1.4.2充要条件（教学课件）高一数学课堂（人教A版2019）

充要条件温故知新命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做

.判断为真的语句是

；判断为假的语句是

.中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”"如果p,那么q"等形式.p称为命题的

，q称为命题的

.命题真命题假命题结论条件温故知新充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系P

qp⇏q条件关系p是q的

条件q是p的

条件p不是q的

条件q不是p的

条件⇒充分必要充分必要温故知新定理关系数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_________数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_________充分条件必要条件学习目标1.通过实例认识并理解充要条件的意义.2.能自主判断充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件问题.(重点)3.掌握充要条件的证明方法，并能自主对充要条件进行证明.(难点)内容索引二、充要条件三、充要条件的证明四、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用一、逆命题的概念创设情境

同学们，在上节课内容中，我们学习了什么是充分条件，什么是必要条件，懂得了条件和结论不一定构成唯一的关系，比如“不积硅步无以至千里”。但你们知道吗？生活中也一些实例可以表明条件和结论是唯一的结构，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”。而在我们数学上，也有很多类似的问题，比如“三角形内角和为180度”，“三角形中大边对大角”等等，今天就让我们一起来探索吧！一逆命题的概念问题1

下列命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.新知讲解1.两个命题的条件和结论刚好反过来，两个命题就成为互逆命题，其中一个叫

，另一个叫做原命题的

.2.原命题和逆命题之间的真假关系并不总是对应的，也就是说原命题为真并不意味着其逆命题也为真，同理原命题为假也并不意味着其逆命题为假.原命题逆命题例1给出以下两个“若p，则q”形式的命题并回答问题：①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.②若m≤0.25，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根.(1)你能判断这两个命题的真假吗？命题①是真命题，②是真命题.(2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题.②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根，则m≤0.25，是真命题.二充要条件问题2

在以下两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.

②若m≤0.25，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根.提示p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件.新知讲解(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有

，就记作

，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为

条件.p⇒qq⇒pp⇔q充要新知讲解(2)条件关系判定的常用结论：条件p与结论q的关系结论(p是q的)p⇒q，且q⇏p充分不必要条件q⇒p，且p⇏q必要不充分条件p⇒q，且q⇒p充要条件p⇏q，且q⇏p既不充分也不必要条件注意点：(1)充要条件的判断方法：①确定谁是条件，谁是结论；②判断能否互推；③最后判断条件是结论的什么条件.(2)充要条件的等价说法：q成立当且仅当p成立，或p与q等价.例2

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答).∴p是q的充分不必要条件.A＝{x|x＝1}＝{1}，(2)p：－3≤x≤8，q：x≥－3且x≤8；∵－3≤x≤8⇔x≥－3且x≤8，∴p是q的充要条件.xx(3)p：xy≥0，q：x≥0，y≥0；由xy≥0可以得到x≥0，y≥0或x≤0，y≤0，又p：x≥0，y≥0，故p是q的必要不充分条件.(4)p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直平分.正方形的对角线互相垂直平分，但对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形。所以p是q的充分不必要条件反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系.(4)传递法：充分和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.变式训练2

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答).(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；充要条件；(2)p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0；充要条件；(3)p：A∩B＝∅，q：B＝∅；必要不充分条件；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；充分不必要条件.三

充要条件的证明例3

已知圆O的半径r，圆心O到直线的距离为d.求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件.证明：设p:d=r,q:直线l与圆O相切.(1)充分性(p⇒q):如图,作OP⊥l于点P,则OP=d.若d=r,则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P.所以直线l与圆O相切.(2)必要性(q⇒p):若直线l与圆O相切，不妨设切点为P,则OP⊥I.因此d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆O相切的充要条件.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先推证充分性p⇒q成立，然后推证必要性q⇒p成立.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.变式训练3

求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.(2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.四

充分不必要、必要不充分

充要条件的应用例4

已知p：x2-x-2≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.p：由x2-x-2≤0，得－1≤x≤2,另A={x|－1≤x≤2}，q：B={1－m≤x≤1＋m(m>0)}.因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，故B是A的真子集解得m≤1.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤1}.

所以

或反思感悟应用充分条件和必要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)化集合：根据已知条件将问题转化为集合间的关系.(2)列式：根据集合间的关系列出含参数的方程(组)或不等式(组)求解.变式训练4

设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是