有理数的除法-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

专题12有理数的除法

［学习小目标

1.会把有理数的除法运算改为乘法运算;

2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则；

3.能利用有理数的除法解决实际问题。

［新课轻松导入

【思考1】江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值是多少?

I0

8

6江苏南京2023年春节一周的最低气温

4

2

0

2

二4

二6

8

【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2023年春节一

周的最低气温的平均值吗？

知识帮你梳理

1.有理数的除法

1)有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a^b=a-^~,(6w0)

b

法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

2)有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

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有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

注意:乘除混合运算要“从左到右”运算.分数可以理解为分子除以分母.

高频考点

考点1、有理数的除法运算

【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

例1.(2023秋•山东临沂・七年级统考期末)下列计算正确的是()

B.1-

C.(-3)^(-3)=-3x3=-9D.(一32)+(-8)=—32+8=T

【答案】B

【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可.

【详解】解：A、0+(-2)=0x(-1)=0,故此选项错误，不符合题意;

B、1-(-1)=1x(-8)=-8,故此选项正确，符合题意；

8

(-3)+(-3)=-3x1,故此选项错误，不符合题意;

D、(-32)(-8)=32+8=4,故此选项错误，不符合题意，故选：B.

【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键.

例2.(2022.海南海口.七年级校考期中)/1一《卜

【答案】

【分析】由已知一个因数与积求另一个因数用除法，从而可得答案.

［详解］解：l+1_g=lx,升因此一沁1|卜,故答案为：

【点睛】本题考查有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算的意义及运算法则是解题的关键.

变式1.(2023.浙江台州・统考一模)计算(T)+2的结果是()

A.-2B.2C.-6D.-8

【答案】A

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【分析】根据有理数的除法法则求解即可.

【详解】解：（T）+2=-2；故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的除法，属于应知应会题型，熟知有理数的除法法则是解题的关键.

变式2.（2022秋•湖北武汉•七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（）

A.8+（-2）=4B.（-4）-（-2）=2C.0+1=1D.2+；=1

【答案】B

【分析】根据有理数的除法法则对每一项进行分析，即可得出答案.

【详解】解：A、8+（-2）=-4,故本选项错误，不符合题意；

B、（-4）+（-2）=2,故本选项正确，符合题意；

C、0+1=0,故本选项错误，不符合题意；D、2+；=4,故本选项错误，不符合题意，.故选：B.

【点睛】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键，除以一个数（0除外）等于乘以

这个数的倒数.

考点2、有理数除法法则的辨析与符号

【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负,

并把绝对值相除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除

混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右.

例1.（2022•浙江宁波•七年级期末）下列说法正确的是（）

A.非零两数的和一定大于任何一个加数B.非零两数的差一定小于被减数

C.大于1的两数之积一定大于任何一个因数D.小于1的两数之商一定小于被除数

【答案】C

【分析】按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择.

【详解】解：•••两个负数的和小于任何一个加数，，选项A不符合题意；

;当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，选项B不符合题意;

•••大于1的两数之积一定大于任何一个因数，...选项C符合题意；

:当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，，选项D不符合题意，故选：C.

【点睛】本题考查了有理数运算结果大小变化的辨别能力，关键是能准确理解法则，并能对各种运算情况

考虑全面.

（2023・山西吕梁•模拟预测）若多

例2.<0,且。，b异号,贝Ue的符号为（)

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A.大于0B.小于0C.大于等于0D.小于等于0

【答案】A

【分析】根据同号得正，异号得负判断即可.

【详解】解:a,Z,异号,ab<0,又—<0,c>0.故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键.

变式1.（2022秋・江苏徐州•七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（）

A.都是正数B.都是负数C.同号D.至少有一个为正数

【答案】C

【分析】根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除来判断即可.

【详解】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号.故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除.

变式2.（2023秋广东广州•七年级统考期末）如果a<0<6,则/的值与0的大小关系是（）

b

A.y>0B.y<0C.7=0D.不能确定

bbb

【答案】B

【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案.

【详解】解：a<0<b1<0,故选：B.

b

【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键.

变式3.（2022.广西.桂林市七年级阶段练习）已知〃，人为有理数，则下列说法正确的个数为（）

①若a+Z?>0,—>0,则a>0,b>0.②若〃+>0,—<0,则匕<0且|。|>|。|.

bb

③若a+Z?<0,—>0,则avO,b<0.④若a+b<0,—<0,则a>0,匕<0且I6

bb

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可.

【详解】解：①若a+b>0,Y>0,则a>0,b>0,故①结论正确；

b

②若a+b>0,Y<0,则a>0,bVO且|a|>|b|或a<0,b>0且|a|<|b|,故②结论错误；

b

③若〃+b<0,则aVO,b<0,故③结论正确；

b

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④若。+6<0,—<0,则a>0,b<0且|b|>|a|或a<0,b>0且|b|<|a|,故结论错误.

b

故正确的有2个.故选：B.

【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键.

考点3、有理数除法的运算步骤问题

【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

例1.（2022秋.吉林松原.七年级统考期中）阅读下面解题过程并解答问题：

计算：（T5）f鸿］）

解：原式=（-15）+（-2-5）x6（第一步）

6

=（-15）^（-25）（第二步）

=-|3（第三步）

（1）上面解题过程有两处错误：

第一处是第一步，错误原因是」

第二处是第一步，错误原因是「

（2）请写出正确的结果_.

1HQ

【答案】（1）二；分乘除是同级运算，除法在前应先算除法；三；同号相除结果符号应为正（2）詈

【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可；

（2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可.

【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是乘除是同级运算，除法在前应先算除法；

第二处是第三步，错误原因是同号相除结果符号应为正；

⑵（-⑸七E.

=（T5）+1一高x6

=（T5）d、6

=竺*6

5

_108

【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则.

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例2.（2022・吉林•七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算[一|[（T5）x.&j.

解:原式=[-mH（T5）x[q[]①

=_：+1②

=-|③

（1）从第（填序号）步开始出现错误；

（2）请写出正确的解答过程.

【答案】（1）①；（2）见解析.

【分析】同级运算应该按照从左到右的顺序进行.

【详解】解：（1）从第①步开始出现错误，同级运算没有按照从左到右的顺序进行;

~~90

【点睛】此题主要考查有理数的乘除法混合运算，乘除法同级运算从左到右进行是解题关键.

变式1.（2023秋・河北廊坊•七年级统考期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一

个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题.过程如下，自己负责的那一步

错误的是（）

甲乙丙丁

（-16）=（-81）^1^（-16）=（-81）X1X（-±）=81X±=11

__________-----------K

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【分析】根据乘除的混合运算，按照从左到右的顺序进行计算，先将除法转化为乘法计算，即可求解.

，甲负责的那一步错误了,

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故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

变式2.(2022秋・广西南宁•七年级统考阶段练习)阅读下列解题过程：计算一

解：原式=-5+1/6第①步

=-5+(-1)第②步

=5第③步

(1)上面的解题过程在第步出现错误；错误原因是.

(2)请写出正确的解题过程.

【答案】(1)②，运算顺序错误

(2)见解析

【分析】(1)根据题目中的解答过程，可以发现哪几步出错了；

(2)先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可.

【详解】(1)解：解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误.

故答案为：②，运算顺序错误；

(2)解：

7十卜)6

=-5x(-6)x6

=180.

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算算乘除，最后算加减;

同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

考点4、有理数乘除法的混合运算

【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

注意：乘除混合运算要“从左到右”运算.分数可以理解为分子除以分母.

例1.(2022秋・辽宁沈阳•七年级统考期中)计算3*(-3)+，；卜3的结果是

【答案】9

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【分析】根据有理数的乘除运算顺序和运算法则计算即可.

【详解】解：-x(-3)^

=(-1)x(-3)x3

=9,

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘除法混合运算顺序和运算法则.

例2.(2023秋•吉林延边•七年级统考期末)计算：》

【答案】y

【分析】原式先将除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可；

【详解】解:赳-汨-!)

54

16

~9

【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键

例3.(2022秋・全国•七年级专题练习)计算：

33

(1)-34-(——)4-(——)；⑵(—12)：(T);(-1-)；

44

27

(3)(——)x(--)-0.25；(4)(-2-)-(-5)x(-3-).

3823

【答案】(1)一((2)-'I⑶((4)一g

【分析】(1)直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;

(2)直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

(3)直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

(4)直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.

【详解】(1)原式=-3x(—§4)x(—§4)=一1学6

(2)原式=(72)x(-J)x(-3=-3；

462

(3)原式=(一j)*(-g)x4=g；

(4)原式=(T)x(J)x(-¥)=-L

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【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键.

变式1.（2022秋・云南楚雄•七年级校考阶段练习）计算：（-48）+7x；=.

48

【答案】

【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可.

【详解】解：（-48）^7xl=-48x|x1=-^,故答案为:

【点睛】本题考查有理数的乘除运算.解题的关键在于明确运算顺序.易错点是先计算乘法然后计算除法.

变式2.（2023秋・贵州铜仁•七年级期末）计算（-的结果是.

【答案】24

【分析】根据有理数的除法法则、乘法法则计算即可.

【详解】解：（-6）+[£|X2=6X2X2=24,故答案为：24.

【点睛】本题考查的是有理数的乘法、除法，掌握有理数的除法法则、乘法法则是解题的关键.

变式3.（2022秋・浙江•七年级专题练习）计算：

⑴（-3）；小0.754一升（_6）；⑵..x（一0.1）1x（T0）；⑶[（-72）Y-|[

[^]（1）18（2）-5（3）54

【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；

（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；

（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可.

【详解】（1）解：（-3）^f-l|\o.75^f-|L（-6）

437

=3x—x—x—x6

743

二18；

⑵解：D（一o.l）$x（一10）

=-|-X—x25xl0|

（510）

=-5；

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72x|jx315

—x——

58

9

-48x-

8

=54.

【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则.

考点5、有理数的除法简算

【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。

例1.(2022•成都市七年级课时练习)计算：

431339

(1)T2H+4；(2)(-72-)-?9；(3)(-2—)4-(-x-)；

1QC1A]33

)；(5)(-81)4-2—x(--)4-(-8)；(6)-1—(-0.25)x(-l-).

【答案】(1)-3：；(2)-8：;(3)-y;(4)l;(5)-2;(6)-14

【详解】试题分析：(1)(2)(3)利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计

算；(4)(5)(6)把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解.

试题解析：(])T2^+4=_(12+B]X：_112X：+.X；1

11

^-72^4-9=-^72+|^x1=-^72x1+|x1^7I

(4)3j

(5)(-81)^21xf-1U(-8)=(-81)x|xf-|U(-8)=16^(-8)=-2.

(6)-l|-|-(-0-25)xUl|-14.

例2.(2。22・辽宁大连七年级校考阶段练习)阅读下列材料：计臬g(汨+户

解：原式的倒数为

341212

=-xl2--xl2+—xl2

3412

=2

第10页共37页

故原式=3

请仿照上述方法计算：(一%)+(2一卷+'一.)

【答案】V

【分析】根据有理数乘法的分配律求出除法的倒数，即可解答.

【详解】解：原式的倒数为

13221

________|_______)X_2-(_____

6143742

1322

飞一五十二K42)

1322

=(-42)x--(-42)x五十(-42)x--(-42)x—

=-7+9-28+12

=-14,

故原式

14

【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法的分配律.

变式1.(2022秋・江苏南通•七年级校考阶段练习)计算(能用简便方法的要用简便方法)：

⑴6+1-"]-2-(-1.5)；⑵116J+12；]；(3)(-2.1)-?^x^-y^；

1/1322、1

(4)(-375)x(-8)+(-375)x(-9)+375x(-7)；(5)---；(6)-41^6.

42143/J7

【答案】⑴5.3⑵23⑶y(4)3750(5)(6)-6^

【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；

(2)根据有理数的加减法可以解答本题；

(3)根据有理数的乘除法可以解答本题；

(4)根据乘法分配律简便计算；

(5)先计算括号内的，再根据有理数的除法即可解答本题；

(6)根据有理数的除法即可解答本题.

【详解】(1)解：6+12-2—(-1.5)

=6-2+(-0.2+1.5)

=4+1,3

=5.3；

第11页共37页

(2)解：［4切一13g，，6J+，2j

//2J、/I-1、

=(—4—1-3—)+(6—2—)

3324

=-ll+41

34

=22

7

（3）解:(-2.1)--x

10

211010

——x-x——

1077

30

7

(4)解：(-375)x(-8)+(-375)x(-9)+375x(-7)

=375x8+375x9—375x7

=375x(8+9-7)

=375x10

=3750；

（5）解：二j__2_2_2^

6-14+3-7j

423

1

14

(6)解：-41-4-6

7

=_(42-1)-6

=一(42+6一号+6)

=-(7-1)

第12页共37页

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从

左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律

的运用，使运算过程得到简化.

变式2.(2022秋・江苏无锡•七年级校联考阶段练习)计算

(1)—20—(—18)+(—14)+13；(2)1.75x0.6+1-gjx(-8)；⑶卜0.75|+1+3j-(一0.125)+(-J一卜0.125|；

(4)-2.7x564-7.9x(-56)+6x5.6；(5)99^x(-9)；(用简便方法计算)+

lo13b/1414/o)

2711

【答案】⑴—3(2)14(3)彳(4)-560(5)-899-(6)-

o27

【分析】(1)先把减法统一为加法运算，再把同号的两数先加，从而可得答案；

(2)先确定运算结果的符号，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果；

(3)先把运算统一为加法运算，同步把小数化为分数，再利用加法的运算律进行简便运算即可；

(4)利用乘法的分配律进行简便运算即可；

(5)把原式化为再利用分配律进行简便运算即可；

17

⑹先计算生》建U

把除法化为乘法，利用分配律，再根据倒数的含义可得答案.

【详解】(1)-20-(-18)+(-14)+13

=-20+18-14+13

=—34+31=—3.

(2)L75x0.6+[_|]x(_8)

735

=—x—x—x8o

453

=14.

(3)-0.75+1^+3^-(-0,125)+

--0.125

_31

-4+4+8-8-8

“527

=4—=—.

88

(4)—2.7x56+7.9x(-56)+6x5.6

=-2.7x56-7.9x56+0.6x56

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=56x(-2.7-7.9+0.6)

=56x(-10)=-560.

17

(5)99—x(-9)

18l7

100--|x9

18j

=-f900-1

=-899-.

13

(6)--------+

414

]__3_5_

4-147-

1357

=4X(-56)--x(一56)+亍x(-56)--x(-56)

=-14+12-40+49

=7

【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握“四则混合运算的运算顺序”是解本题的关键.

考点6、有理数除法的应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例1.（2023•江苏南京•统考二模）小明、小红在微信里互相给对方发红包.小明先给小红发1元，小红给

小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，

直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了.若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则

最终小红的收支情况是（）

A.赚了99元B.赚了100元C.亏了99元D,亏了100元

【答案】B

【分析】根据一个回合小明赚1元，算出小明给小红发了199元之前赚的钱减去199元求出小明的收支情

况，即可得出小红的收支情况.

【详解】解：由题意，可得，一个回合小明赚1元，小明给小红发了199元之前赚了（199-1）+2=99元，

99-199=-100元，.•.小明亏了100元，，小红赚了100元；故选B.

【点睛】本题考查数字规律探究，解题的关键是得出一个回合，小明赚1元.

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例2.（2022秋.广东广州•七年级统考期末）为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的

小型、微型汽车的进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下：

计费时段8:00—20:00,停车30分钟内不收费，停车超过30分钟后，不足30分钟按30分钟

方案

收费，收费时段外停车免费

阶梯梯次第一阶梯第二阶梯第三阶梯

单次最高限价

停车时长1小时内1—3小时3小时以上

计费标准1（元/30分钟）3（元/30分钟）5（元/30分钟）44元

（1）4汽车在停车泊位的进场时间是11:07分，离场时间是11:29分，请问A汽车是否需要交费？若要收费，

应交停车费多少元？（2）2汽车进入停车泊位时间是晚上21:00时，离场时间是第二天早上10:48时，请求出

8汽车应交停车费多少元？（3）C汽车早上6:00时进入停车泊位，离开时收费24元，请求出C汽车离开泊位

的时间范围？

【答案】⑴不需要⑵14元⑶9:31到10:00

【分析】（1）先求出A汽车在停车泊位的时间，再根据收费标准即可解答；

（2）先求出8汽车在停车泊位的时间，再根据收费标准即可解答；

（3）先由总费用减去前两个阶梯段的收费，再除以5得到第三阶梯段的收费时间段数，即可得出结论.

【详解】（1）解：A汽车在停车泊位的时间为11:29-11:07=21（分钟），二A汽车不需要交费；

（2）解：根据题意，2汽车在停车泊位需要交费的时间10:48-8:00=2小时48分，

.*.1x2+3x4=14（元），答：2汽车需要交费14元；

（3）解：C汽车第三阶梯的停车收费时间段数是（24-lx2-3x4）+5=2,

C汽车离开泊位的时间范围9:31到10:00.

【点睛】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出算式并正确求解是解答的关键.

变式1.（2023•广东深圳•校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定

律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长3cm,而且这3cm还是深埋于土下.到了第五年，竹子终

于能破土而出，会以每天30cm的速度疯狂生长.此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人!”.这

段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（）

A.5B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据题意列出算式进行计算即可.

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【详解】解：15m=1500cm,竹子生长15m需要的时间为1500+30=50（天），50+7=7!，

7

即竹子长成需要8周的时间，故C正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算.

变式2.（2023春・山西大同•九年级校考阶段练习）春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民

超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于5%的情况下可以销售.小区大妈要

买标价为60元/壶的油，大妈要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是20%,则该壶油的售价至少

是（）

A.51元B.52.5元C.55元D.59元

【答案】B

【分析】先求得进价，根据利润率不低于5%,列式计算即可求解.

【详解】解：：粮油的利润率是20%,...进价为60+（1+20%）=50（元），

要求在利润率不低于5%,则该壶油的售价至少是50x0+5%）=52.5（元），故选：B.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解标价、进价、利润率的关系是解题的关键.

变式3.（2023秋・山西•七年级校联考期末）2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场

成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，“神十四”纪念品也受到了人们的喜爱，某店以150元的

相同价格售出两件不同的纪念品，其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则该商店售出这两件纪念品总的

盈亏情况为（）

A.亏损20元B.盈利20元C.亏损18元D.不盈不亏

【答案】A

【分析】根据题意，以150元的相同价格售出两件不同的纪念品，盈利纪念品成本为丁盟；亏损纪念品

成本为7黑7,从而得到两件纪念品总成本为忐7+「|?7=120+200=320,即可得到答案•

【详解】解：根据题意，以150元的相同价格售出两件不同的纪念品，盈利纪念品成本为谭夕；亏损纪

念品成本为忐7，两件纪念品总成本为丁黑7+「（｝=120+200=320（元），

1—25%1+25%1—25%

.-.320-300=20（元），即该商店售出这两件纪念品亏损20元，故选：A.

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【点睛】本题考查有理数运算解决实际应用题，读懂题意，得到两件不同纪念品的成本是解决问题的关键.

考点7、有理数除法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求

学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三

种类型：(1)定义新运算；(2)定义初、高中知识衔接“新知识”；(3)定义新概念.这类试题考查考生对“新

定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与己学知识联系起来，利用

已有的知识经验来解决问题.

例1.(2022秋.四川遂宁.七年级校考期中)若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1,2!=2xl=2,

2022,

3!=3x2xl=6,4!=4x3x2xl=24,贝=

【答案】2022

【分析】根据题干所给运算方法可进行求解.

2022!2022x2021x2020x…*2x1

【详解】解：由题意得:=2022；故答案为2022.

2021!2021x2020x----x2xl

【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握题中所给运算符号是解题的关键.

b

例2.(2022秋.北京朝阳•七年级校考阶段练习)对于任意的非零有理数a,b,定义：a^b=--l,解决以

a

下问题：⑴计算(-3)*4；⑵计算(-6)*2*(-3)；(3)请你举例验证一下交换律即=在这一运算中是

否成立.(举一个例子即可).

75

【答案】(1)-:(2)3；(3)不成立，见解析

【分析】(1)根据新定义直接列式计算即可；

(2)根据新定义先计算(-6)*2=-：，再计算，£|*(-3)即可；

(3)令〃=2,b=3,分另U计算和。进行验证即可.

47

【详解】(1)解：(-3)*4=---1=--；

24

(2)解：(-6)*2=---1=--,

(_6)*2*(—3)=㈢*(-9=+1=]

3

3121

(3)解：令〃=2,b=3,贝！Ja*b=]_l=],b^a=--l=--,

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V—a*b=b*a在这一运算中不成立.

23

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义的运算是解题的关键.

2

变式1.(2022秋・湖南岳阳•七年级统考期末)。是不为2的有理数，我们把彳二称为。的“哈利数”.如：

2-a

221

3的“哈利数”是-2,-2的“哈利数”是7,。、=7,已知幻=3,“2是幻的“哈利数”，是。2的“哈

利数”，3是田的“哈利数”，…，依此类推，则。2。79=()

14

A.3B.-2C.—D.—

23

【答案】C

【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案.

242

221-_乙_3

【详解】V617=3,a2=——=-2,a3=---^-=7，〃4=。13，4,

2-3

•,•该数列每4个数为1周期循环，V2019-4=504...3,：.a2oi9=a3=.故选：C.

【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问

题是解题的关键.

变式2.(2022.河南.鹤壁七年级期中)已知。是有理数，[可表示不超过a的最大整数,如[3.2]=3,[-1.5]=-2,

[0.8]=0,[2]=2等，那么[3.14]+[3]x-5；=()

A.l6B.—5C.—D.—

65

【答案】A

【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题.

【详解】解：根据题意得，[3.14卜[3]x-5；=3+3x(-6)=-6故选：A.

【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

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分层练一练

A级(基础过关)

1.(2023•浙江杭州•统考二模)计算下列各式，值最大的是()

A.1—(—2)B.1+(—2)C.1x(—2)D.1+(—2)

【答案】A

【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则求解得出结果，再比较大小即可得出答案.

【详解】解：A.1-(-2)=1+2=3;B、1+(-2)=-1:C.1x(-2)=-2；D.1+(-2)=-)；

；3>-]>-1>-2,.,.值最大的是A选项，故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法和除法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的运算法则

是解题的关键.

2.(2023秋・四川南充•七年级统考期末)若使(-0.5)0(-3)的计算结果为正数，则“◊”代表的运算不可以

是()

A.加法B.减法C.乘法D.除法

【答案】A

【分析】利用有理数的四则运算法则进行计算即可；

【详解】A、(-0.5)+(-3)=-3.5,故A选项符合题意；

B、(-0.5)-(-3)=-0.5+3=2.5,故B选项不符合题意;

C、(-05)x(-3)=1.5,故C选项不符合题意;

D、(-0.5)^(-3)=(-^)x(-1)=1故D选项不符合题意；故选：A

23o

【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键.

3.(2023秋・河北石家庄•七年级统考期末)计算(-1)+(-5)x]£|的结果是(

)

11

A.-----B.—C.—1D.1

25

【答案】A

【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可

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【详解】解：(一尸(一5)x［W故选：A.

【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键.

4.(2023秋•河北石家庄•七年级统考期末)在算式(-2)口(-3)的“□”中填上运算符号“+”“一”“x”或“十”，要

使运算的结果最小，则添加的运算符号是()

A.+B.—C.xD.(

【答案】A

【分析】由(一2)+(—3)=-5、(一2)3)=1、(—2)x(—3)=6、(一2)+(-3)=：,判断出添加的符号.

［详解］•••(-2)+(—3)=一5、(-2)-(-3)=1,(—2)x(—3)=6、(-2)+(一3)=弓，-5<|<1<6

二要使运算的结果最小，添加的运算符号是：“+”故选：A

【点睛】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是根据法则，正确计算.

5.(2023•河北保定・统考一模)下列与-1-〈相乘等于1的是()

A.-1—B.—1C.1—D.-1H—

2233

【答案】D

【分析】根据有理数加减运算，分别算出T-;=-|,由题意，结合有理数乘除运算可知=结

合选项逐项计算即可得到答案.

【详解】解：=.一与相乘等于1，

【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键.

6.(2023•陕西西安・统考一模)要使代数式“3(-1)”的运算结果最大，则“”中应填入的运算符

号是"+、一、X、一”中选择一个运算符号填如).

【答案】一

【分析】先根据有理数的运算法则进行运算，再比较大小即可得出答案.

【详解】解：：3+(-1)=2,3—(—1)=4,3x(-1)=-3,3+(-1)=-3,

又；-3<2<4,...要使代数式“3(-1)”的运算结果最大，在“”中应填入的运算符号是一.

故答案为：--

【点睛】本题考查有理数的加、减、乘、除运算和有理数的大小比较.掌握运算法则是解题的关键.

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7.(2023秋・浙江金华•七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习)某种药品的说明书上贴有如图的标签，

则一次服用这种药品的剂量范围是—mg到—mg.

用法用量，口腴每天&卜12(1咏.分X次服用

【答案】1540

【分析】分每天服用60mg和120mg,分3次和4次两种服用方法，求出每次服用的剂量，确定最小值和最

大值，即可得解.

【详解】解：每天服用60mg时，分3次服用，每次服用：60+3=20mg；

分4次服用，每次服用：60+4=15mg；

每天服用120mg时，分3次服用，每次服用：120+3=40mg；

分4次服用，每次服用：120+4=30mg；

每天最小服用15mg,最多服用40mg；故答案为：15,40.

【点睛】本题考查有理数的除法的实际应用.根据题意正确的列出算式进行计算，是解题的关键.

8.(2022秋・浙江温州•七年级校考阶段练习)若规定=,丁”心母,则卜3虑(一2)]区(-7)=.

2"

3

【答案】6?

4

【分析】利用新运算的规定先运算括号内的，再运算括号外的.

【详解】原式=[2x(-2)]«)(-7)=(T)0(-7)=E一(-7)=-：+7=6(故答案为：6,

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算的规定是解题的关键.

9.(2022秋.海南省直辖县级单位.七年级校考期中)计算：(-1)+1+0+8-(-5)x(-2)=

【答案】-11

【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：原式二—1+0—10=—11,故答案为：—11.

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除的运算法则是解题的关键.

10.(2022秋・安徽亳州•七年级校考阶段练习)计算：32+(-4)X9的结果是____________

4

【答案】-2

【分析】先将除法转化为乘法，再进行计算即可求解.

【详解】解：32+(-4)X；=32X[-；JX；=-2.故答案为：一2

【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算是解题关键.

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11.(2022秋•河北邯郸•七年级统考期中)商店运进一种商品共400件，并确定了售价.如果按照售价的九

折销售，全部卖出后，能得到6000元的利润.如果按照售价的八五折销售，全部卖出后，能得到2400元

的利润.求这件商品的售价是多少元？

【答案】180元

【分析】先分别列式计算九折与八五折时每件的利润，再利用利润差除以折扣差即可得到答案.

【详解】解：6000+400=15(元)2400+400=