2025年高考数学总复习专项训练：常用逻辑用语

专练2常用逻辑用语

［基础强化］

一、选择题

1.［2024•新课标II卷］已知命题p：VxER,|x+l|>l；命题q：3x>0,—=X.贝！J()

A.p和q都是真命题

B.rp和q都是真命题

C.p和rq都是真命题

D.rp和rg都是真命题

答案：B

解析：对于命题p,当x=—1时，|x+1|=0<1,所以p是假命题，是真命题.对于命题q,若x3=x,

则X=—1,0,1,所以满足'勺x>0,必=£’,故4是真命题，F是假命题.故选B.

2.［2023•全国甲卷(理)］设甲：sin2a+sin2jg=l,乙：sina+cos片0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：B

解析：甲等价于sin2a=1—sin2,=cos2A，等价于sina=±cos夕，所以由甲不能推导出sina+cos4=0,

所以甲不是乙的充分条件；由sina+cos£=0,得sina=-cos/?,平方可得sin2a=cos2£=l—sin2£,即sin2a

+sin2/?=l,所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.

3.［2024.福建泉州模拟］在等比数列｛斯｝中，公比为q.已知刃=1,贝。0<q<l是数列｛诙｝单调递减的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：

当0<(?<1时，=q<\,

斯

所以数列｛诙｝单调递减，故充分性成立，

若数列｛斯｝单调递减，则0(誓<1,即0<4<1,故必要性成立，

所以0<«<1是数列｛斯｝单调递减的充要条件.

故选c.

4.设x£R,贝IJ"一一5兀<0”是“仅一1|<1"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析：由f—5x<0可得0<x<5.由以一1]<1可得0<%<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故"f—5x<0”

是“|x—1|<1"的必要而不充分条件.

5.设命题p：加+2改+1>0的解集是实数集R；q：0<«<1,则夕是乡的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析：当。=0时，不等式Q/+2QX+1>0的解集为R；

当时，由不等式ax21+2ax~\~1>0的解集为R知,

a>09

得0<a<l.

/=4储9一4〃<0,

・•・当OW〃<1时不等式ax2+2ax+l>0的解集为R,

即p：又(0,1)[0,1).

••P是q的必要不充分条件.

6.已知“函数丁=2%+加一1有零点”是“函数y=k)gQ在(0,+8)上为减函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：由y=2%+加-1=0,得m=1—2*,由函数》=2尤+加一1有零点，则加<1,由函数y=l0gm%在(0,

+8)上是减函数，得0<加<1,.,・“函数y=2*+nz—1有零点”是“函数y=log凉;在(0,+8)上为减函数”

的必要不充分条件.

7.设p：\x-a\>3,q：(x+1)(2%—1)20，若Y是q的充分不必要条件，则实数〃的取值范围是()

A.-4'2

B.(一8,—4]U+°°

答案：B

解析：p：3或x>〃+3,q：—1或,

「p：a—3W%W〃+3.

因为Y是q的充分不必要条件，

所以〃+3W—1或〃一32号,

得aG（—8,—4]U+8）.

8.已知A,B,C为不共线的三点，则端+AC|=|通-AC|”是“△ABC为直角三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：|矗+AC|=|矗-AC|两边平方得到赢2+AC2+2ABAC=赢2+AC2-2ABAC,得

ABAC=0,即赢±AC,故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当或NC

为直角时，|通+AC|沟赢-AC|,必要性不成立.故选A.

9.（多选）下列命题说法错误的是（）

A.3xGR,e*W0

B.VxSR,2W

C.a+b=0的充要条件是号=-1

D.若无，y£R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1

答案：ABC

解析：根据指数函数的性质可得e'O,故A错误；x=2时，2，>/不成立，故B错误；当。=6=0时，

f没有意义，故C错误；因为“x+y>2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x,y都小于等于1,

则x+yW2”,是真命题，所以原命题为真命题，故D正确.故选ABC.

二、填空题

10.关于函数/（x）=sin尤+总工有如下四个命题：

①Ax)的图象关于y轴对称.

②/U)的图象关于原点对称.

领劝的图象关于直线尤=胃对称.

④Ax)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

答案：②③

解析：要使函数式无尸sinx+总：有意义，则有sinx#O,.,.x^kn,AdZ,...定义域为｛x|xWE,feeZ),

定义域关于原点对称.

又•••/(—x)=sin(—x)+sinL)=一'inx_+=—(sinx+日=~^,

，火X)为奇函数.「./(x)的图象关于原点对称，

・・・①是假命题，②是真命题.

对于③，要证兀0的图象关于直线x=T对称，只需证向一X)=启+£).

・••③是真命题.

令sinx=£,—1WW1且后0,「.g⑺=/+1,—且/W0,此函数图象如图所示(对勾函数图象

的一部分)，・・・函数的值域为(-8,-2]U[2,+8),

・•・函数的最小值不为2,即兀0的最小值不为2..,.④是假命题.

综上所述，所有真命题的序号是②③.

11.记不等式d+x—6<0的解集为集合A,函数y=lg(x—〃)的定义域为集合A“若是匕£3"

的充分条件，则实数，的取值范围为.

答案：(-8,—3］

解析：由f+x—6<0得一3Vx<2,

即：A=(—3,2),

由％—。>0,得x>〃，即：B=(a,+°°),

由题意得(一3,2)(a,+°°),.*.(2^—3.

x—1

12.已知p：1———W2,q：2x+1—m2^0(m>0),若p是q的充分而不必要条件，则机的取

值范围为.

答案：［9,+°°)

%—1

解析：由1—下一W2,得一2WxW10,

由/—Zx+l一相2忘0得l—MtWxWl+〃Z,

设P，4表示的范围为集合P,Q,则

尸={尤|一2«10},

Q={x|l—ZTIWXW1+机，m>0}.

因为p是q的充分而不必要条件，所以尸Q.

m>0,

所以<1—nzW—2,解得加29.

［能力提升］

r11

13.(多选)若“存在工£悖2)，使得2—&+1<0成立”是假命题，则实数％可能是()

39

A.2B.2\r2C.3D.］

答案：AB

一ri-iri-i

解析：因为“存在292,使得2f-&+1<0成立”是假命题，所以对任意工£2»?，2A2—双

+120恒成立，即2x+1对任意xd1,21恒成立.因为2x+l22啦(当且仅当尤=当时，等号成

JC1_乙」XZ

立)，所以.故选AB.

14.［2024•天津卷］设a,b^R,则“十二引，是"3。=3&”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：a3—b3<^>a—b,若a=b,则3"=3",若3"=3)，则所以"苏二分"是"3"=3""的充分必

要条件，故选C.

15.[2023•新课标I卷]设斗为数列｛斯｝的前"项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：，界为等差数列，

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：C

n(Y]—1)q

解析：若｛斯｝为等差数列，设其公差为d,则斯=〃1+(几一1)4,所以&=〃〃1+------2------d,所以；1=

Qi+(〃-1)苧,所以苦—乎=m+(〃+l—1)4—[ai+(n—1)-^]=[,为常数,所以佛｝为等差数列，

即甲=乙；若佛｝为等差数列，设其公差为则)=Y+(n—l)t=ai+(n—l)t9所以。=〃s+双〃一1"