圆锥曲线中的定点、定值、定线问题-2025年高考数学备考复习

第八章平面解析几何

突破3圆锥曲线中的定点、定值、定线问题

口学生用书P198

命题点1定点问题

例1[2023全国卷乙]已知椭圆C：，+捻=1(a>b>0)的离心率为g,点/(一2,0)在

C上.

(1)求C的方程；

(2)过点(一2,3)的直线交。于尸，Q两点，直线/P,与y轴的交点分别为

N,证明：线段血W的中点为定点.

解析(1)因为点/(-2,0)在C上，所以6=2.

因为椭圆的离心率e=：=\=],所以。2=9,故椭圆C的方程为^•+：=1.

(2)由题意知，直线尸。的斜率存在且不为0,设y—3=k(x+2),P(xi,ji),

Q(X2,H),

y—3=fc(%+2),

22

由y2x2得(4左2+9)x+(16F+24左)x+16F+48左=0,则八=(16^+

——十——=1J

194

24k)2-4(4左2+9)(16左2+48左)=一36义48左＞0,

_16/C2+24/C_16fc2+48fc

故X1+%2—-------5------.X1X2----------5------.

4〃+9'4/+9

直线NP:y=^-(x+2),令x=0,解得川=壬，同理得加=当,

%1+幺％2+幺

则玖/+抄=2乂yi(Q+2)+及(％i+2)

(%1+2)(%2+2)

_(kIi+2k+3)(%2+2)+(kX2+2k+3)(%i+2)

=2nvX--------------------------

(%1+2)(Q+2)

_。^2^1X2+(4k+3)(%i+i2)+8k+12

=2X-------------------------------------------------

%l%2+2(%I+%2)+4

_?乂2%(16忆2+48k)+(轨+3)(-16/-24忆)+(8k+12)(轨2+9)

底16fc2+48/c+2(-16k2-24/c)4-4(4fc2+9)

=2*嘿

=6.

所以MN的中点的纵坐标为也要=3,所以九W的中点为定点(0,3).

方法技巧

求解直线或曲线过定点问题的基本思路

1.把直线或曲线方程中的变量X,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那

么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关

于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

2.由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y—州=左(x—xo),则直线必

过定点(xo,外);若得到了直线方程的斜截式了=区+加，则直线必过定点(0,m).

3.从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.

训练1[2022全国卷乙]已知椭圆£的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过N(0,

—2),B(|,—1)两点.

(1)求£的方程；

(2)设过点尸(b-2)的直线交E于"，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段

交于点T,点〃满足而=前.证明：直线网过定点.

解析(1):,椭圆£的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,—2),

...可设椭圆E的方程为与+。=1,又椭圆£过BJ-1),

W42

得次=3,

4W4

的方程为9+9=1.

(2)当直线肱V的斜率不存在时，痴：x=l,

由Lill得产小•尸土等

匕十1_1'

结合题意可知M(1,一等)，N(1,箸)，

.•.过〃且平行于x轴的直线的方程为尸一4

易知点T的横坐标xrd[0,1],直线48的方程为了一(-2)一『一火(工一。)，即＞=

2——0

'__2V2

由，丫2b得*1=3—巫，：.T（3—V6,—

哈久-2,

'：MT=TH,：.H（5-2V6,一等），

4V2

2V2_飞（1、日口_2（3+V6）

IzHN：厂方一^7（X—1）,即y---------X-2.

易知直线过定点(0,-2).

当直线JW的斜率存在时，如图，设M(%i,yi),N(%2,yr),IMN：y=kx+m(k+m=

-2).一

y—lexTtTf

22

由r2v2得(33+4)x+6A：mx+3m—12=0,A>0,

v£3+54=L

.।_6km_3m2—12

,•X1+X2=-3fc2+4,苫江2=3「+4•

过M且平行于x轴的直线的方程为y=yi,

y=y^衿_3(yi+2)

与直线48的方程联立，得付XT------------

y=-—2,

、J

3(yi+2)、

----2----'yi),

'：MT=TH,：.H(3力+6n,力),

yi—yz

IHN：厂>2=(%—X2)

3yi+6一八一犯

月一丫2丫1-丫2

即尸-x+y2•X2.

3yi+6—%i—%23yi+6一打一犯

（yi~~y2）%2一（肛及+%2、1）+3y，2+6y2—一（%，2+%2丫1）+3y，2+6y2

令X=0,得〉=J2-

3yi+6-亚一亚—(%i+%2)+6+3yi-(%i+%2)+6+3(yi+y2)3y2,

9•*yiy2=(fcri+m)(te+^)=k?X{X2~\~mk(/+%2)+m2=—:今［；叱,6+丁2=(无vi+

m)+(te+m)=k(xi+%2)+2加=由、，xiy2~\~X2yi=xi(te+m)+%2(Axi+m)

-24k

)

2kxiX2-\~m(xi+x23k2+4’

24k,-36/c2+12m2-36/c2+12m2+24A:-24(/一3攵一2)

沙

(XIH+XD+3yiy2=3k2+43k2+43fc2+43fc2+4

6kmI/I24m6碗+18/+24+2477；_12(/一3左一2)

一))-5---十6十—o—

(%1+%2+6+3(/+>23k2+43k2+43/+4-3k2+4

一24(小一3k-2)

+6y2

3k2+4

12(必一3k-2)2,

一3丫2

3k2+4

直线过定点（0,-2）.

综上，直线/7N过定点（0,-2）.

命题点2定值问题

例2已知抛物线C：/=20x经过点尸（1,2）.过点0（0,1）的直线/与抛物线C有两个

不同的交点/,B,且直线产/交〉轴于直线尸5交了轴于N.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

（2）设。为原点，QM=-kQO,QN=nQO,求证：：+工为定值.

解析（1）因为抛物线产=期过点（1,2）,所以22=4,即2=2.故抛物线。的方程为

炉=4x.

由题意知，直线/的斜率存在且不为0.

设直线/的方程为y=fct+l（左W0）.

由［y4x,得左27+（2左一4）x+1=0.

（y=kx+1

依题意，得人=（2左一4）2—4义旧Xl>0,解得左V0或0〈左VI.

又尸4,尸5与〉轴相交，故直线/不过点（1,-2）.

从而左W—3.

所以直线/的斜率的取值范围是(一8,-3)U(—3,0)U(0,1).

(2)设4(xi,yi),5(%2,>2).

由(1)知Xl+l2=——m—,X1X2=识.

直线PA的方程为y—2=--(x—1).

令x=0,得点M的纵坐标为为/=二"乜+2=二星口+2.

%1-1%1-1

kX2+1

同理得点N的纵坐标为yN=~+2.

^2-1

由QM=A/Q。，QN=|iQ。得九=1一yMf1―yN.

所以一+I—1=--1-+1---1-

入〃i—yMi—yN

I]-1_|_X2_l

(k~l)xi(k—1)X2

_12x1X2—(%i+%2)

k-l%i%2

=2.

所以g+工为定值.

方法技巧

圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.

2.两大解法

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

（2）引进变量法，其解题流程为：

训练2［2023武汉市四月调研］过点（4,2）的动直线/与双曲线及马一言=1（40,b>

arbL

0）交于跖N两点，当/与x轴平行时，IMNI=4应，当/与y轴平行时，=

4V3.

（1）求双曲线E的标准万程；

（2）点P是直线y=x+l上一定点，设直线PM,PN的斜率分别为后，后2，若左述2为定

值，求点尸的坐标.

解析（1）根据双曲线的对称性，可知双曲线E过点（±2&，2）和点（4,土2百），

Z84

---2

--庐

2a-4

所

以-a--

-2-

16b4

一12

\庐

a2

故双曲线E的标准方程为二一匕=1.

44

（2）当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=攵（x-4）+2,

y=k(%—4)+2,

2

与双曲线方程联立得%2y2消去y,得(左2—1)X—(8左2—4左)x+16『一

匕—1=1，

161+8=0,A>0.

16k2-16忆+8

设Af(xi,yi),N(X2,j^2),则xi+x2=%_：,X1X2-k^l-

设尸(t,r+1),则

（月一1一1）（72—1一1）

k\ki=

_(Zc%l—4fc—t4-l)(/c%2—1+1)

(%1—1)(%2—t)

r2

_k2x1X2~k(4k+t—l)(%i+%2)+(4k+t—1)

X^X2~t(%i+%2)+产

2

(16灰2—16灰+8)—Z(4k+t—1)(8/-4k)+(4k+t—1)(A2—。

16/c2—16fc+8—t(8/c2—4/c)+t2(k2—1)

2

_(t2+2t-ll)k2~8(t-1)k~(t-1)

2•

(t—4)k2+4(t—4)k~(t2—8)

当，=4时，不满足左次2为定值.

当，W4时，若左次2为定值，则t+2t1：=8,：)=_,1),解得，=3,此时左1左2=4.

z

(t—4)4(t—4)—(t—8)

（若一个分式为定值，则对应系数成比例，因为要保证分母不为0,所以要考虑f=4和

/W4两种情况）

经检验，当直线/的斜率不存在时，对尸（3,4）,也满足左伏2=4.

所以点P的坐标为（3,4）.

命题点3定线问题

例3[2023新高考卷n]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2击，0）,离心率

为遮.

（1）求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为小，A2,过点(一4,0)的直线与。的左支交于M,N两

点，M在第二象限，直线〃小与儿42交于点尸，证明：点尸在定直线上.

解析(1)设双曲线。的方程为仁一/=1(。>0,6>0),c为双曲线C的半焦距,

卜=24，伍=2①，

由题意可得｛；=有，解得1=2,

[c2=a2+b2,5=4.

所以双曲线c的方程为老一些=1.

416

(2)设M(xi,yi)，N(%2,>2),直线跖V的方程为4,

则x\=my\—4,X2=myi—4.

\x=my—4,

由%22得(4m2—1)炉一32切+48=0.

匕一君y=1'

因为直线与双曲线C的左支交于M,N两点、,所以47/-1WO,且△>().

I_32m

y]।y22'

......非T所以勿+玖=?1玫.

(乃乃=寸'’

因为4,也分别为双曲线C的左、右顶点，

所以4(一2,0),A2(2,0).

直线MA\的方程为上」=三，直线M42的方程为争一

%l+2x+2%2-2x~2

yiy

所以町+2一至得(%2-2)yi_%-2(my2-6)yi_叼1丫2—6丫2一%—2

(xi+2)f(znyi-2)myiy2_2yx+2"

言’y2x+2y22

因为my,2—6yi

冲1丫2-2,2

_/月、2-6(月+丫2)+6必

my1y2-2y2

-6-yiy+6yz

_myry22

my，2—2y2

_—3myiy2+6y2

myiy2-2y2

=-3,

所以匕=—3,解得x=-l,

x+2

所以点P在定直线X=—1上.

方法技巧

定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求

点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之

间的关系.

训练3［2023福州市质检］已知抛物线氏y2=2px（p＞0）,过点（一2,0）的两条直线

11,/2分别交E于48两点和C,。两点.当/i的斜率为:时，=V13.

（1）求E的标准方程；

（2）设G为直线与8c的交点，证明：点G必在定直线上.

解析⑴当/i的斜率为:时，得八的方程为尸|（x+2）.

（y2=2px,

由12消元并整理得，y2—3py+4p=0,

（x+2）,

由弦长公式及根与系数的关系得，IABI=J1+（1）2J（3p）2-16p=V13,

即J9P2—I6p=2,解得p=2或p=一：（舍去），

从而E的标准方程为y2=4x.

（2）设直线48的方程为夕=鱼（x+2）,左iWO,

由j＞一的+2），消去x并整理得后］/_旬+8左1=0,

（y2=4%,

设4（y,yi）,B（y,yi）,则w=8.

设直线CO的方程为夕=依（x+2）,依WO,C除”），D除y4）,同理可得y3y4=8.

直线工。的方程为y—勿=空二与（x-4）,即化简得4x—（力+以）＞+

yi_yi4y4+yi"+力

44

yiy4=0,

同理得，直线的方程为4x—（歹2+n）y+y"3=0.

因为直线4。与5c相交，所以冲+竺壬yi+y4,

由14%—（yi+y4）丫+丫1丫4=0，消去y

U%-（、2+乃）y+y2y3=°，

解得九一y2y3（月+丫4）一%、4（及+13）

4［（y2+y3）一（yi+y/

一yiy2y3+y2y3y4—yiy2y4—yiy3y4

45+、3）-（71+74）］

_8y3+8。2—8丫4-8%

4［（72+、3）-（yi+、4）］

=2,

所以点G的横坐标为2,即直线4。与BC的交点G在定直线x=2上.

1.［命题点1］已知抛物线C/=-2勿经过点（2,-1）.

（1）求抛物线。的方程及其准线方程.

(2)设。为原点，过抛物线C的焦点且斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,直

线y=-1分别交直线。ON于点/和点8.求证：以N3为直径的圆经过y轴上的两个定

点.

解析(1)由抛物线C:N=-2勿经过点(2,—1),得4=2p,解得〃=2,

所以抛物线。的方程为N=—4了，其准线方程为7=1.

(2)由(1)知抛物线C的焦点为(0,-1).

设直线/的方程为>=履一1(左W0).

由［y：依一1,得r+4代_4=0.

(%2=-4y,

设M(xi,yi),N(X2,歹2),则xii2=-4.

直线0M的方程为

xi

令V=—l,得点/的横坐标打=-N

yi

同理得点B的横坐标切=一栏.

72

设点。(0,n),则£M=(——,—1—n),DB=(—,—1—n),

yiyi

DADB=^+(〃+l)2

y/2

=—4+(«+l)2.

令万彳♦方5=0,即-4+(〃+l)2=0,得〃=1或〃=—3.

综上，以45为直径的圆经过〉轴上的定点(0,1)和(0,-3).

2.［命题点2/新高考卷I］已知椭圆C：5+，=1(。>6>0)的离心率为争且过点/(2,

1).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，且ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得I

DQI为定值.

解析⑴由题设得2+3=1,上/=；,解得层=6,尻=3.

a"W2

所以C的方程为9+9=1.

(2)设M(xi,yi),N(%2,yr).

若直线MN与％轴不垂直，设直线的方程为)=履+加，代入^~+［=1得(1+2左2)X2

+4痴x+2加2—6=0.

.r日।4km2m2—6g

于7^X1+无2=—忘记，刀>=]+2rO-

由/M_L/N知前•丽=0,故（xi—2）（X2-2）+（yi-1）（二-1）=0,可得（炉+

1）x\X2~\~（km—k—2）（xi+%2）+（m—1）2+4=0②.

将①代入②可得（於+1）咨二―（km—k—2）晋9+（771-1）2+4=0,

1+Z/Cl"rZrC

整理得（2左+3%+1）（2左+加-1）=0.

因为/（2,1）不在直线上，所以2后+加一1W0,故2左+3加+1=0,k#l.

于是ACV的方程为>=左（x-|）OWl）.

所以直线血W过点尸.

若直线MV与x轴垂直，可得N（xi,—yi）.

由前•前=0得（xi—2）（xi—2）+（勿一1）（一力-1）=0,则比=犹一4xi+5.

又费+号=1,将上式代入可得3a-8xi+4=0,解得xi=2（舍去）或xi=|.

此时直线MN过点尸~1）.

令。为/P的中点，即Q41）.

若D与P不重合,则由题设知/尸是Rt4/DP的斜边，

故IDQIWIAPI=斗.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

若。与P重合，则I。。I=，NPI=挈

综上，存在点Q（g,,使得II为定值.

（---------------------;练习帮；练透好题精准分层---------------------------

d学生用书•练习帮P366

1.[2023陕西省西北工业大学附属中学模拟]已知双曲线C：5一，=1（a>0,b>0）的右

顶点为/,。为原点，点尸（1,1）在C的渐近线上，的面积为去

（1）求C的方程；

（2）过点尸作直线/交C于M,N两点，过点N作x轴的垂线交直线于点G,H为

NG的中点，证明：直线/"的斜率为定值.

解析⑴因为尸（1,1）在C的渐近线上，所以。=6.

因为/（.a,0）,所以△P/O的面积为/=|>

解得。=1,所以6=1,

所以。的方程为X2—y2=1.

（2）当直线/的斜率不存在时，不符合题意，舍去.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为了一1=左(X—1),M(XI,Ji),N(X2,

/）,

由*1"fe（X1）'得（1-F）/—2左（1—后）X一尸+2左一2=0,A=4左2（1—左）2-4（1

\.x2—y2=1,

一左2）（一后2+2左一2）=8—8k,

1一后W0,4Dc

由得左VI且左W—1,

A>0,

fib】I2kk2-2k+2

则X1十X2=1］，X\X2=k2_1.

直线4M的方程为>="1一(x—1),

%i—1

令X=X2,得G（X2,yi(犯一1))

%］一］

n<X2-D+Y2

因为H为NG的中点,所以H（X2,----）,

yi(匐一0

+、2

—1

所以3—1d+上）

2%1-1X2~l

k（%i—1）4-1।k（冷―1）+1_ci1।1

因为《r+负IILI'•

%1—1X2-lX1—l%2-1

巧+32-2

=2—2k,所以心”=1,

/一Xl%2—（久l+%2）+1必—2k+22k「

1X2-l

所以直线4〃的斜率为定值.

2.[2024四川宜宾第四中学模拟]如图，已知抛物线C：y2=2px(p>

0)的焦点为RD(1,0),点尸是在第一象限内且在。上的一个动

^*!■7IIt\n-----1

点，当。尸与X轴垂直时，I尸尸1=1，过点P作与C相切的直线/交y\

轴于点过点M作直线/的垂线交抛物线C于1,3两点.

(1)求。的方程.

(2)延长尸交抛物线C于点。.设直线48,OQ(其中。为坐标原点)的斜率分别为

h,k2,证明：售为定值.

解析⑴当。P与X轴垂直时，|尸尸|不，则由抛物线的定义可得1+2=9，解得P=

424

1

2f

所以。的方程为y2=x.

-1__

(2)设尸(xo,次)，对于产=%,当y>0时，y=y[x,,所以次=占^,直线尸M

的斜率为

当直线PD的斜率存在时，将直线PD的方程＞=豆（x—1）与抛物线方程产=》联立,

%。—1

消去工并化简，得/一个赤茅一1=0,易得A＞0,设。（%0,yo）,则＞0迎=—1,所以歹。

__j___1

yo屈，

（直线尸。与抛物线的另一个交点是点P,这是一个直白的、但容易灯下黑的条件，这里

根据“外y2=£”可以直接求出兵）

把点。的纵坐标代入》=且G-1）,得硕=工，所以。（工，一三）.

XQ-1%0孙国

因为直线45与切线/垂直，所以左1=7工，和kpM===,所以左i=-

kpM2屈V

又。为坐标原点，所以左2=5=一佝.

所以善=2.当直线PD的斜率不存在时，p（1,1）,Q（1,-1）,此时后=一2,依=一

幻一

1,所以暑=2.

故

综上，?为定值2.

3.[2024福州市一检]已知椭圆E：9+[=1的右焦点为尸，左、右顶点分别为4B点C

在E上，P（4,yP）,Q（4,yQ）分别为直线/C,2C上的点.

（1）求＞7^0的值；

（2）设直线5尸与E的另一个交点为。，求证：直线CZ）经过点尸.

解析解法一（1）如图，依题意，A（—2,0）,B（2,0）.

设C（XI,以），则）+9=1,

直线ZC的方程为（％+2）,令x=4得抄=包三

%1+2%1+2

直线5C的方程为勺一（X—2）,令x=4得y0=3-,

%1—2%i-2

所以抄现=消9,

即ypyQ的值为-9.

（2）设。（X2,＞2）,P（4,。，则直线4尸的方程为＞=[G+2）,直线5尸的方程为V

=；（x-2）.

2

y=-（汽+2）,

由6得（5+27）12+4做+4户一108=0,

3x2+4y2=12,

其判别式加＞0,所以-2^=宅票，即xi=3^f，

故力=33+2）=畀.

y=—(x-2)

由2〃得(1+3)*2—4»x+4f2—12=0,

3x2+4y2=12,

其判别式42>0,

2-—

、？口门八、

所ru以,2cX24=t2—F1J2，即X22=td6，.故,V=5t(Xz2—2)=^6.t

因为T7(1,0),所以向量FC=(xi-1,yD,FD—(12—1,»2),

22

27~3t~6tt~918t—6t(27—3产+3产―27)

则(xi—1)yi~(X2~1)yi=0,

2222

27+t产+3产+327+t(t+3)(27+t)

故而与丽共线,

所以直线CD经过点、F.

解法二(1)依题意，A(-2,0),B(2,0).

设C（羽，力），则,十日=1,

yi_yi3

所以kAC'kBC

%l+2xi~241

即一■|=fcip,总°=聋,热，故”也的值为一9.

（2）设。（X2,歹2）.

要证直线CQ经过点尸（1,0）,

只需证向量同=（XI—1,J1）与前=（X2-1,»）共线,

即证（4-1）yi=（%2—1）yi.（*）

2

因为?+?=1==二+9,所以（4+2）：1—2）=.

%3Xi-2y

所以kACP

%1+24yl6：

3x+2y

同理可得热Q=yz2P

x2—24y22

所以警=R月=!，即xiy2_3x”i+6yi+2y2=0,①

^BD（%i+2）y23

同理可得一3苫必+改力+2了1+6夕2=0,②

①一②得4xiy2—4x2%+4%-4y2=0,即（为一1）yi.=（助-1）yi.

所以（*）式成立，即直线CD经过点尸.

4.[2024江西九校联考]已知抛物线C：y2=2px（p>0）,直线x=Ja+1交抛物线C于

A,8两点，且AONB的面积为2旧（。为坐标原点）.

（1）求实数p的值；

（2）过点。（2,0）作直线/交抛物线C于尸，0两点，点P关于x轴的对称点为P,证

明：直线P。过定点，并求出定点坐标.

解析⑴易得直线x=da+l过点（1,0）,

设/（xi,yi）,B（%2,yi）,

,（x=yf2y+1,,0_r-

由《y2—2y[2py—2p=0,

（y2=2px,

所以巾+歹2=2&0y\y2=—lp,

2—2

所以Iyi~y2I=J（丫1+丫2）4y1y2=J（2V2p）—4x（—2p）=212（p2+p）,

所以△045的面积S=[><1X|yi~y2I=12（p2+p）=2V3,

又夕>0,所以2=2（2=一3<0舍去）.

（2）由（1）得抛物线C的方程为产=4x.

设尸（X3,>3）,Q（X4,J4）,不妨令歹4>歹3,则尸'（％3,一丁3）.

设直线/的方程为％="+2,（直线/的另一种设法为〉=左（X—2）,请注意对这两种设法

的取舍）

由1%坟+2,消去x,得产_4卯_8=0,

iy2=4%,

贝1»3+歹4=4，，>3/=-8.

直线P。的方程为歹一（一J3）='4——为）（-）,

X4-X3XX3

即（X4—X3）y+x4y3=（w+y3）X—y4X3,

即（"4一川3）y+（夕4+2）乃=（必+/）x—y4（"3+2）,

即t（%一丁3）y=（以+丁3）X-2"4y3-2（竺+y4）,

即]（、4+丫3）2—4y4y3，=（必+>3）x—2ty4y3—2（”+/）,

即，J（4t）—4X（—8））=4及一2tX（—8）—2X4Z,Fpty/t2+2y=t（x+2）.

令,+2=0,得'=一2,

ly=0,ly