不等式和基本不等式讲义-高三数学一轮复习

不等式与基本不等式等式与不等式【知识点梳理】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．2．不等关系与不等式不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．3.不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【练习】1．下列结论正确的是（）A．若a＞b，则 B．若a＞b，c＞0，则ac＞bc C．若a＞b，c≠0，则 D．若a＞b，则a2＞b22．下列命题中正确的是（）A．若0＞a＞b，则a2＞b2 B．若a2＞b2，则a＞b＞0 C．若a＞b，则 D．若a＞b，则a3＞b33．下面命题正确的有（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则 C．若a3＞b3，则a＞b D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd4．若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A． B． C． D．5．已知a＞b＞c＞d＞0，则下列结论不正确的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C． D．6．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c不等式比较大小【知识点梳理】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【练习】1．若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定2．已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s3．已知P＝a2+b2+2，Q＝2a+2b，则（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q4．已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s5．已知a＝+2，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定6．已知，，若x≥0，则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由x的取值确定基本不等式及其应用【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．【练习】1．若x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为（）A． B． C． D．2．若a＞0，b＞0且a+b＝6，则ab的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．93．已知正数a，b满足4a+9b＝4，则ab的最大值为（）A． B． C． D．4．已知a＞0，b＞0，且3a+4b＝4，则ab的最大值为（）A．1 B． C． D．技巧一：凑项（求和积一定）点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．【练习】1．若x＞1，则的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．122．代数式x2+取得最小值时对应的x值为（）A．2 B． C．±2 D．3．若x＞﹣3，则的最小值是（）A． B． C． D．4．若x＜0，则函数有（）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值5．已知x＞0，则的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．技巧二：凑系数（求积和一定）例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】函数的最大值是函数的最大值是______________________函数的最大值是_______________________技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）【练习】1．的最小值为（）A．4 B．7 C．11 D．242．若x＞1，则的取值范围是．3．函数的最大值为．技巧四：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【练习】1．若两个正实数x，y满足，则x+3y的最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．152．设a，b为正实数，且a+b＝10ab，则a+9b的最小值为（）A． B． C． D．3．设x，y∈（0，+∞），且x+4y＝1，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．95．已知a，b均为正数，且，则2a+b的最小值为（）A．8 B．16 C．24 D．326．已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．若正实数a，b满足a+4b＝1，则的（）A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为88．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．9．已知x+y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为（）A． B．0 C．1 D．10．若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5实际应用1．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．2．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w＝kx2，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？3．某牙膏厂生产的牙膏的年销售量（即该厂的年产量）x万支与年广告费用a万元（a≥0）满足（k为常数），如果不进行广告宣传，则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元，每生产1万支该产品需要再投入16万元，厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括广告费用）．（1）将2014年该产品的利润y万元表示为年广告费用a万元的函数；（产品的利润＝销售收入﹣产品成本﹣广告费用）（2）该厂家2014年的广告费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大值是多少？不等式与基本不等式答案等式与不等式1．【解答】解：对于选项A，取a＝0，b＝﹣1，显然不成立，故选项A错误；对于选项B，由不等式性质知a＞b，c＞0，则ac＞bc正确，故B正确；对于选项C，取c＝﹣1时，由a＞b可得，故选项C错误；对于选项D，当a＝0，b＝﹣1时，显然02＜（﹣1）2，故选项D错误．故选：B．2．【解答】解：对于A，由0＞a＞b知，|a|＜|b|，即b2＞a2，故错误；对于B，如a＝﹣4，b＝1，则a＞b＞0不成立，故错误；对于C，如a＝﹣2，b＝﹣4，则不成立，故错误；对于D，由幂函数y＝x3为增函数，所以若a＞b，则有a3＞b3，故正确．故选：D．3．【解答】解：对于A，若a＞0＞b，则不能推出a2＞b2，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则不能推出，故B错误；对于C，由y＝x3为R上的增函数，可知由a3＞b3可推出a＞b，故C正确；对于D，若a＞0＞b，c＞0＞d，则不能推出ac＞bd，故D不正确．故选：C．4．【解答】解：由a＞b＞0，c＞d＞0，取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D正确．故选：D．5．【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，故A正确；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，则，此时，故C错误；∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．6．【解答】解：由实数a，b，c在数轴上对应的点可知a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，则|b|＞|c|＝c，∴﹣b＞c，故﹣c＞b，A错误；由|a|＞|c|，∴﹣a＞c，故a＜﹣c，B错误；由于a﹣b＜0，故|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，C正确；由于c﹣a＞0，故|c﹣a|＝c﹣a，D错误．故选：C．不等式比较大小1．【解答】解：A﹣B＝﹣y2+4x﹣3﹣x2﹣2x﹣2y＝﹣x2+2x﹣y2﹣2y﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣（y+1）2﹣1＜0，则A＜B．故选：B．2．【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故选：C．3．【解答】解：∵P﹣Q＝a2+b2+2﹣2a﹣2b＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，∴P≥Q，故选：C．4．【解答】解：因为t＝a+4b，s＝a+b2+4，所以s﹣t＝b2+4﹣4b＝（b﹣2）2≥0，所以s≥t．故选：A．5．【解答】解：因为60＞48，即，所以，所以，所以a＞b．故选：A．6．【解答】解：取x＝0，则，此时P＜Q．要证P＜Q，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证x2+7x+6＜x2+7x+12，即证6＜12，显然6＜12成立，所以P＜Q成立．故选：C．基本不等式及其应用1．【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+2y＝5，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为．故选：A．2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝6，∴6＝a+b≥2，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．故选：D．3．【解答】解：正数a，b满足4a+9b＝4，由基本不等式得：，解得：，当且仅当4a＝9b，即时，等号成立，ab的最大值为．故选：A．4．【解答】解：因为4＝3a+4b，解得，当且仅当，时，等号成立．故选：C．技巧一：凑项（求和积一定）1．【解答】解：因为x＞1，则＝4（x﹣1）++4+4＝8，当且仅当4x﹣4＝，即x＝时取等号，故选：B．2．【解答】解：由题意得x2＞0，则，当且仅当，即时取等号，故选：D．3．【解答】解：由x＞﹣3，可得x+3＞0，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B．4．【解答】解：因为x＜0，所以，当且仅当，即时取等．故选：B．5．【解答】解：∵x＞0，∴＝x+﹣4≥2﹣4＝0，当且仅当x＝，即x＝2时取等号．故选：B．技巧二：凑系数（求积和一定）1．【解答】解：≤，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故函数y的最大值为．故答案为：．2．【解答】解：，当且仅当2x＝1﹣2x，即x＝时，等号成立，故函数y的最大值为．3．【解答】解：，当且仅当x＝1﹣x，即x＝时，等号成立，故函数y的最大值为1．故答案为：1．技巧三：分离1．【解答】解：x＞﹣1，则x+1＞0，，当且仅当，即x＝1时等号成立．故选：B．2．【解答】解：因为x＞1，所以x﹣1＞0，故，当且仅当，即时取等号，即的取值范围是，故答案为：．3．【解答】解：令t＝x+1，则t≥1，则y＝t+≥2，所以y＝＝＝∈（0，]．故答案为：．技巧四：整体代换1．【解答】解：x＞0，y＞0，，则，当且仅当，即x＝6，y＝2时取等号，故选：C．2．【解答】解：因为a，b为正实数，且a+b＝10ab，所以+＝1，所以a+9b＝（a+9b）（+）＝++1≥2+1＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”，所以a+9b的最小值为．故选：C．3．【解答】解：因为，当且仅当，即x＝2y，即时取得等号，故选：D．4．【解答】解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，则＝，当且仅当，时，等号成立．故选：C．5．【解答】解：当b∈（0，2）时，，，故，不符合题意，故b＞2，所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（）＝8+2+8＝16，当且仅当8•＝2，即a＝3，b＝10时等号成立．故选：B．6．【解答】解：因为正实数a，b满足，则a+2b+1＝（a+b+b+1）（）＝5+＝9，当且仅当且，即b＝2，a＝4时取等号，此时a+2b取得最小值8．故选：B．7．【解答】解：因为正实数a，b满足a+4b＝1，则＝＝5+＝9，当且仅当且a+4b＝1即b＝，a＝时取等号，此时取得最小值9．故选：B．8．【解答】解：由题意m，n为正数，且m+n＝2，则，当且仅当，结合m+n＝2，即m＝n＝1时等号成立，即的最小值为2．故选：A．9．【解答】解：因为x+y＝1，y＞0，x＞0，令t＝，t＞0，所以t+1＞1，则＝＝+＝+＝（1+2t）+++＝，当且仅当，即t＝，此时x＝，y＝时取等号．故选：A．10．【解答】解：因为正数x，y满足x+3y＝5xy，所以＝5，则3x+4y＝（3x+4y）（）＝（13+）＝＝5，当且仅当且x+3y＝5xy，即y＝，x＝1时