2024年中考数学试题分类汇编：动点综合问题（33题）（解析版）

专题34动点综合问题（33题）

一、单选题

1.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图1,矩形中，AD为其对角线，一动点尸从。出发，沿着。fBfC

的路径行进，过点尸作尸0LC。，垂足为。.设点尸的运动路程为x,PQ-DQ为y,丁与x的函数图象

如图2,则4D的长为

A.逑11

B.D.—

3344

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【详解】解：由图象得：CD=2,当AD+BP=4时，PQ=CD=2,此时点尸在8c边上,

设此时=贝！|3D=4-4，AD=BC=2+a,

在RMBC。中，BD1-BC1=CD-,

即：(4-4-("2)2=22,

2

解得：

8

A.D=Q+2=—,

3

故选：B.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在等腰RtaABC中，ZBAC=90°,48=12,动点E,尸同

时从点N出发，分别沿射线和射线/C的方向匀速运动，且速度大小相同，当点£停止运动时，点歹

也随之停止运动，连接EF,以E尸为边向下做正方形EFGX,设点£运动的路程为x（O<x<12）,正方形

EFG8和等腰RtA4C重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）

AA

【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之

间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当的与重合时，及当xW4时图象的

走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案.

【详解】解：当的与8C重合时，设=由题可得：

EF=EH=V2x，BE=\2-x,

在RtAEAB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH1-

・・x=4,

.,.当0<x44时，y=(V2x)2=2x2,

2>0,

...图象为开口向上的抛物线的一部分，

当府在下方时，设=由题可得:

2

EF=岳，BE=n-x,

ZAEF=/B=45。,ZA=ZEOB=90°,

NFAE对EOB,

AEEO

/一商，

x_EO

•\/2x12—x

・,・当4<x<12时，y=（V^x）正=（12—x）x=—x2+12x,

V-l<0,

・・・图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，

故选：A.

3.（2024・四川泸州•中考真题）如图，在边长为6的正方形4BCZ）中，点尸分别是边485C上的动点,

且满足N£=8尸，师与DE交于点。，点M是。厂的中点，G是边上的点，AG=2GB,则。/G

2

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，

先证明厂（SAS）得到4。£=血£,进而得到尸=90。，则由直角三角形的性质可得

OM=；DF,如图所示，在45延长线上截取8〃=5G,连接W,易证明AFBGMAFBH（SAS）,则FH=FG,

可得当H、D、尸三点共线时，+族有最小值，即此时/G有最小值，最小值即为。〃的长的

一半，求出4〃=8,在中，由勾股定理得DH=[AD?+AH?=10，责任。河+；厂G的最小值为

5.

3

【详解】解：•・♦四边形455是正方形，

,AD=AB,ZDAB=/ABC=90°,

XVAE=BF,

：.AADE^ABAF(SAS),

：./ADE=NBAF,

ZDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+NDAO=/DAB=90°,

•・•点M是。厂的中点，

：.OM=-DF；

2

如图所示，在45延长线上截取=连接尸X,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

.・.△F5G%FBH（SAS）,

：.FH=FG,

：.OM+-FG=-DF+-HF=-（DF^HF\,

2222V7

,当H、D、尸三点共线时，。尸+H歹有最小值，即此时（W+1bG有最小值，最小值即为。〃的长的一

2

半，

VAG=2GBfAB=6,

：.BH=BG=2,

：.AH=8,

在BIAADH中，由勾股定理得DH=y]AD2+AH2=10，

OM+工尸G的最小值为5,

2

故选：B.

4.（2024•甘肃・中考真题）如图1,动点P从菱形48co的点/出发，沿边43f匀速运动，运动到点

C时停止.设点P的运动路程为x,尸。的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点尸运动到8c中点

4

时，P。的长为（）

图1图2

A.2B.3C.V5D.272

【答案】C

【分析】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4,当点尸运动到点8时，PO=BO=2,根据菱形的性

质，得a4O3=/SOC=90。，继而得到AB=BC=JoT+2也,当点P运动到BC中点时，尸。的

长为工3C=石，解得即可.

2

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，

直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4,

当点P运动到点3时，PO=BO=2,

根据菱形的性质，得乙4OB=ABOC=90°,

故4B=BC=yj0A2+0B2=2A/5，

当点P运动到8C中点时，PO的长为=8C=6，

故选C.

5.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在菱形中，AB=6,N3=30。，点£是5c边上的动点，连

接NE,DE,过点/作加_LDE于点P设。E=x,AFy,则y与x之间的函数解析式为（不考虑自

变量x的取值范围）（）

c36

一=身D.y=—

XXXx

【答案】C

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三

角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键.过。作D77L3C,交8C延长线于〃，则/DHE=90°,根

5

据菱形的性质和平行线的性质得到CD=/。=48=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=Z5=30°,进而利用含

1AJ7AF）

30度角的直角三角形的性质。8=彳口）=3,证明A/FDSADHE得到==京，然后代值整理即可求解.

2DHDE

【详解】解：如图，过。作。交延长线于〃，贝!J/nffi=90。，

AB//CD,AD//BC,CD=AD=AB=6,

：.ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30°,

在RtZXCQH中，DH=-CD=3,

2

■:AFLDE,

：.NAFD=ZDHE=90。，又ZADF=/DEH,

：.AAFDS.DHE,

,AF_AD

,,南一杳'

*.*DE=x,AF=y,

・v_6

・・———，

3x

•_18

••y=—，

X

故选：c.

二、填空题

6.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知两条平行线J右，点/是4上的定点，的工"于点B,点C、

。分别是4、，2上的动点，且满足/C=3D，连接CD交线段于点E,BHLCD于点H,则当N84H■最

大时，smNB/H的值为.

6

【分析】证明A/CE会ABDE(ASA),得出==根据Af/_LCO,得出48/ffi=90。，说明点X

在以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点。，以点。为圆心，03为半径画圆，则点H在。。上运动，

说明当/〃与。。相切时N3/〃最大，得出。HL/H,mAO=AE+OE=3OE,利用

sinNBAH=*黑"，即可求出结果.

AO30E3

【详解】解：・・•两条平行线/1、点4是4上的定点，ABf于点B,

・••点5为定点，48的长度为定值，

・・・/1〃，2，

:・ZACE=/BDE,/CAE=NDBE,

•・•AC=BD,

：.公ACE%BDE(ASA),

：.BE=AE=-AB,

2

,/BHLCD,

：.NBHE=90°,

・・・点〃在以班为直径的圆上运动，

如图，取线段5E的中点。，以点。为圆心，。5为半径画圆,

，当4H与OO相切时NBAH最大,

・・・OH工AH,

AE=OB=2OE,

,AO=AE+OE=3OE,

・.•OH=OE,

故答案为：j.

7

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三

角形等知识点，解题的关键是确定点〃的运动轨迹.

7.（2024・四川广安・中考真题）如图，在Y48CD中，AB=4,AD=5,NA8C=30。，点M为直线BC上

一动点，则M4+MO的最小值为.

【答案】同

【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A',连接A'D交3C于“，则=A'H,AH1BC,AM'=A'M',

当AT重合时，腿4+最小，最小值为4。，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作A关于直线8C的对称点4,连接4。交8C于AT,则=AHVBC,

AM'=A'M',

.•.当AT重合时，M4+MD最小，最小值为4。，

A'

'：AB=4,ZABC=30°,在Y/BCD中，

/.AH=^AB=2,AD//BC,

：.AA'=2AH=4,AA'±AD,

'：AD=5,

A'D=A/42+52=y/4A，

故答案为：V41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌

握各知识点是解题的关键.

8.（2024・四川凉山・中考真题）如图，0M的圆心为"（4,0）,半径为2,P是直线了=尤+4上的一个动点，

过点P作。M的切线，切点为。，则尸。的最小值为

8

【答案】2币

【分析】记直线y=x+4与X,y轴分别交于点aK,连接加，PM,KM.由直线解析式可求得点/、K

的坐标，从而得△0/K,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,则当尸河最小时，尸。最小，点尸与点K重合，此时W最小值为KM,由勾股定理求得的

最小值，从而求得结果.

【详解】解：记直线了=x+4与x,y轴分别交于点/,K,连接。加，PM,KM,

当x=0,y=4,当y=0,即％+4=0,

解得：x=-4,

即K(0,4),/(-4,0)；

而M(4,0),

OA=OK=OM=4,

:.AOAK,△OKM均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

尸与。M相切，

ZPQM=90°,

PQ^yJPM2-QM2,

•/QM=2,

当PQ最小时即PM最小，

・•・当尸时，取得最小值,

9

即点P与点K重合，此时9最小值为KM,

在RLOKM中，由勾股定理得：KM=^OM2+OK2=472，

PQ=J32-4=2A/7,

，P。最小值为2b.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加

辅助线是解题的关键.

9.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知//。8=50。，点尸为/ZO8内部一点，点〃为射线。4、点

N为射线。2上的两个动点，当APMN的周长最小时，则.

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点尸关于。4,

08的对称点与P2.连接。召，OP2.则当N是耳巴与。4,的交点时，APMN的周长最短，根据

对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：作尸关于CM,05的对称点4P2.连接。与OP2.则当N是＜4与。4,03的交点

时，△尸儿W的周长最短，连接

P、々关于。4对称,

ZP}OP=2ZMOP,OPX=OP,PXM=PM,NOP\M=ZOPM,

10

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

APXOP2=ZPtOP+ZP2OP=2(2MOP+ZNOP)=2NAOB=100°,OPX=OP,=OP,

△404是等腰三角形.

ZOP2N=/OP[M=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZO^M=80°

故答案为：80°.

10.(2024♦四川成都・中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知。(3,0),5(0,2),过点C作4轴

的垂线/,P为直线/上一动点，连接尸。，PA,则尸O+P4的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点/关于直线/的对称点©,

连40交直线/于点C,连/C,得到/C=/'C,A'ALI,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，

得到当尸,H三点共线时，尸。+尸”的最小值为4。，再利用勾股定理求4。即可.

【详解】解：取点/关于直线/的对称点H,连HO交直线/于点C,连/C,

则可知NC=/'C,A'All,

：.PO+PA=PO+PA'>A'O,

即当O,尸,4三点共线时，PO+尸”的最小值为4。，

•.•直线/垂直于y轴，

轴，

•.•4(3,0),5(0,2),

AO—3,AAr=4,

・••在RM/'/。中，

22

A'O=J。/+“=^3+4=5，

故答案为：5

11

A

A

11.（2024・四川内江・中考真题）如图，在“3C中，ZABC=60°,BC=8,£是3c边上一点，且3E=2,

点/是的内心，2/的延长线交ZC于点。，尸是8。上一动点，连接PE、PC,则尸E+PC的最小

【答案】2岳

【分析】在48取点尸，使BF=BE=2,连接尸尸，CF,过点、F作FH工BC于H,利用三角形内心的定

义可得出乙4BD=NCBD,利用SAS证明ABFP包3EP,得出打'=PE,则PE+PC=PF+PC»W,当C、

P、/三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含30。的直角三角形的性质求出5〃，利用勾股定

理求出万H,CF即可.

【详解】解：在NB取点凡使BF=BE=2,连接尸尸，CF,过点尸作F”，8C于〃，

：/是“8C的内心,

BI平分NABC,

：.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

12

AB"均BEP(SAS),

PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,

,：FHLBC,ZABC=60°,

ZBFH=30°,

/.BH=-BF=1,

2

FH=y]BF2-BH2=V3»CH=BC-BH=1，

CF=y/CH2+FH2=2小，

：.PE+PC的最小值为2回.

故答案为：2用.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等

知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

12.（2024•山东烟台・中考真题）如图，在Y/BCD中，ZC=120°,48=8,SC=10.£为边。的中点,

尸为边4D上的一动点，将4）所沿E尸翻折得厂，连接BD',则面积的最小值

为.

【答案】20百-16/-16+20抬’

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=/3=8,AB//CD,ZABC=60°,由折叠性质得到ED=DE=4,

进而得到点济在以£为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过£作瓦/交4S延长线于交圆E

于。夕，此时到边48的距离最短，最小值为的长，即此时△48。面积的最小，过C作CN_L4B于

N,根据平行线间的距离处处相等得到=故只需利用锐角三角函数求得CN=56即可求解.

【详解】解：•在Y/8CD中，ZBCD=120°,AB=8,

：.CD=AB=8,AB//CD,则ZA8C=180。-/3cz）=60。，

为边CO的中点，

13

DE=CE=-CD=4,

2

1/GEF沿EF翻折得AD'EF,

：.ED'=DE=4,

，点。£在以£为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过£作瓦交NB延长线于交圆£于

此时到边42的距离最短，最小值为DM的长，即△48。面积的最小，

过C作CN_LN3于N,

AB//CD,

EM=CN,

在RM3CN中，5C=10,ZCBN=60°,

回

C#=5C-sin60O=10x—=5^,

2

/.D'M=ME-ED=54,

△480面积的最小值为；x8x（573-4）=20拒-16,

故答案为：20V3-16.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数

等知识，综合性强的填空压轴题，得到点〃的运动路线是解答的关键.

13.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，正方形48CD的边长为1,M、N是边BC、上的动点.若

NMAN=45。，则MN的最小值为.

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】将△/减顺时针旋转90。得到“3尸，再证明尸名AM4N（SAS）,从而得到

14

MN=MP=BM+BP=BM+DN,再设设CN=a,CM=b,得至!JAW=2—a,利用勾股定理得至I」

CN2+CM2=MN2,即〃+/=（2—q—92,整理得到（2—Q）（2-b）=2,从而利用完全平方公式得到

MN=2—a—b2—2+2J（2-4乂2-b）,从而得解.

【详解】解：・・•正方形的边长为1,

,AD=AB=BC=CD=1,ZBAD=ZABC=ZC=ZD=90°,

将丛ADN顺时针旋转90°得到AABP,则AADNaABP,

:./DAN=/BAP,ZD=ZABP=90。,AN=AP,DN=BP,

・••点P、B、M、C共线，

■:/MAN=45。,

：./MAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-AMAN=45°=AMAN,

VAP=AN,/MAP=/MAN,AM=AM,

：.AMAP^MAN（SAS）,

：.MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

设CN=a,CM=b,贝ijQN=l-a,BM=l-b,

：.MN=BM+DN=2-a-b,

ZC=90°,

•U.CN2+CM2=MN2,即/+〃=（2-Q—6）2,

整理得：（2-a乂2-6）=2,

：.MN=2-a-b

=-2+（2-a）+（2-b）

15

=—2+（J2-a—2J2-a,J2-6+（j2-6+2/2—a,y]2-b

=—2+（J2—a—sjl—b）~+2yI（2-a）（2-Z?）

>-2+2^（2-a）（2-Z））

=-2+2亚，

当且仅当j2—a=12-6，即2—0=2—6=血，也即0=6=2—0时，AGV取最小值一2+20，

故答案为：-2+272.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式

等知识，证明"N=+DV和得到（2-a）（2-6）=2是解题的关键.

14.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在平行四边形48CD中，AB=2,AD=4,E、尸分别是边CD、AD

上的动点，且CE=OF.当NE+CF的值最小时，贝！|CE=.

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质.延长

8C,截取CG=CD,连接GE,ZG,证明ACD尸也AGCE,得出CF=GE,说明当/E+EG最小时，AE+CF

最小，根据两点之间线段最短，得出当/、E、G三点共线时，/E+EG最小，即/E+C尸最小，再证明

△/EOs^GEC,根据相似三角形的性质，求出结果即可.

【详解】解：延长BC,截取CG=CD,连接GE,AG,如图所示：

AB=DC=2,AD=BC=4,AD//BC,

：.ND=ZECG,

,:CD=CG,DF=CE,

：.ACDF/AGCE,

16

・•・CF=GE,

AE+CF=AE+EG,

.•.当/E+EG最小时，/E+CF最小，

:两点之间线段最短，

...当/、E、G三点共线时，/E+EG最小，即NE+CF最小,且最小值为/G的长，

A______________Fn

o（JU

VADIICG,

・•・/\AEDS/\GEC,

.ADDEnn42-CE

GCCE2CE

2

解得CE=§.

故答案为：f.

三、解答题

15.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，“BC中，AC=BC,44cB=90。，Z（-2,0）,C（6,0）,反比例

函数>=（（左*0,x>0）的图象与交于点。（见4）,马BC交于点、E.

FA.B

AM[C5

（1）求冽，左的值；

（2）点尸为反比例函数》=：（左。0,%>0）图象上一动点（点尸在。，E之间运动

，不与。，E重合），过点P

作尸”〃交》轴于点过点尸作尸N〃工轴，交5C于点N,连接MTV,求APMN面积的最大值，并

求出此时点尸的坐标.

【答案】（1）加=2,左二8

17

（2”群.最大值是薮，止匕时尸卜,8

【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

（1）先求出2的坐标，然后利用待定系数法求出直线48的函数表达式，把。的坐标代入直线的函数

表达式求出m,再把。的坐标代入反比例函数表达式求出后即可；

（2）延长NP交y轴于点。，交幺B于点L.利用等腰三角形的判定与性质可得出。M=Q尸，设点尸的坐

标为H，（2</<6）,则可求出5"®=；.（6t）1,然后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：C（6,0）,

:.AC=8.

又AC=BC,

BC=8.

'：ZACB=90°,

一•点3（6,8）.

设直线48的函数表达式为V=+6,

,/\,,f—2a+Z?=0

将/（z-2,0x）,8（6,8）代入y="+6,得6a+b=8，

解得[a匕=nl,

二直线48的函数表达式为>=x+2.

将点。（俄,4）代入y=x+2,得加=2.

.'.£>（2,4）.

将。（2,4）代入y=£,得左=8.

X

（2）解：延长NP交歹轴于点。,交AB于点L.

18

AC=BC,ZBCA=90°,

•.•尸N〃尤轴,

ZBLN=NBAC=45°,ZNQM=90°.

PM//AB,

ZMPL=ZBLP=45°,

ZQMP=NQPM=45°,

：.QM=QP.

设点P的坐标为(2<t<6),则=PN=6-t.

MQ=PQ=t.

1117a

S^PMN=-^-Afg=--(6-/)-/=--(/-3)+-.

.,.当f=3时，有最大值羡，止匕时尸13,8

-m

16.(2024・四川自贡・中考真题)如图，在平面直角坐标系中'一次函数"h+b的图象与反比例函数＞=—

X

的图象交于2(-6,1),8(1,〃)两点.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)尸是直线尤=-2上的一个动点，的面积为21,求点尸坐标;

(3)点0在反比例函数＞='位于第四象限的图象上，AOaB的面积为21,请直接写出。点坐标.

X

19

［答案］⑴y=-2,y=-x-5

X

(2)点尸坐标为(-2,3)或(-2,-9)；

⑶。点坐标为(3,-2)或同，

【分析】(1)先求出机=-6,再代入8(1,〃)，得出8(1,-6),再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可

作答.

(2)先得出直线与直线》=-2的交点C的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得

gx卜3-2卜7=21,解出P,即可作答.

(3)要进行分类讨论，当点。在点3的右边时和点。在点8的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式,

其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答.

【详解】(1)解：依题意把4-6,1)代入y="，得出1=一

x-6

解得m=-6

把3(1/)代入>=一9中，得出"=一?=一6

x1

5(1,-6)

则把-4(-6,1)和5(1,-6)分别代入y=far+b

l=-6k+b

得出

-6=k+b

k=-l

解得

b=-5

><•y=-x—5；

(2)解：记直线48与直线x=-2的交点为。

20

・,•当x=—2时，则y=-x-5=2-5=-3

C(-2,-3)

・・・P是直线x=-2上的一个动点,

设点尸(一2,p),

•.飞尸/B的面积为21,

|xJPCx|x^-(-2)|+1xPCx|xfl-(-2)|=1xPCx|x74-x5|=1xJPCx(x5-xJ=21

即夫卜3_小7=21

|—3—/?|=6

解得夕=3或-9

・・・点尸坐标为(-2,3)或(-2,-9)；

(3)解：由(1)得出y=—

x

..•点0在反比例函数＞=-9位于第四象限的图象上，

设点Q的坐标为＞0)

,*,^QAB的面积为21,4-6,1)和5(1,—6)

21=(1+6)x(q+6)x(l+@x(l+9—^x(q+0:1+-^^~—+6)

整理得21=7x(g+6)-乜L(^+6)x1+-L1,一1)<-^+6

22\q)2Iq

解得4=3(负值已舍去)

经检验4=3是原方程的解，

21

点坐标为(3,-2)

如图：点。在点3的左边时

'''^QAB的面积为21,4(-6,1)和8(1,—6)

(+6)<(+6)-U

®JI^21=7x^-+lj-|x^-+ljx(^+6)-y-|x(l-^)x^-6+-

解得0<q=zll土亚1<i,符合题意,“=七乒<。,不符合题意'

2

6H+A/145"-11+V14511+7145^

则——=----Y—,故Q2

q22J

综上：。点坐标为(3,-2)或］画.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割

补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

17.(2024•四川泸州•中考真题)如图，在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线y=+6x+3经过点4(3,0),

与了轴交于点2,且关于直线尤=1对称.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵当-IVx与时，y的取值范围是0W〉V2"l,求f的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线NB于点。，在y轴上是否存在

22

点、E,使得以2,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)歹=-%2+2%+3

5

⑵七

(3)存在点以3,C,D,E为顶点的四边形是菱形，边长为3近-2或2

【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键.

(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)分区1和"1,两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可.

(3)分加为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线＞=如2+为+3经过点/(3,0),与y轴交于点8,且关于直线x=l对称，

--=1[a=-1

：.\2a,解得：，

9。+36+3=0〔"=2

・・y=—x+2%+3；

(2),・,抛物线的开口向下，对称轴为直线x=l,

...抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，

时，0＜y＜2t-l,

①当时，贝!1：当x=t时，函数有最大值，即：2,-1=-»+2/+3,

解得：/=-2或"2,均不符合题意，舍去；

②当，＞1时，贝！I：当x=l时，函数有最大值，即：2f—l=—『+2+3=4，

解得：/=：;

2

,,5

故：=不

2

(3)存在；

当y=-尤？+2x+3=0时，解得：Xj=3,X2=-1,当尤=0时，y=3,

4(3,0),5(0,3),

设直线的解析式为歹=丘+3,把/(3,0)代入，得：k=-l,

.*•y——x+3f

设C(冽，一加2+2加+3)(0＜冽＜3),贝！J：Z)(m,-m+3),

23

CD--m1+2m+3+m-3--m2+3m>BD=^m。+(-m+3-3)-=6m,BC2=m2+^-m2+2/M),

当B,C,D,E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：

①当BD为边时，贝1J：BD=CD,即一加2+3加=正加，

解得：m=0(舍去)或加=3-收，

此时菱形的边长为应加=36■-2;

②当BD为对角线时，贝U：BC=CD,即：m2+(-m2+2w)2=(-m2+3m)2,

解得：加=2或机=0(舍去)

此时菱形的边长为：4+3x2=2;

综上：存在以8,C,D,£为顶点的四边形是菱形，边长为3及-2或2.

18.(2024・四川南充・中考真题)已知抛物线k-f+bx+c与x轴交于点/(TO),5(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,抛物线与了轴交于点C,点P为线段OC上一点(不与端点重合)，直线尸/,P3分别交抛物线

于点E,D,设面积为H，面积为邑，求詈的值；

⑶如图2,点K是抛物线对称轴与不轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M,N,

过抛物线顶点G作直线/〃x轴，点。是直线/上一动点.求。M+0N的最小值.

【答案】(1»=-%2+2%+3

(3)475

24

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)设尸(0,0),直线"为y=+求出y=px+p,直线BD为y=后2工+打，求出y=-gx+p,联

立方程组得£(3-p,-p2+4p),一<+?)再根据E=S“m-S„,邑即可求

解；

(3)设直线肱V为歹=丘+4,由K(l,0)得左+d=0,^y=kx-k,设M(加，一加之+2加+3),

2

N(n,-n+2n+3),联立直线亚W与抛物/2c,，得f+("2)x-"3=0,根据根与系数的关

\7[y=-x+2x+3

系可得：m+n=1-k,mn=-k-3,作点N关于直线/的对称点N',连接JW,则有

QM+QN=QM+QN'>MN',过M点作MF_LMV'于R则尸(〃,-4+2加+3),贝|

"户=M+/-2(加+〃)+斗，月1/=忱-,根据勾股定理得跖\门=/+J7/+go280,即可求出加+0N

最小值.

【详解】(1)解：•••抛物线与x轴交于点/(-1,0),8(3,0),

J-l-Z?+c=O

[-9+3b+c=0'

\b=2

解得。，

[c=3

抛物线的解析式为y=r2+2%+3；

(2)设P(0,p),直线/尸为〉=匕1+4(匕wO),据题意得，

,\y=px+p,

y=px+p

联立得

y——f+2x+3

x=-lx=3-p

解得y=0或

y=-p2+4p，

E（3-+4°）,

设尸(O,p),直线3。为了=3+4/wo)，据题意得,

25

3k>+，=0T,

u解得

b2=P

._p,

・・y=-~x+P，

p

y=--x+p

联立得

y——f+2x+3

P-3

x=------

x=3、3

解得或<

y二0一昨一二+土‘

93

E=S3s”巾仇-力27+与"=|(3-),

22

S]=SAABE-SAABP=^AB-(yE-yP)=2(-p+4p-p)=2(3p-p),

,县」

•,邑9；

(3)设直线MV为了=任+〃(左力0),由K(l,0)得先+4=0,

••d=­k,

*.y=kx-k,

设一冽2+2加+3),N(%一加2+2〃+3),

y=kx-k

联立直线MN与抛物线

y——x2+2x+3

得工2+（左一2）x一左一3=0,

A=（左一2）2—4（—左一3）二左2+16>0,

根据根与系数的关系可得：m+n=2-k,mn=-k-3,

作点N关于直线/的对称点N',连接"N’，

26

由题意得直线l：y=4,则N'[n,n2-2n+5),

/.QM+QN=QM+QN'>MN',

过M点作于凡则尸伍-疗+2加+3).

则N'F=|/w2+H2-2(m+M)