解析几何第一轮复习理科

PAGEPAGE1《解析几何》复习建议北京八中李双平2012.11.29一.2012年考试说明考试内容要求层次ABC平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√直线方程的点斜式、两点式及一般式√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√空间直角坐标系空间直角坐标系√空间两点的距离公式√圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程√椭圆的简单几何性质√抛物线的定义及标准方程√抛物线的简单几何性质√双曲线的定义及标准方程√双曲线的简单几何性质√直线与圆锥曲线的位置关系√曲线与方程曲线与方程的对应关系√附:北京高考解析汇编●2010年6.极坐标方程(−1)()=0(0)表示的图形是(C)(A)两个圆 (B)两条直线(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线7.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是(A)(A)(1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)[3,]13.已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.(4,0),y=EQ\R(3)x19.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(−1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.●2011年:3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是(B)A. B. C. D.8.设A(0,0),B(4,0),C(,4),D(t,4)(),记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为(C)A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则的面积不大于.其中,所有正确结论的序号是____________.②③19.已知椭圆G:,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将表示为m的函数,并求的最大值.●2012年:8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高.m值为(C)A.5 B.7 C.9 D9.直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为______.212.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为_____________//EQ\R(3)19.已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(mR)(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A在点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A、G、N三点共线.二.解析几何的难点从解题的两个基本环节看:1.翻译转化:将几何关系恰当转化(准确,简单),变成尽量简单的代数式子(等式/不等式),或反之…2.消元求值:对所列出的方程/不等式进行变形,化简,消元,计算,最后求出所需的变量的值/范围等等难点:上述两个环节中EQ\B\lc\{(\A\al(变量、函数/方程/不等式的思想,灵活性和技巧性,分类讨论,综合应用其他的代数几何知,不小的计算量))三.建议:分两个阶段,两个层次复习:1.基础知识复习:落实基本问题的解决,为后面的综合应用做好准备.这个阶段主要突出各种曲线本身的特性,以及解决解析问题的一般性工作的落实.如:①直线和圆:突出平面几何知识的应用(d和r的关系!);抛物线:突出定义在距离转化上的作用,以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处.②圆锥曲线的定义、方程、基本量(a、b、c、e、p)的几何意义和计算③直线和圆锥曲线的位置关系的判断(公共点的个数)④切线、弦长、弦中点问题的基本解法⑤一般程序性工作的落实:设点、设直线(讨论?形式?)、联立消元、列韦达结论…中的计算、讨论、验…2.综合复习:重点攻坚翻译转化和消元求值的能力.①引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法:变量、等式(方程/函数)、不等式的思想②积累常见的翻译转化,建立常见问题的解决模式③一定量的训练,提高运算的准确性、速度,提高书写表达的规范性、严谨性●具体说明1.引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法:变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时,总是在具体计算之前进行“解题路径规划”:①条件和结论与哪几个变量相关?解决问题需要设哪些变量?②能根据什么条件列出几个等式和不等式?它们之间独立吗?够用了吗?③这些等式/不等式分别含有什么变量?如何消元求解最方便?④根据这些等式和不等式,能变形、消元后得到什么形式的结论(能消掉哪些变量?得到两个变量的新等式/不等式?变量的范围?求出变量的值?)好处:①选择合适的方法;②避免中途迷失(2)关于消元常用的消元法:EQ\B\lc\{(\A\al(代入消元,加减/乘除消元,韦达定理整体代入消掉交点坐标,点差法弦中点与弦斜率的等量关系,……))换元,消元的能力非常重要2.积累常见翻译转化,建立常见问题的解决模式(1)常见的翻译转化:①点在曲线上点的坐标满足曲线方程②直线与二次曲线的交点EQ\B\lc\[(\A\al(点坐标满足直线方程,点坐标满足曲线方程,x1+x2=…‚x1x2=…,y1+y2=…‚y1y2=…))③A、B、C共线EQ\B\lc\[(\A\al(\O(AB,→)∥\O(BC,→),kAB=kBC,C满足直线AB的方程))④点A与B关于直线l对称EQ\B\lc\{(\A\al(中:AB的中点l,垂:AB⊥l))⑤直线与曲线相切EQ\B\lc\[(\A\al(圆:d=r,一般二次曲线:二次项系数≠0且=0))⑥点(x0,y0)在曲线的一侧/内部/外部代入后,f(x0,y0)>0⑦ABC为锐角或零角EQ\O(BA,→)∙\O(BC,→)>0⑧以AB为直径的圆过点CEQ\B\lc\[(\A\al(EQ\O(CA,→)∙\O(CB,→)=0,|CA|2+|CB|2=|AB|2))⑨AD平分BACEQ\B\lc\[(\A\al(AD⊥x轴或y轴时:kBA=−kAC,AD上点到AB、AC的距离相等,\O(AD,→)∥(\O(AB,→)+\O(AC,→))))⑩点A、B、C共线时,EQ\F(|AB|,|AC|)=\F(xB−xA,xC−xA)=…等式恒成立系数为或对应项系数成比例……[注]关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元:①如果几何关系与两个交点均有关系,尤其是该关系中,两个交点具有轮换对称性,那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程,然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关,那么优先尝试“设点代入”(交点坐标代入直线方程和曲线方程);②如果几何关系翻译为交点的坐标表示后,与x1+x2,y1+y2相关(如:弦的中点的问题),还可尝试用“点差法”(“代点相减”法)来整体消元.但仍需保证>0(2)建立常见题型的“模式化”解决方法(不能太过模式化,也不能没有模式化)如:①求曲线方程:EQ\B\lc\{(\A\al(待定系数法,直译法,定义法,相关点法,参数法,…))难度较大,北京常考的是待定系数法,但相关点法和参数法(相关点法可看作参数法的一种特殊情况)在解析内外都有用到,个人认为还是让学生有所了解涉及.另外,参数法体现了很好的解析法的思想,个人觉得最好讲讲.②求范围/最值:EQ\B\lc\{(\A\al(等式型(函数型):由几个变量的等式来求其中某个变量的范围,不等式型:均值.注意等号成立的条件,几何意义:两点间线段最短‚垂线段最短‚切线相关等))③定值/定点:常见模式:很多定值定点问题(也是定值问题――坐标是定值)就是求某个变量的值,通常由条件列出的独立方程个数少于变量的个数,但由于其形式的特殊性,通过消元后恰好能求出某个(或几个)变量的值(而其他变量的值却仍无法确定).(如第6题)如:消去:t=3约去:t=范围约束:x=4恒成立.系数为0:对λR恒成立恒成立.系数成比例:对λR恒成立等等.关于结论:关于定值定点,有很多总结好了的结论:重在这些结论推导的过程,而不必刻意让学生去记忆这些结论.有的题解题的突破口在事先知道满足条件的直线必过一定点(并不明显,需要大量的推导),然后出现巧妙的解法,我认为这样的题的重点不在记忆结论,仍在结论的推导过程.题目中已经告诉你是定值/定点的时候,可通过特殊值法先得出结论,或许能得到提示,从而进行一般性的推导.3.一定量的训练,提高运算的准确性、速度,提高书写的规范性、严谨性(1)示范和训练相结合,舍得花时间!不同的设元,消元方案,不同的转化、“翻译”方法,带来的计算量也可能大不一样,需要通过一定量的实践来提高敏感度,提高灵活性,使自己能尽快地发现原有方案的不合适之处,并迅速调整,尝试.书写的习惯影响计算的速度和准确性.可以考虑在开始时不过于要求速度,而专重视“一次计算”的准确性(“落笔对”),逐渐养成“一个字写完了再写下一个字”、“减少跳步”、“折叠使用草稿纸”等好的习惯.规范的表达源自老师的板书展示和对平时作业的严格要求.也是一种习惯.老师要舍得用课堂时间带着学生一步步计算,要舍得让学生在课堂上独立完整地计算整道题.(2)常用的“小方法”:①涉及直线、圆的问题充分利用平面几何知识②点差法③经过某处点的直线与二次曲线必定相交④直线方程的设法⑤由对称性,形式上的一致性"同理"可得⑥定值定点问题可由特殊值法先得到结论⑦直线与二次曲线相交且已知一个交点时‚利用韦达定理求另一个交点⑧三角形(或多边形)的面积用平/直的直线割补后再求(3)常易忽略的细节:①设直线时注意:直线与坐标轴垂直的情况单独考虑;②使用韦达定理之前,要确保0+要讨论二次项系数是否为0;③消元、换元时注意新旧变量的范围不仅仅是在解析中的问题了…④EQ\O(OA,→)∙\O(OB,→)>0AOB为锐角或零角四.参考题1.(2012.北京.理19)已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(mR)(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A在点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A、G、N三点共线./*(1)(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,,解得:由韦达定理得:xM+xN=−EQ\F(16k,2k2+1)①,②设,,方程为:,则,,,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将①②代入易知等式成立,则三点共线得证*/2.(2012年西城一模)已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由./*（Ⅰ）.………………5分（Ⅱ）设，，直线的方程为.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.………………7分所以，.………………8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.……………9分设，则有.将，代入上式，整理得，所以.………………12分将，代入上式，整理得.………………13分由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.……………14分*/3.(2010北京理数.19)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(−1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于−EQ\F(1,3).(1)求动点P的轨迹方程;(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由./*(1)解:因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为(2)[法一](设点P,EQ\F(1,2)×底×高求出面积)设点的坐标为,点,得坐标分别为,.则直线的方程为,直线的方程为令得,.于是的面积又直线的方程为,,点到直线的距离.于是的面积当时,得又,所以=,解得.因为,所以故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.[法二](设点P,EQ\F(1,2)×a×b×sinC求面积线段比)若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为则.因为,所以所以即,解得因为,所以故存在点S使得与的面积相等,此时点的坐标为.[法三](设线AP,割补求面积)设直线AP的斜率为k,则AP:y−1=k(x+1),BP:y+1=EQ−\F(1,3k)(x−1)∴M(3,4k+1),N(3,−EQ\F(2,3k)−1)延长AB,交直线x=3于Q,则:S△ABP=S△MNPS△AMQ=S△BNQ即:|4k+1+3|×4=EQ\B\lc\|\rc\|(−\F(2,3k)−1+3)×2,解得k联立AP,BP解得P点坐标…[法四](等面积AN∥BM)由S△ANM=S△ANBAN∥BM斜率等[法五](法三+法四P为△ANQ重心)延长AB,交x=3于Q,连接AN.EQ\B\lc\{(\A\al(B为AQ中点,S△ANM=S△ANBAN∥BMM为NQ中点))

P为△ANQ重心EQ\O(AP,→)=\F(2,3)\O(AM,→)xP+1=EQ\F(2,3)(3+1)xP=EQ\F(5,3),代入椭圆yP=…或用重心公式求xP.*/4.(2009年山东.文)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值./*(1).当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆;当时,方程表示的是双曲线.(2)当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即……(*)要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=即,即,由韦达得: ,要使,需使,即,所以,即且,即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,即:,所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.*/5.(2011西城一模.文.19)已知抛物线的焦点为,直线过点.(Ⅰ)若点到直线的距离为,求直线的斜率;(Ⅱ)设为抛物线上两点,且不与轴垂直,若线段的垂直平分线恰过点,求证:线段中点的横坐标为定值./*(Ⅰ).…5分(Ⅱ)设线段中点的坐标为,,因为不垂直于轴,则直线的斜率为,直线的斜率为,…7分直线的方程为,…8分联立方程消去得,…10分所以,…11分因为为中点,所以,即,…13分所以.即线段中点的横坐标为定值.…14分*/6.(2010年东城一模)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．/*（Ⅰ）．…………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由得．①………6分设点，，则．直线的方程为．令，得．将，代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直线与轴相交于定点．……9分（Ⅲ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上．由得．易知．所以，，．则．因为，所以．所以．当过点直线的斜率不存在时，其方程为．解得，．此时．所以的取值范围是．……13分*/7.(2010西城一模(理科)18)椭圆的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率./*(Ⅰ)EQ\F(x2,4)+y2=1(Ⅱ)设,联立,消去得,则,设两点的坐标分别为,(ⅰ)当为直角时,即,∴,∴,解得.(ⅱ)当或为直角时,不妨设为直角,此时,,所以,即………①,又………②,将①代入②,消去得,解得或(舍去),将代入①,得,所以,综上,的值为和.*/8.(2010年西城二模)如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点，.ADCBxOylADCBxOylEF（Ⅱ）设直线的斜率分别为,若,求的值./*（Ⅰ）设，由得，，，，…2分由已知，又，所以…4分所以，即，…5分所以，解得，…6分符合题意.所以，所求直线的方程为或.…7分（Ⅱ），，，所以，…8分平方得，…9分又，所以，同理，代入上式，计算得，即，…12分所以，解得或，…13分因为，，所以异号，故舍去，所以.…14分*/

9.(2007年宁夏理19题)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由./*(1)由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1.整理得+2kx+1=0 ①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2−4=4k2−2＞0, 解得k＜−或k＞.即k的取值范围为(−∞,−)∪(,+∞).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),由方程①得x1+x2=− ②又y1+y2=k(x1+x2)+2 ③而A(,0),B(0,1),=(−,1).所以+与共线等价于x1+x2=−(y1+y2),将②③代入上式,解得k=.由(1)知k＜−或k＞,故没有符合题意的常数k.*/

10.椭圆两个焦点F1、F2在x轴上,且与短轴两个端点B1、B2正好是正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为.(1)求椭圆的标准方程:(2)过D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M,N,且M在D,N之间,设,求的取值范围/*(1)(2)①若l⊥x轴,则λ=②若l与x轴不垂直,则可设l为:y=kx+2联立,消y,得:(*)由Δ>0由①②③消去x1,x2,得:由,即解得:又∵M在D、N之间∴0<λ<1综上,λ*/

11.(北京理19)已知椭圆G:.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(II)将表示为m的函数,并求的最大值./*(1)由已知得:a=2,b=1∴c=EQ\R(3)∴焦点坐标:EQ\B(−\R(3)‚0)、EQ\B(\R(3)‚0)离心率e=EQ\F(c,a)=\F(\R(3),2)(2)由题意知:|m|1显然,切线l不可能垂直于y轴,故可设其方程为:x=ty+m1由相切EQ\F(|m|,\R(1+t2))=1m2=1+t2t2=m2−1…………①2联立切线与椭圆,EQ\B\lc\{(\A\al(x=ty+m,x2+4y2=4))消x,得:(t2+4)y2+2mty+(m2−4)=0…………(*)∴|AB