一元二次方程根与系数的关系难题

一元二次方程根与系数的关系难题韦达定理得应用:1、已知方程得一个根,求另一个根和未知系数2、求与已知方程得两个根有关得代数式得值3、已知方程两根满足某种关系,确定方程中字母系数得值4、已知两数得和与积,求这两个数5、已知方程得两根x1,x2,求作一个新得一元二次方程x2–(x1+x2)x+x1x2=06、利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c

=a(x-x1)(x-x2)

题1:(1)若关于x得一元二次方程2x2+5x+k=0

得一根就是另一根得4倍,则k=________(2)已知:a,b就是一元二次方程x2+2000x+1=0得两个根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________

考考您！解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab解法二:由题意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a•5b=30ab

∵ab=1,a+b=-200∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab

+2006a+a2)(ab

+2005b+b2)=a(b

+2006+a)•b(

a

+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab解法三:由题意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a•5b=30ab题2:已知:等腰三角形得两条边a,b就是方程x2-(k+2)x+2k=0得两个实数根,另一条边c=1,求:k得值。考考您！题3:已知关于x得一元二次方程x2+3x+1-m=0(1)请为m选取一个您喜爱得数值,使方程有两个不相等得实数根。(2)设x1,x2就是(1)中方程得两个根,不解方程求:①(x1-2)(x2–2)②(x1-x2)2(3)请用(1)中所选取得m值,因式分解:x2+3x+1-m(4)若已知x12+x22=10,求此时m得值。(5)问:就是否存在符合条件得m,使得x12+x22=4？若存在,求出m,若不存在,请说明理由。考考您！大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点题4:已知αβ就是方程x²＋2x－7＝0得两个实数根。求α²＋3β²＋4β得值。

解法1∵α、β就是方程x²＋2x－7＝0得两实数根∴α²＋2α－7＝0β²＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α²＝7－2α β²＝7－2β∴α²＋3β²＋4β＝7－2α＋3(7－2β)＋4β＝28－2(α＋β)＝28－2×(－2)＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α²＋3β²＋4β＝(－1＋2)2＋3(－1－2)²＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由已知得:α＋β＝－2αβ＝－7∴α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ＝18令α²＋3β²＋4β＝Aβ²＋3α²＋4α＝B∴A＋B＝4(α²＋β²)＋4(α＋β)＝4×18＋4×(－2)＝64①A－B＝2(β²－α²)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得:2A＝64∴A＝32题5:已知x1、x2就是方程x2－x－9＝0得两个实数根,求代数式。x13＋7x22＋3x2－66得值。

解:∵x1、x2就是方程x2－x－9＝0得两根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1＋9x22＝x2＋9∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16题6:已知a＋a2－1＝0,b＋b2－1＝0,a≠b,求ab＋a＋b得值、

分析:显然已知二式具有共同得形式:x2＋x－1＝0、于就是a和b可视为该一元二次方程得两个根、再观察待求式得结构,容易想到直接应用韦达定理求解、解:由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0,其二根为a、b、由韦达定理,得a＋b＝－1,a·b＝－1、故ab＋a＋b＝－2、题7:若实数x、y、z满足x＝6－y,z2＝xy－9、

求证x＝y、证明:将已知二式变形为x＋y＝6,xy＝z2＋9、由韦达定理知x、y就是方程u