2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正数a，b，满足a+b=2，则ab有(

)A.最小值1 B.最小值2 C.最大值2 D.2.下列命题是全称量词命题的是(

)A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是360°

C.至少有一个整数x，使得x2+3x是质数 D.∃x∈R3.下列对象能构成集合的是(

)A.我国近代著名的数学家 B.2的所有近似值

C.所有的欧盟成员国 D.20234.设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x−6=0}，则图中阴影表示的集合为(

)A.{2} B.{3} C.{−3,2} D.{−2,3}5.由实数x，−x，|x|，−x2，3xA.2 B.3 C.4 D.56.下列说法正确的是(

)A.ac=bc是a=b的充分条件

B.x≥1是x2≥1的必要条件

C.四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件

D.“1<x<3“是“7.已知集合A={x|2x>4}，集合B={x|x<a}，若A∪B=R，则实数a的取值范围为A.(−∞,4) B.(1,+∞) C.(−∞,2) D.(2,+∞)8.对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是(

)A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素

C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的有(

)A.空集是任何集合的真子集

B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆C

C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集

D.如果不属于B的元素一定不属于A，则A⊆B10.下列不等式中成立的是(

)A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2

C.若11.若“∃x∈M，x<0”为真命题，“∃x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是(

)A.{x|x<1} B.{x|−1≤x≤4} C.{x|0≤x<3} D.{x|−4<x<4}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=

，A∪(∁13.含有3个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}14.“一元二次方程(x−a)(x−a−1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a>0，b>0，求证：a+b+1≥ab+16.(本小题15分)

已知全集为R，集合A={x|0<2x+a≤3}，B={x|−12<x<2}．

(1)当a=1时，求A∪B−；

(2)若17.(本小题15分)

已知集合A={x∈R|ax2−3x−4=0}．

(1)若1∈A，求集合A(用列举法表示)；

(2)若A中至多有一个元素，求实数18.(本小题17分)

已知集合A=[2a+1,3a−5]，B=[3,22]．

(1)当a=10时，求A∩B，A∪B；

(2)求能使A∩B=A成立的实数a的取值范围．19.(本小题17分)

甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1s，t2s.甲有一半的时间以mm/s的速度行走，另一半的时间以nm/s的速度行走；乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走，且m≠n．

(1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间t1和t2；

(2)比较t1与答案解析1.D

【解析】解：∵正数a，b满足a+b=2，

∴2=a+b≥2ab，化为ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．

∴ab的最大值是1．2.B

【解析】解：选项A，C，D中，分别有“存在”，“至少”，“∃”这样的特称量词，

所以选项A，C，D都为特称命题，

选项B：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题，

故选：B．

根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解．

本题考查了全称命题与特称命题的定义，属于基础题．3.C

【解析】解：A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合；

C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合．

故选：C．

根据集合的性质的判断即可．

本题主要考查了集合元素的确定性的应用，属于基础题．4.A

【解析】解：题图中阴影部分表示为A∩B，

因为A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合B={−3,2}，

所以A∩B={2}．

故选A

先根据Venn图表达集合的关系，然后分别求出集合A和集合B，最后根据集合交集的定义求出A∩B即可．

本题主要考查了Venn图表达集合的关系，以及集合交集的运算，属于基础题．5.A

【解析】解：由题意可知−x2=−|x|，3x3=x且|x|=±x，

所以以实数x，−x，|x|，−x2，6.D

【解析】解：对于A，若ac=bc，当c=0时，a与b不一定相等，故A错误，

对于B，若x2≥1，则x≤−1或x≥1，故B错误，

对于C，四边形对角线互相垂直不一定是菱形，但菱形的对角线一定互相垂直，故C错，

对于D，“1<x<3“所表示的集合是“x≥0”所表示的集合的真子集，故“1<x<3“是“x≥0”的充分不必要条件，故D正确．

故选：D．

根据充分条件、必要条件的定义可解．7.D

【解析】解：∵A={x|x>2}，B={x|x<a}，且A∪B=R，

∴a>2，

∴a的取值范围为：(2,+∞)．

故选：D．

可求出集合A，然后根据集合B及A∪B=R即可求出a的取值范围．

本题考查了指数函数的单调性，集合的描述法和区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.C

【解析】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，

∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，

故选：C．

“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．

本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．9.BD

【解析】解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；

子集具有传递性，故选项B正确；

若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；

由韦恩图易知选项D正确．

故选：BD．

根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否．

本题考查了空集的定义，真子集的性质以及韦恩图，属于基础题．10.BD

【解析】解：对于A，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；

对于B，因为a>b>0，则a+b>0，a−b>0，

所以a2−b2=(a+b)(a−b)>0，即a2>b2，故B正确；

对于C，取a=−2，b=−1，满足a<b<0，但a2=4>2=ab，故C错误；

对于D，因为a<b<0，所以b−a>0，ab>0，11.AD

【解析】解：依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，

则集合{x|x<1}和{x|−4<x<4}均符合题意．

故选：AD．

依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，即可判断．

本题考查命题真假的判定，注意存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．12.{x|2≤x≤3}

；；{x|−2<x≤3}

【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤−2}，

∴∁UB={x|−2<x<2}，

∴A∩B={x|2≤x≤3}，A∪(∁UB)={x|−2<x≤3}．

故答案为：{x|2≤x≤3}，{x|−2<x≤3}13.−1

【解析】解：∵{a,ba,1}={a2,a+b,0}，

显然a≠0，∴ba=0，

∴b=0，

此时{a,0,1}={a2,a,0}，

∴a2=1，且a≠114.{a|−12<a<0}(【解析】解：一元二次方程(x−a)(x−a−1)=0的两个根为a，a+1，

∵有一个正实数根和一个负实数根，

∴a<0a+1>0，∴−1<a<0，

∵(−12,0)⫋(−1,0)，

∴一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是{a|−12<a<0}(不唯一)．

故答案为：15.证明：知a>0，b>0，由柯西不等式可得(a+b+1)(b+1+a)≥(ab+a+b)2，

当且仅当ab【解析】直接根据柯西不等式即可证明．

本题考查了柯西不等式的应用，属于中档题．16.解：(1)a=1时，A={x|−12<x≤1}，且B−={x|x≤−12或x≥2}，

∴A∪B−={x|x≤1或x≥2}；

(2)A={x|−a2<x≤3−a2}【解析】(1)a=1时，可得出集合A，然后进行并集的运算即可；

(2)可得出A={x|−a2<x≤3−a2}，根据A∩B=A可得出A⊆B，从而得出17.解：(1)∵1∈A，

∴a−3−4=0，解得a=7，

∴7x2−3x−4=0⇒x=1或x=−47，

∴A={1,−47}，

(2)当a=0时，方程为−3x−4=0，

∴集合A={−43}；

当a≠0时，若关于x的方程ax2−3x−4=0有两个相等的实数根，

则A也只有一个元素，此时a=−916；

若关于x【解析】(1)通过1∈A，求出a，进而求解结论；

(2)通过讨论当a=0时，当a≠0时的情况，结合二次函数的性质求出实数a的取值范围．

本题考查实数a的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．18.解：(1)当a=10时，集合A=[21,25]，

所以A∩B=[21,22]，A∪B=[3,25]；

(2)由A∩B=A，可知A⊆B，

则2a+1≥33a−5≤222a+1≤3a−5，解得6≤a≤9，

故实数a的取值范围为[6,9]【解析】(1)当a=10时，求出集合A，进而可以求解；

(2)由题可知A⊆B，然后根据子集的定义建立不等式关系，即可求解．

本题考查了集合的包含关系，涉及到不等式的求解以及交集和并集的应用，考查了学