2024-2025学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4（教学用书）教案 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.4（教学用书）教案新人教A版必修第二册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析本节课为人教A版必修第二册高中数学第六章“平面向量及其应用”中的6.3.4节，主要内容是平面向量基本定理及坐标表示。这一节是向量部分的核心内容，是对之前所学向量知识的综合应用和提升。通过本节课的学习，学生将掌握平面向量基本定理，理解向量坐标表示的实质，并能运用这些知识解决一些实际问题。

本节课的内容与学生的日常生活和实际应用紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。同时，本节课的内容也为后续的向量运算和相关应用打下了基础。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的逻辑推理、数学建模和数学抽象等核心素养。通过学习平面向量基本定理及坐标表示，学生将能够运用逻辑推理能力理解向量基本定理的内涵，运用数学抽象能力理解向量坐标表示的实质。同时，学生还能通过解决实际问题，提高数学建模能力，将所学知识应用于实际情境中。通过本节课的学习，学生将更好地理解向量的概念，提高数学思维能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了向量的基本概念，包括向量的定义、向量的模、向量的加法和数乘运算。此外，学生还应该具备一定的坐标运算知识，如二维坐标系中点的坐标表示和运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于高中阶段的学生，数学学科是他们学习的重要内容。平面向量及其应用作为数学中的重要概念，涉及到向量的运算和实际应用问题，对于激发学生的学习兴趣和提高他们的数学应用能力具有重要意义。在学习风格上，学生可能更倾向于通过实例和具体问题来理解和掌握知识，因此，在教学过程中，教师可以结合具体案例和实际问题进行讲解，提高学生的学习效果。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习平面向量基本定理及坐标表示时，学生可能对向量坐标表示的抽象概念难以理解，难以将向量与坐标建立起联系。此外，学生可能对如何运用平面向量基本定理解决实际问题感到困惑，无法将理论知识应用于实际情境中。因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解向量坐标表示的实质，并通过实例和练习题帮助学生掌握运用平面向量基本定理解决实际问题的方法。四、教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：为了帮助学生更好地理解和掌握平面向量基本定理及坐标表示，本节课将采用讲授法为主，结合案例研究和项目导向学习。通过讲解向量基本定理的内涵和坐标表示的实质，使学生能够清晰地了解向量的相关概念。

2.设计具体的教学活动：为了促进学生的参与和互动，可以设计一些小组讨论和合作活动。例如，让学生分组讨论向量坐标表示的实例，通过互相交流和分享，加深对向量坐标表示的理解。此外，可以组织学生进行角色扮演，模拟向量加法和数乘运算的过程，增强学生对向量运算的直观感受。

3.确定教学媒体使用：为了辅助教学，可以利用多媒体课件和网络资源。通过课件展示向量的图形和实例，帮助学生直观地理解向量的概念和运算。同时，可以引导学生利用网络资源查找相关的实际问题，培养他们的数学建模能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供包含平面向量基本定理及坐标表示的PPT、视频和文档等预习资料，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：提出问题如“向量坐标表示的意义是什么？”、“如何运用向量基本定理解决实际问题？”等，引导学生自主思考。

-监控预习进度：通过在线平台或微信群收集学生的预习笔记和疑问，确保学生充分预习。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生独立阅读资料，理解平面向量基本定理及坐标表示的概念。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果提交至平台或老师处，以便教师了解学生的预习情况。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生的自主学习能力，提高他们的独立思考能力。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群进行预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个实际问题或情境，如“如何在坐标系中表示一个物体的位移？”引出平面向量基本定理及坐标表示的重要性。

-讲解知识点：详细讲解平面向量基本定理及其坐标表示的方法，结合具体例子帮助学生理解。

-组织课堂活动：分组进行角色扮演，模拟向量的加法和数乘运算，让学生在实践中掌握向量的坐标表示。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生在小组讨论中积极发言，参与角色扮演，亲身体验向量的坐标表示。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解帮助学生理解知识点。

-实践活动法：通过角色扮演等活动，让学生在实践中掌握向量的坐标表示。

-合作学习法：通过小组讨论培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解平面向量基本定理及坐标表示的知识点。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与平面向量基本定理及坐标表示相关的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：推荐学生阅读相关的书籍、访问专业网站或观看教学视频，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成课后作业，巩固所学知识点。

-拓展学习：学生利用推荐的资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和作业进行反思总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的平面向量基本定理及坐标表示的知识点。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）平面向量基本定理及坐标表示的数学史：可以向学生介绍平面向量基本定理及坐标表示的起源和发展历程，例如，向量的概念最早可以追溯到牛顿和莱布尼茨的时代，而向量的坐标表示则是在19世纪由法国数学家嘉当等人发展起来的。

（2）平面向量基本定理及坐标表示在实际中的应用：可以向学生介绍平面向量基本定理及坐标表示在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用，例如，在物理学中，向量可以表示力的大小和方向，而在计算机科学中，向量可以用于图像处理和机器学习等领域。

（3）平面向量基本定理及坐标表示的拓展知识：可以向学生介绍与平面向量基本定理及坐标表示相关的拓展知识，例如，向量的内积、外积、范数等概念。

2.拓展建议：

（1）让学生阅读平面向量基本定理及坐标表示的数学史，了解平面向量基本定理及坐标表示的起源和发展历程，培养学生对数学历史的兴趣和认识。

（2）让学生通过网络或书籍查找平面向量基本定理及坐标表示在实际中的应用案例，了解平面向量基本定理及坐标表示在现实世界中的重要性，提高学生的数学应用能力。

（3）让学生学习与平面向量基本定理及坐标表示相关的拓展知识，如向量的内积、外积、范数等，扩大学生的数学知识面，提高学生的数学思维能力。

（4）让学生尝试解决一些与平面向量基本定理及坐标表示相关的数学问题，如向量的加法、减法、数乘等运算问题，以及利用平面向量基本定理解决实际问题等，培养学生的数学问题解决能力。七、板书设计①重点知识点：

1.平面向量基本定理：若两个非零向量a和b共线，则存在唯一的实数λ，使得a=λb。

2.向量的坐标表示：向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a和向量b的数量积为a·b=x1x2+y1y2。

3.向量的模：向量a=(x1,y1)，则向量的模|a|=√(x1^2+y1^2)。

②关键词汇：

1.共线

2.实数λ

3.数量积

4.向量的模

③板书示例：

1.平面向量基本定理：

-若两个非零向量a和b共线，则存在唯一的实数λ，使得a=λb。

2.向量的坐标表示：

-向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a和向量b的数量积为a·b=x1x2+y1y2。

3.向量的模：

-向量a=(x1,y1)，则向量的模|a|=√(x1^2+y1^2)。

板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。八、重点题型整理1.向量坐标表示的应用：

-题型：已知向量a=(2,3)，求向量b=(-1,2)与向量a的数量积。

-答案：向量b与向量a的数量积为b·a=(-1)*2+2*3=4+6=10。

2.平面向量基本定理的应用：

-题型：已知向量a和向量b共线，且a=（3，2），求实数λ，使得a=λb。

-答案：由于a和b共线，存在唯一的实数λ，使得a=λb。根据题目条件，可以列出方程3=λ*(-1)和2=λ*2，解得λ=1。

3.向量的模的应用：

-题型：已知向量a=(x1,y1)，求向量a的模。

-答案：向量a的模为|a|=√(x1^2+y1^2)。

4.向量坐标表示与模的关系：

-题型：已知向量a=(2,3)，求向量a的模，并验证模的长度是否等于向量a的数量积的平方根。

-答案：向量a的模为|a|=√(2^2+3^2)=√13，向量a的数量积为a·a=2*2+3*3=12，12的平方根为2√3，所以|a|=√13=2√3。

5.平面向量基本定理与坐标表示的综合应用：

-题型：已知向量a和向量b共线，且向量a=（2，3），向量b=（x2，y2），求实数λ和坐标x2,y2。

-答案：由于向量a和向量b共线，存在唯一的实数λ，使得a=λb。根据题目条件，可以列出方程组：2=λ*x2和3=λ*y2。解得λ=1，x2=2，y2=3。课堂1.课堂评价：通过提问、观察、测试等方式，了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。

-提问：在课堂上，通过提问了解学生对平面向量基本定理及坐标表示的理解程度，及时发现并解决学生的疑惑。

-观察：观察学生在课堂上的表现，如参与度、专注度等，及时了解学生的学习状态，并采取相应措施进