2023年初中数学全等三角形知识点总结及复习

全等三角形知识点总结及复习

一、知识网络

〔性质保制发

一边边边SSS

全等形—全等三角形＜边角边SAS=应用

判定＜角边角ASA

角角边AAS

斜边、直角边HL

作图

fF

角平分刀线用［1性质与判定定理

二、基础知识梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相似的图形；（2）大小相等的图形；

即可以完全重叠的两个图形叫全等形。同样我们把可以完全重叠的两个三角形叫做全等三角

形。

全等三角形定义：可以完全重叠的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形

中的特殊状况）

当两个三角形完全重叠时，互相重叠的顶点叫做对应顶点，互相重叠的边叫做对应边，互相重叠

的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边一定是对应边;

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质

(1)全等三角形对应边相等；(2)全等三角形对应角相等；

3、全等三角形日勺鉴定措施

(1)三边对应相等的两个三角形全等。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及鉴定

性质：角平分线上时点到这个角的两边的距离相等

鉴定：到一种角的两边距离相等时点在这个角平分线上

(-)灵活运用定理

1、鉴定两个三角形全等的定理中，必须具有三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻

找全等的条件时，总是先寻找边相等的也许性。

2、要善于发现和运用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择合适的措施鉴定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)

(2)已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

(三)经典例题

例1.已知：如图所示，AB=AC,N1=N2,AD=AE,求证：!\ABD=AACE.

例2.如图所示，已知：AF=AE,AC=AD,CF与DE交于点B。求证：MCF=LADEo

例3.如图所示，AC=BD,AB=DC,求证：NB=NC。

例4.如图所示，CD1AB,BElACt垂足分别为D、E,BE与CD相交于点0,且N1=N2

求证:BD=CEo

A

例5：已知：如图，在四边形ABC。中，AC平分NBA。、CE±ABE,且/8+/。=180。。

求证：AE=AD+BE

分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截

长补短”的添加辅助线，本题与否仍可考虑这样“截长补短”的措施呢？由于AC是角平分线，因此

在AE上截连结PC,可证出AAOC之AAFC,问题就可以得到处理。

证明（一）：

在AE上截取连结PC。

在AAFC和AAOC中

AF=A。（已作）

<N1=N2（已知）

AC=AC（公共边）

：.AAFC^AADC（边角边）

AZAFC=ZD（全等三角形对应角相等）

VZB+ZZ）=180°（已知）

；.NB=NEFC（等角的补角相等）

在ACEBffACEF中

ZB=ZEFd^^

4EB=4EF=9CP(当中

CE=CE(^W4

:.ACEBqACEF（角角边）下|_\

：.BE=EF

B

\'AE^AF+EF

：.AE=AD+BE（等量代换）

证明（二）：

在线段EA上截EF=8E,连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，假如现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需

要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题

一、选择题

1.如图，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；②AB=DE,ZB=ZE,BC=EF；

③ZB=/E,BC=EF,NC=NF；®AB=DE,AC=DF,ZB=ZE.

其中，能使△ABC/ZXDEF的条件共有（）A.1组B.2组C.3组

D.4组

2.如图，D,E分别为/XABC的AC,边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在A3边

上的点尸处.若NCDE=48°,则NAPD等于（）

3.如图（四），点尸是上任意一点，ZABC=ZABD,还应补充一种条件，才能推出

AAPC^AAPD.从下列条件中补充一种条件，不二足熊推出△APC四/XAPD的是（）

A.BC=BDB.AC=ADC.ZACB=ZADBD.ZCAB=ZDAB

C.52°D.58°

rvi(rm\

1题图2题图

4.如图,在i&ABC与aDEF中,已经有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABCgADEF,不能添加

的一组条件是（）

(A)ZB=ZE,BC=EF(B)BC=EF,AC=DF(C)ZA=ZD,ZB=ZE(D)ZA=ZD,BC=EF

5.如图，中，/C=90°，ACBC,4?是/的CffU平分线，DE_LAB于E,

则可供选择的地址有（）A.1处B.2处C.3处D.4

处

4题图5题图

7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，目前要到玻璃店去配一块完全同样的玻璃，那

么最省事的措施是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去

8.如图，在RtAABC中，ZB=90°,是AC的垂直平分线，交AC于点。，交BC

于点E.已知NBAE=10°,则ZC时度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如图，AACB学△A'CB,NBCB'=30°,则NAC4'的度数为（）

11.尺规作图作NAOB的平分线措施如下：认为。圆心，任意长为半径画弧交Q4、OB于C、

D,再分别以点。、。为圆心，以不小于长为半径画弧，两弧交于点P,作射线。尸,由作法

2

得△OCP之△ODP的根据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS

12.如图，/C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为（）A.5cm

B.3cmC.2cmD.不能确定

13.如图，0平分NAOB,PALOA,PBLOB,垂足分别为4B.下列结论中不一定成立的是

（）A.PA=PBB.P0平分NAPBC.OA=OBD.AB垂直平分

0P

14.如图，已知A3=AO,那么添加下列一种条件后，仍无法鉴定△ABCgZXADC时是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

11题图12题图CH而⑸

二、填空题

1.如图，已知A5=AO,ZBAE=ZDAC,要使ZvlBC之△ADE,可补充的条件是

（写出一种即可）.

2.如图，在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC交BC于D,DE±AB于E,且AB=5cm,则ADEB的I周长

为____________

3.如图，ZBAC=ZABD,请你添加一种条件：,使OC=OD（只添一种即可）.

4.如图，在AABC中，ZC=90°ZABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘

米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

B

D

A

C

1题图2题图3题图4题图

5.观测图中每一种大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形

有个.

6.已知：如图，△OADgZkOBC,且/0=70°,ZC=25°,则/AEB=度.

7如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重叠）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.如下五个结论：①AD=BE；②

PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤NA0B=60。.

恒成立的结论有（把你认为对时时序号都填上）。

8.如图所示，AB=AD,Z1=Z2,檄口一种合适的条件，使4ABCgAADE,则需要添加的条件是

6题图7题图8题图

三、解答题

1.如图，已知AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE.

2.如图，在ZXABC中，AB=AC,ZH4C=40°,分别认为ABAC边作两个等腰直角三角形

ABZ)和ACE,使Za4D=NG4E=90°.

(1)求NDfiC时度数；(2)求证：BD=CE.

3.如图，在4ABE中，AB=AE,AD=AC,NBAD=NEAC,BC、DE交于点0.求证：⑴AABC^AAED；

(2)0B=0E.

4.如图，D是等边AABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△£口（；,连接AE,找出图中的一

组全等三角形，并阐明理由.

5.如图，在△被和△式B中，AB=DC,AC=DB,47与庞交于点"

(1)求证：△ABC^MDCB；(2)过点。作CN//BD,过点8作BN//AC,5与即交于点N,试判断

线段厥与GV的数量关系，并证明你的结论.

0

6.如图，四边形ABCD的对角线AC与相交于。点，Z1=Z2,Z3=N4.

求证：(1)AABC^AADC；(2)BO=DO.

<

7.如图，在/XABC和△A3。中，现给出如下三个论断：①AD=BC；②"=/£>；

③N1=N2.请选择其中两个论断为条件，另一种论断为结论，构造一种命题.

(1)写出所有的真命题(写成“”形式,用序号表达)：

1

(2)请选择一种真命题加以证明.

你选择的真命题是:>=>

证明:

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.求证：OA=OD.

9.如图，回中，/胡俏90度，AB=AC,劭是N/6C日勺平分线，M的延长线垂直于过C点日勺直线于

E,直线CE交BA的延长线于F.

求证：BD=2.CE.

10.如图，=3c于点。，AD=AE,A3平分NDAE交DE于点/，请你写出图中三

对全等三角形，并选用其中一对加以证明.

11.已知：如图，DC//AB,且2已伤，£为4?附中点,

(1)求证：△AED^^EBC.

(2)观看图前，在不添辅助线的状况下，除△上外，请再写出两个与的面积相等的三角

A

形.(直接写出成果，不规定证明)：

BC

12.如图①，E、/分别为线段/C上的两个动点，且庞，〃于E,BFLAC于F,若/庐徽AQCE,BD

交〃于点M.

(1)求证：MB-MD,ME=MF

(2)当£、尸两点移动到如图②的位置时，其他条件不变，上述结论能否成立？若成立请予以证

明；若不成立请阐明理由.

D

①

13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD,AE=BF,CE=DF

求证：(1)DF〃CE(2)DE=CF

14.如图，已知在AABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF时延

长线上截取CG=AB,连结AD、AG,