湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试卷

绝密★启用前【新结构】2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高三年级第二学期2月份月考数学试卷❖1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。B.C.-2D.22.函数y=sin的图象()A.关于y轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x对称D.关于直线y=-x对称3.若集合M满足：M≠⑦,若a∈M,则-a∈M，则称集合M是一个“偶集合”.已知全集A.A∩BB.AB4.已知数列{an}的前5项分别为1，3，3，5，5，该数列从第5项起成等差数列，且S12=108，则该等差数列的公差为()A.1B.2C.3D.45.现有10份不同的食品，其中有2份不合格．每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止．若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为()A.16B.20C.28D.326.如图所示．已知圆O的半径为2，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若MN=OM，则对角线AC长度为() 27.已知sin2θ=则.cos) A.B.C.D.20202020不含边界)，AD丄CD，则异面直线CD与AB所成角的余弦值的取值范围为()A.(,)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于函数f(x)=x3-3x+1，下列说法正确的是()A.f(x)有两个极值点B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)有三个零点D.f(x)零点之积为-110.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，动点M(x0,y0)(x0≥0)，记M到y轴的距离为d.将满足AM=d+1的M的轨迹记为Γ,且直线l:kx-y+k=0与Γ交于相异的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则下列结论正确A.曲线Γ的方程为y2=2xB.直线l过定点(-1,0)C.y1(-∞,4)11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40,0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55)，则下列说法正确的是()参考数据：P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974.A.P(BiA)>P(B)B.P(AB)<P(AB)D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC,点O为△ABC的重心，若以A、O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为.14.海边近似平直的海岸线上有两处码头A、B，且AB=3km.现有一观光艇由B出发，同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在M处成功拦截观光艇，完成补给．若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点M距离海岸线的最远距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线y=kx与函数f(x)=xlnx-x2+x的图象相切.(2)求函数f(x)的极大值.16.(本小题15分)段BG与AH的中点，现将四边形CDHG沿直线CD折成一个五面体AED-BFC(如图).(1)在线段BF上是否存在点M，使CM//平面ADE.若存在，找出点M的位置；若不存在，说明理由；(2)若二面角F-DC-B的大小为60O，求平面ADE与平面DEFC所成夹角的余弦值.17.(本小题15分)新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码x123456789渗透率y%293234323338(1)假设自2023年1月起的第x个月的新能源渗透率为y%，试求y关于x的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.某4S店为促进销售，于2024年1月推出为购买燃油车的客户代付购置税的优惠活动。已知该店共有5销售员，基本工资均为5000元，销售员每销售一辆新能源车和燃油车的提成分别为客户实际支付车价的1%和0.5%。当月该店共销售了原始价格平均为20万元的28辆车。假设以(1)中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，求4S店1月份发放给所有销售员工资总和的期望.(工资=基本工资+提成，客户实际支付车价=客户实付总额-应付购置税)18.(本小题17分)已知定点R(2,0)，圆S:x2+y2+4x-44=0，过R点的直线L1交圆于M、N两点，过R点作直线L2//SN交SM于Q点.(2)(i)曲线C上有两个点A、B，直线OA和OB的斜率之积为1，问是否存在实数λ,使得OA2+OB2=λOA2OB2.(ii)在(i)的条件下，设OA的斜率为k，已知≤k≤2，求SΔAOB的最小值.19.(本小题17分)*；234；(2)是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等比数列？若存在，请写出一组a1，a若不存在，请说明理由；答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.直接利用向量垂直的坐标表示求解即可.【解答】故选C2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题.【解答】由—cos(x)=cosx为偶函数，所以关于y轴对称.故选A.3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了集合的新定义，集合的交、并、补的运算，属于中档题.分别求出A∩B，AB，A∩(CRB)，(CRA)∩B，利用“偶集合”的定义逐一判断即可.【解答】因为2∈A∩B，但2A∩B，故A错误，RRA)∩B],a∈[(RA)∩B]，所以(CRA)∩B是一个“偶集合”，所以D正确，故选D.4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的前n项和公式等，属于基础题.从第五项开始直接利用等差数列的前n项和公式即可.【解答】解：设该数列为{an}.依题意，得a5，a6，…，an，…，成等差数列，5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列组合的应用，属于基础题.利用排列组合以及分步乘法计数原理即可.【解答】解：由题意得，前2次检测出1份不合格，1份合格，第3份为检测出第2份不合格，先选出1份合格，有C种，再选出1份不合格，有C种，两份可在第一次和第二次顺序上进行全排列，则前三次不同检测方案的种数为CCA=32，故选D.6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查圆的切线的性质，三角函数的应用等，属于基础题.先利用已知条件求出然后利用三角函数得到上MOE=60o即可.【解答】解：记OC与MN相交于E，过O作AB的垂线，与AB相交于F点，如图所示，7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两角差的余弦公式等，属于基础题.先变形，然后利用两角差的余弦公式和倍角公式等即可.【解答】8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题.先建立空间直角坐标系，然后由AD丄BD，可得x2—2x+z2=0然后利用空间向量的数量积即可.【解答】解：如图，因为PA丄平面ABC，BC平面ABC，所以PA丄BC.又因为AB丄BC，PA∩AB=A，PA、AB平面PAB，AD平面PAB，所以AD丄BC，又AD丄CDBC∩CD=C，BC、CD平面BCD，如图，以A为坐标原点的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2·3),D(x,0,z)，设异面直线CD与AB所成角为θ,则故选A.9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性的方法、极值以及函数零点的判断方法，属于中档题.利用函数f(x)的奇偶性判断B选项，再利用导数的变号零点的个数判断AC选项，结合=(xx1)(xx2)(xx3)=x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3可判断D选项.【解答】由f(0)=1知，B错误.对于D，由C可设f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3，(xx1)(xx2)(xx3)=x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3，所以x1.x2.x3=1，选项D正确，故选ACD.10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查曲线方程，抛物线方程以及性质，直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的定点问题，属于中档题.对于A：由题意结合抛物线的定义，得到点M的轨迹方程为y2=4x，可判定A不正确;对于B：把直线化简为y=k(x+1)，可判定B正确;对于C：联立方程组，结合韦达定理，先求出k的范围，可判定C正确，可判定D正确.【解答】解：由题意，点M到y轴的距离为d，将满足AM=d+1的M的轨迹记为Γ,即点M到x=—1轴的距离和点M到A(1,0)的距离相等，结合抛物线的定义，可得点M的轨迹为以A(1,0)为焦点，以x=—1为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2=4x，所以A不正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查正态分布、条件概率等，属于较难题.直接利用题意判断A即可；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B即可；利用正态分布的性质判断C即可；设f(x)=C5.0.8445.0.16x—45.然后判断出这个函数的单调性即可判断D.【解答】解：由题意P(BA)>P(B)，故A正确；对于B，由P(A).P(BA)>P(A).P(B)，所以P(AB)>P(A).P(B)，又P(AB)+P(AB)=P(A).P(BA)+P(A).P(BA)=P(A)，所以P(AB)>P(B).P(AB)+P(AB)，即P(AB)P(AB).P(B)>P(B).P(AB)，所以即，所 以P(AB)>P(AB)，故B错误；C正确；所以=52.5，所以f所以=53+，所以f最大时M的估计值为53，D正确．故选ACD.12.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查复数、实系数方程的根等，属于基础题.利用韦达定理即可.【解答】故答案为：2.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，关键是建立坐标系，利用方程方法求解.建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线E过点B，求得b的值，进而计算c，求得离心率.【解答】由于△ABC为等腰直角三角形，AB=AC,所以BD=3.以AO中点O为原点，AD所在直线为x轴，AO的中垂线为y轴建立直角坐标系，:AO=2，:AO,=O,O=1，即双曲线的半实轴长a=1，c:e==2.a14.【答案】2km【解析】【分析】本题主要考查余弦定理和函数模型的应用等，属于中档题.先设BM=x，则AM=2BM=2x，x∈(1,3).然后利用余弦定理求出cosθ=，然后利用函数模型即可.【解答】当x2=5时，(xsinθ)max=2，所以拦截点M距离海岸线的最远距离为2km.从而g(x)在(0,)上单调递增，在上单调递减，所以存在从而f(x)在(0,x1)，(1,+∞)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，故f(x)存在唯一极大值f(1)=0.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等，属于中档题.(1)设出切点，然后利用导数的几何意义即可；(2)先利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.16.【答案】证明：(1)存在，M为BF的中点，证明如下：取BF中点M，取AE中点N，连接CM、MN、DN.:C、D为梯形ABGH两腰中点，M、N为梯形ABFE两腰的中点，:CD与MN平行且相等，则四边形CMND为平行四边形，得CM//DN.:CM/平面AED，DN平面AED，:CM//平面AED.解：(2)由题意，可知FC丄CD，BC丄CD，FC∩BC又CD平面ABCD，又因为FC=CB，故ΔFCB为等边三角形，过F作FO丄BC于点O，易知O为BC的中点，如图以点O为原点，建立空间直角坐标系.设平面DEFC的法向量为即是平面DEFC的一个法向量.222221,·3)是平面ADE的一个法向量.设平面ADE与平面DEFC所成夹角为θ,则综上，平面ADE与平面DEFC所成夹角的余弦值为.【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题.(1)取BF中点M，取AE中点N，连接CM、MN、DN，可得四边形CMND为平行四边形，得CM//DN，再由线面平行的判定可得CM//平面AED；(2)由二面角FDCB的大小为60O可得ΔFCB为等边三角形，以点O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ADE与平面DEFC的法向量，可得二面角的余弦值.所以预测2024年1月新能源渗透率为40%.(2)设4S店1月份发放给销售员工资总和为Y，由(1)可知客户购买新能源车的概率为，燃油车