初中数学复习：线段、射线、直线

4.1线段、射线、直线

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系

★

与区别

结合图形理解两点之间距离的概念；会比较两条线段

★

直线、射的大小，并能进行与线段有关的计算

线与线段会尺规作图：做一条线段等于已知线段★★

会用线段中点的知识解决简单问题，结合图形认识线

★★

段之间的数量关系

会运用两点之间的距离解决有关问题★★★

二、核心纲要

1.两个重要公理

①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”.

②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”.

2.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离.

3.直线、射线、线段的主要区别

类型乂而点延长线及反向延长线用两个大写字母表示

直线0个无无顺序

射线1个有反向延长线第一个字母表示端点

线段2个两者都有无顺序

4.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.

5.数线段方法

--------------------------------

A\A1A3

如果一条直线上有n个点，含有（n-1）条基本线段（把相邻两点间的线段叫做基本线段）,直线上的线段条数为：

（几-1）+（几-2）+…+3+2+1=吗7（条）.

6.线段长短比较方法

⑴叠合法：比较两条线段AB、CD的长短，可把它们移到同一条直线上,如下图所示：使一个端点A和C重

合，另一个端点B和D落在直线上点A（或点C）的同侧，①若点B、D重合，则.4B=CD;

②若点D在线段AB上，则AB>CD-,

③若点D在线段AB外，则.AB<CD.

（O（f）

ABA{C}DBA（C）BD

（2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小关系和它们长度的

大小关系是一致的.

本节重点讲解：两个概念（两点间的距离、线段的中点），两个公理，两种方法（数线段方法和线段长短的比较

方法）.

三、全能突破

基础演练

1.下列说法中正确的有（）个

①钢笔可看做线段②探照灯光线可看做射线③笔直的高速公路可近似看做一条直线④电线杆可看做线段

A.lB.2C.3D.4

2.若点C是线段AB的中点，则下列结论中错误的是（）

1

A.AC=BCB.AB=2ACC.AC=2ABD.BC=-AB

3.如图4-2-1所示，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的依据是（）

A.两点之间，直线最短人

B.两点确定一条直线//福、

c.两点之间，线段最短»

D.两点确定一条线段

4.点0是线段AB的中点,AB=14m,点P在直线AB上,AP:PB=4:3,则线段0P的长为（）m三多片

A.lB.49图421

C.1或49D.2或49

5.根据直线、射线、线段各自的性质，如下图所示，能够相交的是（）

6.如图4-2-2所示，根据要求作图：

（1）作线段AB;

⑵作射线AC;

（3）作直线BC.

⑷在直线BC上取异于B、C的两点D、E,数出图中的线段个数.

图4-2-2

能力提升

7.对于线段的中点，有以下几种说法：①因为AM=MB,所以M是AB的中点；②若AM=MB=豺8,则M

是AB的中点；③若AM="8,则M是AB的中点;④若A,M,B在一条直线上，且AM=MB，则M是AB的中点以

上说法正确的是（）

A.①②③B.①③C.②④D.以上结论都不对

8.A火车站与B火车站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排（）种车票

A.4B.20C.10D.9

9.如图4-2-3所示.在数轴上有A、B、C、D、E五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE,若

A,E两点表示的数分别为3和12,那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数

是（）

—•-------------------------•----------------•-----------•-------•------------------*>

ABCDE

图4-2-3

A.-2B.-lC.OD.2

10.如图4-2-4所示，已知B是线段AC上一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q为M

A的中点，则MN:PQ等于（）

C.3D.4

11.如果平面上M、N两点的距离是15cm,在该平面上有一点P与M、N两点间的距富声口蜂于23cm,那么

下面结论正确的是（）

A.P点在线段MN上B.P点在直线MN上

C.P点在直线MN外D.P点可能在直线MN上,也可能在直线MN外

12.5条直线将一个矩形最少可以分为一部分，最多可以分为一部分.n条直线最多可以将一个矩形分为—

一部分.

13.如图4-2-5所示，一工作流程线上有6位工人，他们的工作位置分别是A、B、C、D、E、F,现要在这六

个位置之一设置一个工具箱，使工人取工具所花费的总时间最少.那么这个工具箱应放置在—的位置.

ABCDEF

图4-2-5

14如图426所示，在平整的地面上放有一个正方体，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B,问蚂蚁有几

条最短路线？它应怎样确定爬行路线？

图4-2-6

15.（1）平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？

（2）平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？

16.(1)平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个?

⑵平面内两两相交的n条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？

17.点M、N在线段AB上,A\M-.MB=5:U,AN:NB=5:7,MN=1.5,求AB的长度.

18.如图4-2-7所示，把一根绳子对折成线段AB,从点P处把绳子剪断，已知AP-.BP=2:3,,若剪断后的各

段绳子中最长的一段为60cm,求绳子的原长.

I1I

APB

图4-2-7

19.同一直线上有A、B、C、D四点，已知4。.CB且CD=4cm,求AB的长.

20.已知线段AB=m,CD=n,,线段CD在直线AB上运动(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)，若|m—2

n|与(6-几尸互为相反数.

(1)求线段AB,CD的长度.

⑵若M,N分别是AC,BD的中点，且BC=4,求MN.

(3)当CD运动到某一时刻，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：

号券是定值•胃是定值，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值.

21.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上.一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回

到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图4-2-8所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）

图4-2-8

22.某班50名同学分别站在公路的A,B两点处，如图4-2-9所示,A,B两点相距1000m,A处有30人,B处有20人,

要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（）

A.A点处B.线段AB的中点处

C.线段AB上，距A点等小处D.线段AB上，距A点400m处，---------->—

图4-2-9

巅峰突破

23.如图4210所示,已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c（a屈均不为0）,氏C星些的中点期果a+计

a-2c|+|b-2ck-|a+b-2c|=0,那么原点O的位置在（）。c6

A.线段AC上B.线段CA的延长线上图421。

C.线段BC上D.线段CB的延长线上

24.如图4-2-11所示,B、C、D依次是线段AE上三点，已知AE=8.9,DB=3,则图中所有线段长度之和是多少？

ABCDE

图4-2-11

25.如图4-2-12所示，A是直线上的一个点，请你在A点的右侧每隔1厘米取一个点，共取三个点，那么，

（1）用B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上，一共有一种不同标法；

（2）在每种标法中，AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别是多少？

A

图4-2-12

基础演练

l.D;2.C;3.C;4.C;5.B

6.⑴⑵⑶如图

⑷共有8条线段

能力提升

7.C

8.B

【提示】将车站看成线段，不要忘了往返车票.

9.B

【提示】AE=25,

-AE=12.5.

2

・•・AE的中点所表示的数是-05

,.*AB=2BC=3CD=4DE,

・••设AB=12x,BC=6x,CD=4x,DE=3x.

TAB+BC+CD+DE=AE,

12x+6x+4x+3x=25.

x=l.

AB=12,BC=6,CD=4,DE=3.

•••这5个点的坐标分别是-13,-1,5,9,12.

...在上面的5个点中，距离-0.5最近的整数是-1.

10.B

【提示】设AQ=x,Ji!!!MQ=x,MB=2x.

AP=y,贝!]NP=y,MN=AN-AM=2y-2x=2(y-x)

PQ=AP-AQ=y-x,.\MN:PQ=2

11.D

12.6;16;1+也罗

【提示】矩形其实就是平面.

13.C或D

14.4条最短路线

【提示】把正方体有A、B点的两个面展开，根据两点之间，线路最短，只要连接AB即可，共6条.但底面

行不通，故应减去两条.

15。)1条或3条.

(2)如下图(a),当四点在同一条直线上时，只能画一条直线.

如下图(b),当三点在同一条直线上时，而另一点却不在这条直线上可以画四条直线.

如下图(c),当任何三点不共线时，可以画6条直线.

【提示】本题点的位置不确定，所以需要分类讨论.

16.(1)1,15;(2)1,空尸

【提示】当n条直线两两相交于同一点时，交点个数最少为1.当任意三条直线不共点时，交点个数最多，从

中发现规律，平面内n条直线两两相交最多有：1+2+…+(n-1)=吆尸个交点，那么平面内两两相交的6

条直线最多有15个交点.

17.如图:B

设AB=x，因为AM:MB=5:11,且AM+MB=AB=x，所以AM=三与同理:AN:NB=5:7,所以AN=三居MN=AN-

1612

AM,得久一亮光=15.所以x=14.4,gpAB=14.4.

18.设AP=2x,贝!]BP=3x.

⑴若A是绳子的对折点，则最长一段为2AP=60,解得AP=30.

1II

APB

由AP=2x,可得x=15,BP=3x=45.

绳子的原长为2(AP+PB)=2x(30+45)=150cm.

⑵若B是绳子的对折点，则最长一段为2BP=60,解得BP=30.

由BP=3x,可得x=10,AP=2x=20.

绳子的原长为2(AP+BP)=2x(20+30)=100cm.

综上所述,绳子的原长为150cm或100cm.

19.AD=-DBnAD:DB=5:9

9

g

AC=-CBAC\CB=9:5

5

先来看第一个条件AD=\DB^AD-.DB=5：9,由此我们可画得两种情况：

⑴HDB

⑵。AB

然后来看条件AC=1CB=>AC-CB=9:5

由⑴可以得到两种情况

ADc8B,此时AB的长是14cm.

'—*«'C.此时AB的长是詈cm.

由(2)可以得到两种情况：

DACVAB的长是詈皿

DABCAB的长是畀血

综上：AB的长为14cm||3cm号cm

20.(1)由题意得:m=12,n=6.所以AB=12,CD=6.

(2)①当点C在线段AB上时,如图：

AMCBND

MN=BM+BN=AB-AM+-BD=AB--AC+-BD=12-4+1=9.

222

②当点C在AB的延长线上时，如图：

AMBCND

MN=BM+BN=AB-AM+-BD=AB--AC+-BD=-(AB+CD)=9.

2222、y

综上所述，MN的长为9.

(3)①是正确的.当点D、B重合时，如图：

ACB(D)P

VCD=6,AB=12,

・•・CD=-AB.

2

.••点C是AB的中点.

-I

即BC=AC=^AB=6,

・'•PC=BC+PB=6+PB,PA+PB=AB+PB+PB=12+2PB

.P4+PB_12+2PB_2(6+PB)_?

"PC-6+PB-6+PB-'

中考链接

21.D

22.A

【提示】设集合地点应选在距离A点x米处，