2024-2025学年山东省德州市武城二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省德州市武城二中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=1+i−2i3，则|z|=(

)A.5 B.6 C.102.设x∈R，向量a=(x,1),b=(2,−4)，且a⊥bA.3 B.5 C.9 D.253.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是(

)比赛成绩678910班级数35444A.8.5 B.9 C.9.5 D.104.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若α⊥β，m/​/α，则m⊥β B.若m/​/α，n⊥α，则m⊥n

C.若m⊥n，n⊥α，则m/​/α D.若α/​/β，m⊂α，m/​/n，则n/​/β5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为(

)A.9π B.24π C.28π D.84π6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为(

)A.16 B.13 C.127.在平行四边形ABCD中，BE=2ED，AF=AC+2AB，若A.1 B.2 C.4 D.88.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c+ccosA=3asinC，a=3，b+c=32，则A.324 B.334二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z=−12+A.|z|=1 B.z−在复平面内所对应的点在第二象限

C.z2+z+1=010.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB+bsinA=c，a=210,aA.tanC=2 B.A=π3

C.b=62 11.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，A.EF//GH

B.GH//平面A1EF

C.GHEF=43三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.8，P(B−)=0.6，则P(A)=13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=3c，a=27，则△ABC的面积为______．14.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，BM=λBC，N为AC中点，若AM⋅BN=−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a

假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．

(1)如果a=8，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(2)如果a=16，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．

(1)证明：平面ACC1A1⊥17.(本小题15分)

某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；

(2)若按照分层随机抽样从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90,100]内的概率．18.(本小题15分)

在①b+csinB+sinC=4，②△ABC外接圆面积为4π，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答．

在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC=2sinA，且_____．

(1)求C；

(2)若△ABC的面积为16−819.(本小题17分)

如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD=3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．

(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1

答案解析1.C

【解析】解：z=1+i−2i=1+i+2=3+i，

所以|z|=32+12=102.B

【解析】解：由题意得a⋅b=(x,1)⋅(2,−4)=2x−4=0，解得x=2，

故a+b=(2,1)+(2,−4)=(4,−3)，

所以|a+b|=423.C

【解析】解：因为80%×20=16，

所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是9+102=9.5．

故选：C．

根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可．4.B

【解析】解：对于A，如图，α⊥β，m/​/α，此时m⊂β，故A错误；

对于B，若m/​/α，α面内可以找一条直线c，使得m//c；

而n⊥α，n与α内任意一条直线c都垂直，则n⊥c，则m⊥n.故B正确；

对于C，如图，m⊥n，n⊥α，此时m⊂α，故C错误；

对于D，如图，α/​/β，m⊂α，m/​/n，此时n⊂β，故D错误．

故选：B．

运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．5.C

【解析】解：由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，

得圆台的体积V=13π×4×(12+1×4+42)=28π6.D

【解析】解：因为盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，

从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为P=C21⋅C21C47.D

【解析】解：AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD，

∵AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2(AD8.B

【解析】解：c+ccosA=3asinC，由正弦定理得sinC+sinCcosA=3sinAsinC，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，故1+cosA=3sinA，

即2sin(A−π6)=1，故sin(A−π6)=12，因为A∈(0,π)，

所以A−π6∈(−π6,5π6)，故A−π6=π6，解得A=π9.AC

【解析】解：A：|z|=|−12+32i|=(−12)2+(32)2=1，故A正确；

B：z−=−12−32i在复平面内对应的点(−12,−32)在第三象限，故B错误；

10.AC

【解析】解：由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcosC=absinC，解得tanC=2，故A正确；

由acosB+bsinA=c及正弦定理，可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，

化简可得sinBsinA=cosAsinB．

因为B∈(0,π)，所以sinB>0，所以sinA=cosA，即tanA=1．

因为A∈(0,π)，所以A=π4，故B错误；

因为tanC=2，所以cosC>0且sinC=2cosC，代入sin2C+cos2C=1，

可得5cos2C=1，解得cosC=55，sinC=255．

因为a=210，A=π4，sinC=255，

所以由正弦定理可得c=asinCsinA=210×25522=8，

由a11.ABC

【解析】解：对于A，因为平面A1B1C1//平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG=HG，平面ABC∩平面BCHG=BC，

所以HG//BC，

因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以EF//BC，EFBC=12，

所以EF//GH，所以A正确；

对于B，由选项A可知EF//GH，

因为GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，

所以GH//平面A1EF，所以B正确；

对于C，因为HG//BC，B1C1//BC，

所以HG//B1C1，

因为GH经过△A1B1C1的重心，

所以GHB1C1=23，

因为B1C1=BC，

所以GHBC=23，

因为EFBC=12，

所以GHEF=43，所以C正确；

对于D，因为FC=12AC，12.0.4

【解析】解：∵事件A和B互斥，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，

又P(B−)=0.6，∴P(B)=1−P(B−)=1−0.6=0.4，

∴P(A)=0.8−P(B)=0.4．

故答案为：13.3【解析】解：∵b=3c，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA，A=π3，a=27，

∴28=9c2+c2−314.23【解析】解：∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，

∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cos120°=3×2×(−12)=−3，

∵N为AC中点，

∴BN=AN−AB=12AC−AB，

AM=AB+BM15.解：(1)当a=8时，从X，Y两组随机各选1人，

样本空间Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25种，

甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8种，

所以概率为825．

(2)当a=16时，P(M)=15，

事件N的情况有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4种，则P(N)=425

事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为(11,14)，则P(MN)=125，

因此P(M)P(N)=1【解析】(1)利用列举法求出古典概率即得结果．

(2)利用列举法求出概率，再利用相互独立事件的定义判断即得．

本题考查古典概型以及相互独立事件的定义等相关知识，属于基础题．16.解：(1)∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，

∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，

∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；

(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，

∴BC⊥AC，BC⊥A1C，

∵AB=A1B，BC=BC，

∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，

∴A1C=AC，

∵A1C⊥底面ABC，【解析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；

(2)利用已知可得A1C=AC，进而可得A117.解：(1)由频率分布直方图，得10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1，解得a=0.020，

成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.05，0.3，0.35，0.2，0.1，

显然本次竞赛成绩的中位数m∈(70,80)，则0.35+(m−70)×0.035=0.5，解得m≈74.3，

本次竞赛成绩的平均数为x−=55×0.05+65×0.3+75×0.35+85×0.2+95×0.1=75，

所以a=0.020，中位数约为74.3，平均数约为75．

(2)由(1)知，成绩在[80,90)，[90,100]的频率之比为0.2：0.1=2：1，

则在[80,90)中随机抽取6×23=4人，记为1，2，3，4，在[90,100]中随机抽取6×13=2人，记为a，b，

从6人中随机抽取2人的样本空间为Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab}，共15个样本点，

设事件A=“至少有1人的成绩在[90,100]内”，则A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}，有9个样本点，

因此P(A)=915【解析】(1)利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1

求出a的值，再估计中位数和平均数．

(2)求出抽取的6人中在[80,90)，[90,100]的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得．

本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.解：(1)由asinC=2sinA得2sinC=asinA，

若选①，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得asinA=b+csinB+sinC=4，

所以2sinC=4，则sinC=12，又因为C∈(0,π2)，故C=π6；

若选②△ABC外接圆半径R=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=4，

所以2sinC=4，则sinC=1