu平面48。

所以A片，平面A/。.

（2）以A为原点，AB,AC,AA所在直线分别为无轴、，轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设AC=2a（a>0）,则A（0,0,0）,B（g,O,O）,C（0,2a,0）,D（O,a,君）,

所以AC=（O,2a,0）,BC=（-V3,2a,0）,CD=（0,-a,代），

所以平面ABC的一个法向量为加=（0,0,1）,

设平面BCD的一个法向量为〃=（x,y,z）,

n-BC-0[~y/3x+2ay=0

则，所以「，

n-CD=0[-ay+y/3z=0

取九=6,贝!Iy=丁，z=,

2a2

所以〃=石,;，坐,

2a2

设二面角A-的大小为巴

则Icos"=|cosm-Ai|0

4，解得a=l,

（3也、

所以玄=（0,2,0）,平面BCD的一个法向量〃=|豆二事

设点A到平面BCD的距离为d,

JG「3一屈

则同/3+9+32，

V44

所以点A到平面BCD的距离为好.

2

【类题演练1】在三棱锥S-ABC中，△4BC是边长为4的正三角形，平面S/CL平面ABC,SA=SC=2小,

M,N分别为48,S3的中点，如图所示.求点3到平面CMN的距离.

解：取/C的中点O,连接。S,OB,

"：SA=SC,AB=BC,：.AC±SO,AC±BO.

•.•平面S4CJ■平面48C,平面S/iCn平面N2C=/C,

；.$。，平面48。，又：台。平面NBC,：.SO±BO.

如图所示，分别以CM,OB,0s所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。一xyz,

贝42(0,2小，0),C(-2,0,0),S(0,0,2^2),M(l,事,0),NQ,小，也).

：.CM=(3,小，0),血=(—1,0,6)，施=(—1,小,0).

设〃=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，

CM-n=3x+y[3y=0f

则j

、MN・n=—x+3z=。,

取z=1,则y=—*\/6,n=(*\/2,—"\/6,1).

.•.点3到平面CMN的距离1=世半=芈.

【类题演练2】(2024•福建福州•一模)如图，四边形N8CD是圆柱OE的轴截面，点/在底面圆。上，圆O

的半径为1，4/=若，点G是线段2尸的中点.

(1)证明：EG〃平面04尸；

⑵若直线与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面。环的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)姮

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【解析】(1)取■中点连接。M,GM,如图所示：

\\,•\G为跳'中点，则GM//AB,又ABHDE,得GM//DE,

F

由DE=-AB,得GM=DE,

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所以四边形DEGM为平行四边形，DM//EG,

又OWu平面ZM尸，EGZ平面ZM广，所以EG//平面ZMF.

(2)因为03=1,AF=6ZAFB=90,所以班'=Jy®_川=J4_3=L

因为八A_L平面AB尸，且直线。户与圆柱底面所成角为45,

所以NAFD=45,则有AD=石.

如图，以尸为原点，EB,E4分别为x,y轴，过歹垂直于底面的直线硒为z轴，建立空间直角坐标系尸-孙z,

ZJ

则有尸(O,O,O),A(O,£O),B(LO,O),G@,O,O),D(O,市,/),C(I,O,/),Eg,与,6

FD=Z市网,FE=与#,

FD-n=6y+^z=0

设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)