2024-2025学年山东省菏泽市成武县伯乐高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省菏泽市成武县伯乐高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若向量a=(2,5)，b=(1−x,2+x)，a⊥b，则A.17 B.−17 C.42.在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，则A.8 B.12 C.16 D.43.设z=i2+i，则z的虚部是A.1 B.i C.−1 D.−i4.交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全.某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点S滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周.若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为6cm，则该圆锥的体积为(

)A.12πcm3 B.16πcm3 C.5.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若l//α，m⊂α，则l//m

C.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D.若l//α，l⊥β，则α⊥β6.某射击运动员射击5次的成绩如下表：第1次第2次第3次第4次第5次9环9环10环8环9环下列结论正确的是(

)A.该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 B.该射击运动员5次射击的平均环数为9.5

C.该射击运动员5次射击的环数的方差为1 D.该射击运动员5次射击的环数的方差为27.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是(

)A.当n=2时，P(A)=12 B.当n=2时，P(B)=34

C.当n=3时，P(A)=348.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为32的正四棱柱构成，则下列说法正确的是(

)A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该“十字贯穿体”的表面积是322

C.该“十字贯穿体”的体积是5623

D.一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到△ABC为钝角三角形的是(

)A.a=9，b=10，c=14 B.a=6，b=8，C=30°

C.cosC=35，4a=3c D.cosA=10.有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t(其中i=1，2，A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本方差相同

C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本极差相同11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1DA.AC//平面EFG

B.存在点G使得EF⊥FG

C.存在点G使得异面直线AB与EG所成的角为60°

D.三棱锥G−EFD1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的75%分位数是______．13.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，AB=1，∠ACB=π6，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为______．14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为23,13,14.在第一轮比赛中，甲队得x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知圆C：(x−1)2+y2=4．

(1)若直线l经过点A(−1,3)，且与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若圆C1：16.(本小题15分)

如图，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，F为CE中点．

(1)求证：DF//平面EAB；

(2)求点C到平面BDE的距离．17.(本小题15分)

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+3bsinC−a−c=0．

(1)求B；

(2)若C=π4且△ABC的面积为18.(本小题15分)

某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．

(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；

(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为75，方差为6.25，在[80,90)内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[70,90)内的平均数和方差．19.(本小题17分)

定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知A，B两个点的坐标为A(x,2)，B(1,x)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x的取值范围是多少？

(2)已知A，B两个点的坐标为A(a,x)答案解析1.D

【解析】解：因为a=(2,5)，b=(1−x,2+x)，a⊥b，

所以a⋅b=2(1−x)+5(2+x)=12+3x=0，

解得x=−4．

2.D

【解析】解：在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，

由正弦定理ABsinC=ACsinB，可得632=AC33.A

【解析】解：由于z=i2+i=−1+i，所以z的虚部为1．

故选：A．

根据i4.C

【解析】解：设圆锥的底面半径为r，

则3×2πr=2π×6，

解得r=2，

所以圆锥的高为ℎ=62−22=42，

所以圆锥的体积为15.D

【解析】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，

对于A，若m//α，n/​/α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

对于B，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故B错误；

对于C，若α⊥β，l⊂α，则l不一定垂直β，故C错误；

对于D，若l//α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．

故选：D．6.D

【解析】解：该射击运动员5次射击的平均环数为9+9+10+8+95=9，

5次射击的环数的方差s2=15[(9−9)2+(9−9)2+(9−10)27.D

【解析】解：当n=2时，A表示一正一反，故P(A)=2×12×12=12，故A正确；

B−表示两个正面，此时P(B)=1−P(B−)=1−12×12=34，故B正确；

当n=3时，A表示既有正面朝上又有反面朝上，

故P(A)=1−P(A−)=1−2×12×12×8.C

【解析】解：依题意，不妨设该几何体中心对称，

对于A：在梯形BDOG中，BD=32−222=22，BG=2，OG=322，

DC=22，则OC=OD=(322−22)2+22=6，所以OC2+OD2≠DC2，

即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误；

对于B：该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形BDOG全等的梯形组成，

故表面积S=4×2×2+16×12×(22+322)×2=322+16，B错误；

对于C：两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGOST，取CS的中点I，

则多面体CDGOST可以分成8个全等的三棱锥C−GOI，

则S△GOI=12×2×2=2，且CI⊥平面GOI，CI=2，则VC−GOI=13×2×2=223，

则该“十字贯穿体”的体积为V=2×2×2×32−8VC−GOI=242−1623=5629.ABD

【解析】解：A中，由题意可得角C为最大值，则cosC=a2+b2−c22ab=81+100−1962×9×10=−112<0，

可得角C为钝角，所以A正确；

B中，由题意及余弦定理可得c=a2+b2−2abcosC=36+64−2×6×8×32=100−483<b，

所以角B为最大角，

且cosB=a2+c2−b22ac=36+100−483−642×6×100−483=72−48312100−483，

因为72−483=24(3−23)<0，

所以cosB<0，即B为钝角，

所以该三角形为钝角三角形，故B正确；

C中，cosC=35，在△ABC10.BD

【解析】解：样本数据x1，x2，…，xn，新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t；

对于A，第一组数据的平均数为x−，则第二组数据的平均数为x−+t，平均数不同；

对于B，第一组数据的方差为s2，则第二组数据的方差也是s2，方差相同；

对于C，第一组数据的中位数是x，则第二组数据的中位数是x+t，中位数不同；11.ABD

【解析】解：如图，由三角形中位线定理可得EF//A1C1，再由正方体的结构特征得A1C1//AC，则F//AC，

∵EF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，∴AC//平面EFG，故A正确；

设CD的中点为M，若G为BC的中点，则有AC⊥MG，AC⊥MF，

∵MG∩MF=M，∴AC⊥平面MFG，则AC⊥FG，

∵EF//AC，∴EF⊥FG，故B正确；

设正方体的棱长为2，取B1C1的中点N，连接EN，由EN/​/AB，得异面直线AB与EG所成角为∠NEG=α，

在直角三角形NEG中，tanα=NGEN<NBEN=52<3，即α<60°，故C错误；

由图可知G到平面EFD1的距离为定值，则三棱锥G−EFD1的体积为定值，故D正确．

故选：12.14

【解析】解：将数据从小到大排序：7，8，9，10，12，13，15，21，共8个，

8∗75%=6，

故该组数据的75%分位数是13+152=14．

故答案为：14．

根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．13.16π3【解析】解：∵在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，

∴点P在平面ABC上的射影为△ABC的外心，又AB=1，∠ACB=π6，

∴△ABC的外接圆的半径r=12sinπ6=1，

∴三棱锥P−ABC的高为22−12=3，设该三棱锥外接球的半径为R，

则(3−R)2+114.79288【解析】解：由题意得甲队在一轮比赛中得2分的概率为P2=12×12×12×3=38，

甲队在一轮比赛中得3分的概率为P3=12×12×12=18，

乙队在一轮比赛中得1分的概率为：

P1′=23×(1−13)×(1−14)+13×(1−23)×(1−14)+14×(1−13)×(1−23)=1736，

乙队在一轮比赛中得2分的概率为：

P2′=23×13×(1−14)+23×(1−13)×14+14×13×(1−15.解：(1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=−1，与圆C相切，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−3=k(x+1)，即kx−y+k+3=0，

则|2k+3|k2+1=2，解得k=−512，所以直线l的方程为5x+12y−31=0．

综上，直线l的方程为x=−1或5x+12y−31=0．

(2)圆C1的方程可化为(x−m)2+(y−1)2=9．

若圆C1与圆C外切，则(m−1)2+1=5【解析】(1)利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；

(2)分内切和外切，结合公式，列式求值．

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．16.解：(1)取BE的中点G，连接AG、FG，因为F为CE中点，

所以GF//BC且GF=12BC，又AD//BC，AD=1，BC=2，

即AD//BC且AD=12BC，

所以AD//GF且AD=GF，

所以四边形ADFG为平行四边形，

所以AG//FD，

又AG⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，所以DF/​/平面EAB．

(2)因为AD⊥AB，AD//BC，所以AB⊥BC，

所以S△BCD=12×2×1=1，

又AE⊥平面ABCD，所以VE−BCD=13×2×1=23，

因为AD⊥AB，AD=AB=1，所以BD=AD2+AB2=2，

由AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，

又【解析】(1)取BE的中点G，连接AG、FG，即可得到四边形ADFG为平行四边形，从而得到AG//FD，即可得证；

(2)利用等体积法求出点到平面的距离．

本题考查线面平行和线面垂直的判定与性质，以及点到平面的距离求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.解：(1)△ABC中，A=π−(B+C)⇒sinA=sin(B+C)，

∵bcosC+3bsinC−a−c=0，

∴由正弦定理得：sinBcosC+3sinBsinC−sin(B+C)−sinC=0，

即sinBcosC+3sinBsinC−(sinBcosC+cosBsinC)−sinC=3sinBsinC−cosBsinC−sinC=0，

又sinC>0，

∴3sinB−cosB=2sin(B−π6)=1⇒sin(B−π6)=12，又B∈(0,π)⇒B−π6∈(−π6,5π6)，

∴B−π6=π【解析】(1)利用正弦定理及两角和与差的三角函数可求得B；

(2)依题意，可求得△ABC中BC边上的高为ℎ=32c，又18.解：(1)由题意得：10×(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，

解得t=0.03，

设第60百分位数为x，

则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x−80)=0.6，

解得x=85，

即第60百分位数为85；

(2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有5×820=2人，设为A、B，

在[80.90)的有5×1220=3人，设为a、b、c，

则样本空间为Ω={(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B、a)，(B,b)，(B,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)}，n(Ω)=10，

设事件M=“C两人分别来自[70,80)和[80,90)”，

则M=(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)}，n(M)=6，

因此P(M)=n(M)n(Ω)=610=35，

所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35；

(3)考核得分在[70,80)内的人数为0.02×10×40=8人，在【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出t的值，再利用百分位数的定义求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解；

(3)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题．19.解：(1)因为A(x,2)，B(1,x)，故d(A,B)=|x−1|+|2