2025年高考数学复习大题题型归纳：数列中的知识交汇和创新型问题（解析）

专题08数列中的知识交汇和创新型问题

1.王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷,

分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等

数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括

本金和利息）.

（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试

计算王先生该笔贷款的总利息；

（2）若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%,.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一

半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据

1.003119~1.428,1.OO3180~1.433,1.003121~1.437

【答案】（1）290000元

（2）王先生该笔贷款能够获批

【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息;

（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.

【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列｛an｝,Sn表示数列｛an｝的前

71项和.

150006500

则的=15000,a120=6500,故S^o=+x120=1290000.

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.

（2）设王先生每月还货额为工元，则有

x+x(l+0.003)1+x(l+0,003)2+…+x(l+0,003)119=1000000x(1+O.OO3)120,

即若端F=1°°°°°°X(1+°Q03)】2。

1000000X(1+0.003)12°X0.003

故第=X9928.

1.OO3120-1

因为9928<23000x|=11500,故王先生该笔贷款能够获批.

2.佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与

佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一

个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，

交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往

上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.

(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列｛an｝的通项公式，该数列以33.6为

首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前加(me/V*)项

的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2%、

3a2、4a3、、(m+l)am((m+l)am表示高度为的方体连续堆叠m+1层的总高度)，请问新堆叠坊

塔的高度是否超过310米？并说明理由.

【答案】(l)an=36—2.4n(答案不唯一，符合题意即可)

(2)可以，理由见详解

【分析】(1)根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合；

(2)根据题意求S7,并与310比较大小，分析判断.

【详解】(1)由题意可知:aj=33.6,注意至U33.6-24=9.6,24—19.2=4.8,

取等差数列的公差d=一2.4,则an=33.6-2.4(n-1)=36—2.4n,

令an=36-2.4n=24,解得n=5,即24为第5项；

令an=36-2.4n=19.2,解得n=7,即19.2为第7项；

故an=36—2.4n符合题意.

(2)可以，理由如下：

由(1)可知：m<7»ai=33.6,a2=31.2,ag=28.8,a4=26.4,=24,a6=21.6,a7=19.2,

设数列｛（n+DaJ的前n项和为S.

VS7=2al+3a2+4a3+…+8a7=856,8>310,

故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.

3.在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格。与其实际价值6之间存在着相

当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”,

常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第「次讨价加上二者差价的一半;消费者

第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:

表1

次数消费者还价商家讨价

11

第一次b]=2。=bi+，（a-瓦）

然

1

第二次

b2=C1一5©一瓦）1

=万2十万（。1一力2）

门

1

第三次

匕3=-'（。2-％1

=①十万（。2-久）

金

1

b=cn-l-2（0-1

n1

第〃次

=bn+3（cn_i

一如—1）

-bn）

消费者每次的还价%5£k）组成一个数列｛6n｝.

（1）写出此数列的前三项，并猜测通项隔的表达式并求出limb；

n-»4-oon

（2）若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之

几的利润？

【答案】（1）答案见解析

（2）8%

【分析】（1）根据条件即可得到数列｛、｝的通项公式，进而可直接计算lim1；

（2）根据价格比得a,b关系，代入（1）中lim,计算即可.

【详解】⑴b1=ia,

1ZX1,11=(T)+G)2a+(一，a+a,

ub?=Ci—(Ci-Kbi)=­ad—a—a

z12v117248

c_c-

b3=21(2b2)=(—ga)+a+...+a+a,

观察可得,

1(-5)+(-今a+-+(-l)a+a

bn-cn-l-2(d-1-bn_i)

1

+a

limb=黯{-枭［1+弓产力+a}=*a+a*a.

n-*oon

(2)因为b:a=0.618:1,所以a="一,

2b-1.08b

3x0.618

故商家将有约8%的利润.

4.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动

资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%,每年年底把除运营成本a

万元，再将剩余资金继续投入直播平合.

（1）若a=100,在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底初除运营成本后资金达到3000万

元？（结果精确到0.1万元）

【答案】（1）936万元

（2）3000万元

【分析】（1）用an表示第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据己知计算ai，a2，a3可得;

（2）由已知写出药.2户3,…,a6,然后由a623000求得a的范围,

【详解】（1）记an为第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，

则a】=500x1.4-100=600,

a2600x1.4-100=740

a3=740x1.4-100=936

故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.

(2)a1=500x1.4—a,

2

a2=(500x1.4—a)x1.4—a=500x1.4—1.4a—a

654

a6=500x1.4-(1.4+1.4+-+l)a

由a6>3000,得aW46.8,

故运营成本最多控制在46.8万元，

才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.

5.甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：力公司第一年月基础工资数为

3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以

后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的L05倍.

⑴分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）

（2）设甲、乙两人入职第九年的月基础工资分别为册、g元，记％=册-%，讨论数列｛cj的单调性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.

【答案】（1）甲的基础工资收入总量606000元；乙的基础工资收入总量603739元

（2）单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析

【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解

即可

（2）根据题意可得％=3400+300n-4000X1.05n-1,再求解J+I-7>0分析｛0｝的单调性，并计算J<

。时n的取值范围即可

【详解】（1）甲的基础工资收入总量

Si=（3700xl0+|xl0x9x300）X12=606000元

乙的基础工资收入总量

4000X（^）

111

(2)an=3700+300(n-1),bn=4000x1.05-

111n

cn=3400+300n-4000x1.05-,cn+1=3400+300(n+1)-4000x1.05,

111111

设Cn+i-cn=300-200x1.05->0,BP1.05-<1.5,解得1WnW8

所以当lWnW8时，｛.｝递增，当nN9时，小递减

又当Cn<0,即3400+300n<4000*1.05-1,解得5WnW14,所以从第5年到第14年甲的月基础工

资高于乙的月基础工资.

6.治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等

一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年

的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n(neN*)的表达式；

(2)设乙为从今年开始〃年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的

治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.

200-20n,l<n<5

【答案】⑴*=[ioox(y：n2$

(2)有效，理由见详解

【分析】(1)分别求出当nW5时和n26时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；

(2)先根据An=^,利用作差法，可证明数列｛AJ为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势

【详解】(1)设治理n年后，S市的年垃圾排放量构成数列｛aj.

当nW5时，｛aj是首项为ai=200—20=180,公差为一20的等差数列，

所以an=a1+(n-l)d=180-20(n-1)=200-20n；

当nN5时，数列｛aj是以as为首项，公比为半的等比数列，

n-5

所以an=a5q-100x(：),

所以，治理n年后，S市的年垃圾排放量的表达式为

r200—20n,1<n<5

a=</3\n-5

n"xQ),n>6

(2)设Sn为数列｛aj的前n项和,

则A—,

出AA_Sn+1Sn_nSn+i—(n+l)Sn

出寸An+1-An-----——

_n(Sn+Hn+1)-(n+l)Sn

n(n+1)

=nan+l-Sn

n(n+1)

_(an+i-ai)+(an+i-a2)+，・・+(an+i-an)

n(n+l)

由(1)知，

lWnW5时，an=200—20n,所以｛aj为递减数列，

n

nN6时，an-100xg)"\所以｛aj为递减数列，

且a6<a5>

所以｛an｝为递减数列，

于是an+i—a1<0,an+i一a2<0,...,an+1—an<0

因此An+i-An<0,

所以数列｛AQ为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的

7.为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用〃？

毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%,设第n次服药后(滤除之前)这种药物在人

体内的含量是册毫克，(即.

(1)已知771=12,求。2、。3；

(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求加的最大值.

【答案】(l)a2=14.4,a3=14.88；

(2)20毫克

【分析】(1)由a?=m+a】•20%,a3=m+a2,20%计算可得.

(2)由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的20%可得递推关系式，变形后构造一

个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得.

【详解】(1)a2=m+a1•20%=12+12x0.2=14.4,a3=m+a2-20%=12+14.4x0.2=14.88；

(2)依题思，Hn+1=m

所以an+1-9m=1(an-3m),ai-|m=-；m,

所以闻―3m｝是等比数列，公比为春

所以an_]m=_*mxG)n\an=|m—

51.,25

严一；^111"Q,Cm<

44x5n-1

数列｛>忌川是递增数列，且>$<£所以冬=2。,

44x5n-14

即mW20,

所以m的最大值是20毫克.

8.保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院

办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政

策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保

障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住

房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.

(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万

平方米？

(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

【答案】(1)2030；

(2)2026.

【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列缶"，由题意可知，｛aj是等差数列，其中ai=25,d=5,结

合等差数列的前n项和公式，即可求解.

(2)设新建住房面积形成数列｛，｝,由题意可知，｛，｝是等比数列，其中E=40,q=1.08,则可得｛%｝的通

项公式，通过求解an>0.85bn不等式，即可求解.

【详解】(1)设保障性租赁住房面积形成数列｛aj,

由题意可知，｛a"是等差数列，其中ai=25,d=5,

则Sn=25n+X5=1(5n2+45n),

令g(5n2+45n)N475,即H+9n-190》0,而n为正整数，解得n》10,

故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万

平方米；

（2）设新建住房面积形成数列｛bQ,

由题意可知，｛bn｝是等比数列，其中bl=40,q=1.08,

则bn=40X(1.08)nT,

由题意知，an>0.85bn,则25+（n—l）x5>40x（1.08）nT,满足上式不等式的最小正整数n=6,

故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

9.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排

和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5

万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的

水平不变.

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列｛an｝,每年发放电动型汽车牌照数为构成

数列｛%｝,完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式;

a2=

=

二10=9.5

bi人4=

匕2=3仇=_•

=2

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

【答案】（1）表格见解析,

10.5—0.5n,n<20皿.2x(|)-,n<4)n£N.

0,n>21n€N;bn

6.75,n>5

(2)2033年

【分析】（1）由已知数列｛aj是等差数列，数列｛、｝是等比数列通过观察得到结果（2）利用等差、等比求

和公式，分段将两部分分组求和后列出不等式关系求出结果

【详解】（1）由己知，由己知数列｛aj是等差数列，数列｛、｝是等比数列

因此列举前四项可填表如下

31a2

a3=9a4=8.5

=10=9.5

也b4=

b2=3b3=4.5.

=26.75

由题意，当1WnW20时an=10+(n-l)x(-0.5)=10.5-0.5n当n221时，an=0

r因au此ran=[(10.5o—,0n.>5n2,1n<20ne「N太1*：

而根据题意+b4=15.25>15

n4

因此数列｛。｝的通项公式为,=[2*篇)-I，^,neN*

I6.75,n>5

(2)由(1)可知记Sn为数列hn｝的前n项和,Tn为数列｛bn｝的前n项和,设累计各年发放的牌照数为Mn,则Mn=

'/141n\[2-2x(|)n-

(一产7+丁)+

2

Sn+‘n-"(-评+等)+16.25+6.75X(n-4),5<n<2()“视

、105+124.25+6.75x(n-20),n>21

由题意，Mn>200,因止匕，可以得到当n=20时Mn=229.25,所以当n220时满足要求

即2033年累计各年发放的牌照数开始超过200万张

10.市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：

①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；

②等额本息：每月的还款额均相同.

银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首

次还款）.已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试

计算该笔贷款的总利息.

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张

家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.

参考数据：1,00424°«2.61.

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式.

【答案】（1）289200（元）；（2）小张申请该笔贷款能够获批；（3）小张应选择等额本金的还款方式.

【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n

项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；

（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x元，由等比

数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.

【详解】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，

每月的还款额构成等差数列，记为｛aj,

用Sn表示数列｛aj的前n项和，

则a[=4900,a24o=2510,

则S240=240(490；+2510)=889200,

故小张的该笔贷款的总利息为889200-600000=289200(元).

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，

则x+x(l+0.004)+x(l+0,004)2+•••+x(l+0.004)239=600000X(1+O.OO4)240,

所以x(匕=600000x1,OO4240,

\1-1.004)

目24XX

即nx=6-0-0-0-00-x-l.-00加4-°-x-0-.0-0-4x-6-00-0-0-0-2-.-61--0-.0-04-x3891,

1.004240-12.61-1

因为3891<10000x1=5000,

所以小张该笔贷款能够获批.

(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为

3891X240-600000=333840(元)，

因为333840>289200,

所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式.

11.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该

市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，

使该种病毒的传播得到控制，从11月1(9WkW29,keN*)日起每天的新感染者比前一天的新感染者减

少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人

数最多？并求这一天的新感染者人数.

【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人数最多为630人.

【分析】(1)根据题意数列｛aJQWnW9)是等差数列，a1=20,公差为50,又a1。=410,进而根据等差

数列前n项和公式求解即可；

(2)11月k日新感染者人数最多，则当lWnMk时，an=50n-20,当k+lWnW30时，an=-20n+

70k-20,进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.

【详解】解：(1)记11月n日新感染者人数为a£lWnW30),

则数列｛ajQWnW9)是等差数列，a1=30,公差为50,

又ai()=30+50x8-20=410,

则11月1日至11月10日新感染者总人数为：

(a1+3,2H---Faj+a1。=(9x30H—--X50)+4,10=2480人；

(2)记11月n日新感染者人数为aKl<n<30),

11月k日新感染者人数最多，当iWnWk时，an=50n-20.

当k+1WnW30时，an=(50k-20)-20(n-k)=-20n+70k-20,

因为这30天内的新感染者总人数为11940人,

l(30+50k-20)k,[50k-40+(70k-620)](30-k).

/RyCr以h----------1-------------------------=iiyqun,

得一35k2+2135k-9900=11940,即k2-61k+624=0

解得k=13或k=48(舍)，

此时ai3=50x13-20=630

所以11月13日新感染者人数最多为630人.

【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键

在于建立等差数列模型，当lWnWk时，an=50n—20,当k+lWnW30时，an20n+70k-20,

进而求和解方程.

12.某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有/,B,C,。这4个选项，4个选项中仅有两个

或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过

程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为%

并且规定若第i(i=1,2,…,n-1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为/第i(i=

1,2,…,7i-1)题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为

(1)若第二题只选了一个选项，求第二题得分的分布列及期望；

(2)求第n题正确选项为两个的概率；

⑶若第"题只选择2、C两个选项，设丫表示第"题得分，求证：F(y)<

18

【答案】(1)分布列见解析；y

(3)证明见解析

【分析】(1)设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为3个，Pn(C2)表示第n题正确选项为2

个的概率，Pn(C3)表示第n题正确选项为3个的概率.由全概率公式可求出P2(C2),继而P2C3)可求，再由全

概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；

(2)根据(1)中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论

Pn+l(C2)=扎仁2)+|Pn(C3)化简可得Pn+l(C2)—*Pn(C2)-3可知,⑸)-为等比数列,求通项

可得Pn©)；

(3)根据(2)求出的Pn(C2)可得Pn(C3)=l-Pn(C2)，在利用全概率公式即可求得Y的分布列,计算出E(Y)=

"一套则结论可证.

【详解】(1)设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为3个，

Pn(C2)表示第n题正确选项为2个的概率，Pn(C3)表示第n题正确选项为3个的概率.

设事件C表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量X表示第二题得分.

依题得，X可能取值为0,2.

因为P2C2)=3P1(C2)+|P1(C3)+=\P2C3)-1-P2(C2)

所以P(x=。=P(c|C2)P2(C2)+P(C|C3)P2(C3)=|x|+|xi=|x|+lxi=^

CJ5C?4153411

X+X=X+X=

P(X=2)=P(C|C2)P2(C2)+P(C|C3)P2(C3)=^9^9294918

所以X的分布列为：

Ejn0

0E

所以E(X)=0xZ+2xU=2.

k718189

(2)依题得，Pn+1(C2)=1Pn(C2)+1Pn(C3)=1Pn(C2)+1(l-Pn(C2))=I-1Pn(C2),

所以Pn+«2)-I1(Pn(C2)-J

所以｛Pn(C2)—I是以一!为首项，以一(为公比的等比数列.

所以Pn©)-六(一3)x(-31=5X(-1)n-PnCC2)=1+lX(-1)n-

=-x

(3)由(2)可知,Pn(C2)=1+1x,Pn(C3)=1-Pn(C2)|1I)•

依题得，Y可能取值为0,2,5.

P(Y=°)=…)+i).x(*dx(*x(-尹H+X-丁p(Y=

n

2)=0xPn(C2)+|xPn(C3)=1xg-1x(-Q)

P(Y=5)=/Pn(C2)+0xPn(C3)=)(鸿x(一J)屋+2x(-»，

所以£(丫)=2><(:如(一岁)+5，信+2><(一丁人工一卷4一丁〈得

【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式,

然后用数列手段去处理求解.

13.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局,

双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲

胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

⑶若P&=0,1,…,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则「0=0,。6=1.证明：｛Pf+i—

Pj(i=0,l,2,…,5)为等比数列.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=3.1.

(2)0.0525

⑶证明见解析

【分析】(1)求出X的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望;

(2)根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；

(3)根据全概率公式和等比数列的定义可证.

【详解】(1)X的所有可能取值为2,3,4,

P(X=2)=O.2,P(X=3)=0.5,P(X=4)=0.3,

则X的分布列为：

X234

P0.20.50.3

E(X)=2x0.2+3x0.5+4x0,3=3.1.

(2)当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，

其概率为：-0.32•0.5-0.3=0.0405.

当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，

其概率为:Cl-0.22-0.5-0.2=0.012,

所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012=0.0525.

(3)因为B(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率"，Po=0,

在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2,

在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，

在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为O.2Po,

根据全概率公式得Pi=0,3P2+0.5Pi+O.2Po,

所以Pi=0.3P2+0,5P1+O.2Po,变形得0.3(P2-P。=0.20一P°),因为匕-P0>0，

所以忙也=2,同理可得也以=至包=占幺=±±=3,

Pl-Po3P2-P1P3-P2P4-P3P5-P43

所以｛Pi+i—PB(i=0,1,2,…,5)为等比数列.

【点睛】关键点点睛：第(3)问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列｛PJ中相邻三项之间的关系

是解题关键.

14.已知数列｛册｝的前71项和为%,%=2,对任意的正整数几，点(％+i，SQ均在函数f(%)=尢图象上.

(1)证明：数列｛Sn｝是等比数列；

⑵问｛册｝中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由题意，得到Sn=an+i=Sn+1-Sn，求得2=2,结合等比数列的定义，即可求解；

(2)由⑴得到Sn=2L求得an曾;，，假设存在2Wm<n<p使得am，a.ap成等差数列，化

简得到2n+l-m学1+2P-m,即可求解.

【详解】（1）证明：对任意的正整数n,点（an+i，Sn）均在函数长乂）=乂图象上,

可得Sn=an+1=Sn+x—Sn,即Sn+1=2Sn，

又因为a1=2,可得Si=ai=2,

所以数列｛SJ表示首项为2,公比为2的等比数列.

（2）解：不存在.

理由：由（1）得Sn=2•=2%

当n22时，可得an=Sn-SnT=2n-2-1=2-1,

又因为说=2,所以an=[2^：；2，

反证法：因为ai=a2,且从第二项起数列｛aj严格单调递增，

假设存在2Wm<n<p使得am，an,ap成等差数列，

可得2an=am+ap,即2n=2m-1+2PT,

两边同除以2mT,可得2n+l-m=1+2p-m

m

因为2n+l-m是偶数，1+2P-m是奇数，所以2n+l-m1+2P-,

所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.

15.如果数列｛an｝对任意的neN*,an+2-an+1>an+1-an,则称｛%｝为“速增数列

（1）请写出一个速增数列｛an｝的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

（2）若数列｛时｝为“速增数列”,且任意项0n6Z,ax=1,a2=3,耿=2023,求正整数k的最大值.

【答案】（l）an=2n（答案不唯一），证明见解析；

（2）63

【分析】<1)取an=2n,验证an+2-an+1>an+1-an即可;

(2)当k22时，ak=2023=(ak-a1)+(a--ak_2)+…+(a3-a2)+(a2-a。+a1(根据速增数

列的定义可得a；；—ak_i>ak_i-ak-2>'"a3—a2>a2—a]=2,从而可得(ak—ak-D+3k-i—a"?)+

…+(a3—a2)+(a2—aj+a1Nk+k—1+…+3+2+1,进而可求解.

【详解】(1)取an=2%

n+1n+1n+1nn

则an+2-an+1=2n+2-2=2,an+1-an=2-2=2,

因为2"+l>2",所以an+2—an+1>an+1—an，

所以数列｛2号是“递增数列”.

(2)当k22时，

a

k=2023=(ak-ak-i)+(ak_!-ak_2)H----1-(a3-a2)+(a2-aQ+a1；

因为数列｛aj为“速增数列”，

所以ak—Hk-1>ak-l-ak-2>,"a3—a2>a2_al=且an6Z,

aaaaa

所以3k—ak-i)+(k-i—ak-2)+…+(3-2)+(2一i)+a1>k+k—1+---+3+2+1,

即2023之旦罗,keZ,

当k=63时，包罗=2016,

当k=64时，^12=2080,

故正整数k的最大值为63.

16.设数列｛册｝的前几项和为治,若;W巴±lW2(>eN*),则称｛册｝是“紧密数列”.

2an

(1)若斯=尤手，判断｛册｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

4

⑵若数列5｝前几项和为%=-层+3办判断｛an｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

(3)设数列｛册｝是公比为q的等比数歹U.若数列｛册｝与｛Sn｝都是“紧密数列”，求q的取值范围.

【答案】(1)%。｝不是“紧密数列”，理由见解析

(2)数列｛aj是“紧密数列”，理由见解析

*1]

【分析】(1)利用“紧密数列”的定义判断即可；

(2)利用a1,=LJ^n=：>„求得数列｛aj的通项公式，再证得JW-W2,由此证得｛aj是“紧密数列”;

(3)先根据｛aj是“紧密数列”，求得q的一个取值范围，对于｛SJ对q分成q=l、[wq<l和l<qW2

三种情况，利用;2列不等式组，由此求得q的取值范围.

【详解】(1)ai=1,a2=1,a3=g,v^=g<l,所以｛aj不是“紧密数列”;

(2)数列｛aj为“紧密”数列；理由如下：

数列｛aj的前项和Sn=：(n2+3n)(neN*),

当n=l时，ai=Si=1x(l+3)=l；

4

22

当n22时，an=Sn-S-i=kn+3n)-i[(n-I)+3(n—1)]="+[,

4-4-LZ

X|+1=1=aj,即a1=1满足an=1n+因此=|n+1(neN*),

先+3_n+2_1

所以对任意neN*,管=--i---i..------1~|-----，

—ndn+ln+1

22

所以:<"=l+」7<2,

2ann+l

因此数列｛aj为“紧密”数列；

(3)因为数列相户是公比为q的等比数列，前n项和为兀,

当q=1时，有Hn=a1,Sn—na1，

所以:W%±1=1式22式2=晦=1+工工2,满足题意；

2an2Snnn

11-1

当qH1时.an=a,q,Sn=、窜J

因为凡｝为“紧密"数列，所以3W登=qW2.即gWq<1或1<qW2,

当片q<l时，2=寸>e=1，

Sn1_l-q"+1<l-q2n_(l+qn)(l-qn)_.

+-1+qn<2?,

i7一下F<=一一K-

所以;W2<2,满足｛SJ为“紧密”数列；

zbn1-q

当l<qW2时，|^=F=l+q>2,不满足｛SQ为“紧密”数列；

E1-q

综上，实数q的取值范围是[fl]

17.已知｛册｝和｛%｝是各项均为正整数的无穷数列，若｛册｝和｛%｝都是递增数列，且｛册｝中任意两个不同的项

的和不是｛6„｝中的项，则称｛an｝被｛“｝屏蔽.已知数列｛cn｝满足工+三+…+2匚=n(neN*).

Cc

12Cn

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)若｛d“｝为首项与公比均为Cl+1的等比数列，求数列｛%•%｝的前几项和S”，并判断｛Sj能否被｛cn｝屏蔽，

请说明理由.

【答案】(l)Cn=2n-l

n+1

(2)Sn=(2n-3)-2+6,能，理由见解析

【分析】(1)利用作差法即可求得「；

(2)利用错位相减法求和，再根据题干定义判断即可.

【详解】(1)由工+N4---卜”I=口,令n=1,可得J=1,

cic2cn

、Q1

当>tznN2n时-4-，—1.I-3-11-.-2-n-—-1=n,—1I-.-3-1---.1--2-n—-3=n-1,

C1c2%C1c2cn—1

上述两式作差可得d=2n-1(n>2),

因为J=1满足上式，可知g=2n-1(n6N*).

(2)因为C1=L所以dn=2n,所以Cn-dn=(2n-l>2n,

12n23n+1

Sn=1x2+3x2+•••+(2n-1)-2,2Sn=1x2+3x2+…+(2n-1)-2,

3nn+1

作差得，-Sn=2+2X(22+2+•••+2)-(2n-1)-2

=2+2x-(2n-1)-2n+1=-6+(3-2n)-2n+1.

所以Sn=(2n—3)-2n+i+6.

显然，｛Sn｝是递增数列，且各项均为偶数，

而递增数列｛cj的各项均为奇数，所以｛SJ中的任意两项的和均不是｛7｝中的项，

所以｛SJ能被｛0｝屏蔽.

18.设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的久1、到eR(%i彳£2)，<山二切均成立，

则称y=f(x)是“平缓函数”.

(1)若/1Q)=岛f,/2(X)=sinx,试判断y=/\(x)和y=%(%)是否为"平缓函数”？并说明理由；(参考公

式:x>0时，sin久<x恒成立)

(2)若函数y=f(x)是“平缓函数"，且y=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的打、冷eR,均

有LH%)—/3)lW

(3)设y=或%)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=A-或久)为“平缓函数”.现定义数列

｛久/满足：修=0,x„=g0n-i)5=2,3,4,…)，试证明:对任意的正整数九，9(吗)<

A—1

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)利用y=f(x)是“平缓函数”判断可得答案；

(2)设xi、x2G[0,1],分lx-X2|wg、％—X2I>g,根据y=f(x)为R上的“平缓函数”可得答案;

(3)由丫=g(x)为R上的“平缓函数”得|g(xj-g(X2)|<(lx]一X2I，对任意的n>2,利用|g(Xn)-g(xn_t)|<

l