2024-2025学年人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元综合测试卷（含答案）

第二十一章一元二次方程（单元培优卷人教版）

考试时间：120分钟，满分：120分

-、选择题:共10题，每题3分，共30分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.劣+2夕=1B.x=2x3—1C.3rc+—=0D.x2—2=0

2.方程2/—6/-9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

A.6、2、9B.2、-6、-9C.2、-6、9D.—2、6、9

3.一元二次方程比2+21一3=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

4.若一元二次方程（x+a）2=b（a,b为常数），化成一般形式为①2—8必—5=0,则a,b的值分别是

（）

A.-4,11B.-4,21C.4,21D.-8,69

5.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快

递业务量为100万件,2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方

程中，正确的是（）

A.100（1+2x）=144B.100（1+T）2=144C.100（1+T2）=144D.100（1+2a;）2=144

2

6.已知关于力的一元二次方程/2—（Z/n—DN+m：。有实数根，则7n的取值范围是（）

A.m^OB.mW；D.m>^~

4C.m<44

7.用配方法解关于T的方程x2+px+q=Q^,此方程可变形为：（)

2

A?^P_/—4q

-)B•(①+会

'~4’4

p2+4q

C.卜+今）|2D-(x+f)j4q—/

8.已知Q也c为常数，点A（Q,C）在第二象限，点8（0,b）在g轴的正半轴上，则关于力的方程Q/+

（6—1）力+c=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

9.已知实数x,y满足4/—2+4成+d=1，设M=x+y，则M的最大值是（）

10.有两个正方形4现将B放在A的内部如图①;再将48无缝隙且无重叠放置后构造新的正方

形如图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7,则图②所示的大正方形的面积为（）

•1•

图②

A.14B.15C.16D.17

二、填空题:共6题，每题3分，共18分。

11.一元二次方程3x2-4$+1=0根的判别式62-4ac的值为.

12.若关于x的一元二次方程a?+2立+a—5=0的一个根是1,则a的值是.

13.《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽

各是多少？如果设门的宽为立尺,根据题意,那么可列方程.

14.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程*2_6c+□=0.若“□”表示一个字母,且一元二次方程T2-

62+口=0有实数根,贝□”的最大值为.

15.如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程/_6力+8=0的一个根，则m的值为.

16.已知a¥b,且满足2a?—5a+1=0,2&2—5b+1=0,那么—+~~的值为.

ab------

三、解答题:共9题，共72分,其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10

分，第24-25题每小题12分。

17.（4分）解方程：

（1）3+2）2-25=0；（2）*2—如+3=0.

18.（6分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）3/—1=2x；

（2）JC（X-2）=4a?—3x；

（3）关于2的方程ma?—nrr+mrc+7ic2=q—p（rn+?7,¥0）.

•2•

19.（6分）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于力的方程x2-mx+^-^-=0的两个实数

根.

①7n=2时，求△ABC的周长；

②当△ABC为等边三角形时，求小的值.

20.（6分）“城是济南城，湖是大明湖,楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词.随旅游旺季的到来,大

明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人

次.

（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

（2）若增长率保持不变,请求出7月份的游客人数.

21.（6分）已知关于宏的一元二次方程/+尻一3=0.

（1）求证:方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是1,求方程的另一个根和b的值分别是多少？

•3•

22.（10分）已知关于a;的一元二次方程S2-2（fc-l）T+fc2+3=0,

（1）若该方程有一个根是—2,求k的值.

（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围.

（3）若该方程的两个实数根如①2满足（为一1）（g-1）=14,求％的值.

23.（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语

直播,风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情.已知这本书的成本价为10元,规定销售单价不低

于成本价，且不高于成本价的3倍,通过前几天的销售发现，该书每天的销售量夕（本）与销售单价

以元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：

2（元/本）1525

式本）600400

（1）直接写出“关于2的函数关系式；

（2）若销售该书每天的利润为5000元,求该书的销售单价;

（3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由.

-4■

24.（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用,更多的考查阅读理解能力、

应变能力和创新能力.

定义:方程c/+be+a=0是一元二次方程a/+就+。=0的倒方程，其中a、b、c均不为0.请根据

此定义解决下列问题：

（1）方程-12/一田+1=0的倒方程是.

（2）若，=5是/—32+c=0的倒方程的解，求出c的值；

（3）若小，乃是一元二次方程/—5c—1=0的倒方程的两个不相等的实数根,求代数式2n2-mn-

10m的值.

25.（12分）如图，在电/"LBC中，ZC=90°,AC=8m,BC=6m,点P由。点出发以2m/s的速度向终

点A匀速移动，同时点Q由点口出发以lm/s的速度向终点。匀速移动，当一个点到达终点时另一

个点也随之停止移动.

（1）当点P移动时间为2秒时，APCQ的面积为多少？

（2）点P移动多少秒时，AFCQ的面积为8m2?

（3）在点P、Q的运动过程中，△PCQ的面积是否会达到10m2?为什么？

•5•

第二十一章一元二次方程（单元培优卷人教版）

考试时间：120分钟，满分：120分

-、选择题:共10题，每题3分，共30分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.田+20=1B.x=2x3—1C.3rc+—=0D.x2—2=0

【答案】。

【详解】解：4.①+2,=1,该方程含有2个未知数且未知数的最高次数是1,故此选项不符合题意；

B.T=2X3-1,该方程中的未知数的最高次数是3,故此选项不符合题意；

C.3a;+工=0,该方程中的分母含有未知数,故此选项不符合题意；

X

D.2=0,该方程是一元二次方程，故此选项符合题意.

故选：。.

2.方程2d—64—9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.6、2、9B.2、-6、一9C.2、-6、9D.-2、6、9

【答案】8

【详解】解：方程2t2—6a;—9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、—6、-9,

故选：

3.一元二次方程/+2c—3=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

［详解】：①2+2必—3=0,

A=62—4ac=22—4x1x（—3）=16>0,

方程有两个不相等的实数根，

故选4

4.若一元二次方程（x+a）2=b（a,b为常数），化成一般形式为/一8刀—5=0,则a,b的值分别是

（）

A.-4,11B.-4,21C.4,21D.-8,69

【答案】口

【详解】解：（c+a）2=b,

贝Ix2+2ax+a2=b,

/.x1+2ax+a2—b=0,

由题意得：2a=—8,a,2—b=—5,

解得：a=—4,fe=21,

故选：B.

5.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快

递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为了，则下列方

•1•

程中，正确的是()

A.100(1+2x)=144B.100(1+s)2=144C.100(1+/)=144D.100(1+2a;)2=144

【答案】B

【详解】解：由题意得：

100(1+02=144,

故选：B.

6.已知关于刀的一元二次方程62一(2小一1)①+巾2=。有实数根，则小的取值范围是()

A.m#0B.?71<二C.D.m>

444

【答案】8

【详解】解：：关于①的一■元二次方程a?—(2m—l)x+m2=0有实数根，

A=[—(2m—I)]2—4加>0,

4m2—4m+1—4m2>0,

...m々W丁1,

4

故选：B.

7.用配方法解关于土的方程"+"c+g=0时，此方程可变形为()

2

B.卜+京pjq

A(―1~4

2

C.卜+药=?Dx+,2_4g-p

-(f)L4

【答案】8

【详解】解：/+p①+q=0

(,p\2p2~^q

故选：B.

2

8.已知a,b,c为常数，点A(a,c)在第二象限，点B(0,b)在y轴的正半轴上，则关于T的方程ax+

(6—1)宓+。=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【答案】A

【详解】解：•.•点A(a,c)在第二象限，点B(0,b)在沙轴的正半轴上,

a(0,b)0,c>0,

(b—l)2>0,ac(0,-4ac)0

A=(b—l)2—4ac=(b-l)2+(一4ac)>0,

/.方程有两个不相等的实数根，

•2•

故选A

9.已知实数了,9满足4/—2+4磔/+才=1,设M=；r+u,则Al的最大值是()

A.――B.3C.D.1

5416

【答案】B

【详解】解:\"4X2—X+4xy+y2=l,

(2x+y)2=x+1,

2x+y=±Va;+l,

：.x+y=±Vrr+1—x,

设A/C+1=a，则x=a2—1,

则①+g=±a-(a2—1)=一(a±｝『+亭

r.c+y的最大值为

即加•的最大值为

故选：B.

10.有两个正方形人，现将口放在人的内部如图①;再将A,B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方

形如图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7,则图②所示的大正方形的面积为()

A.14B.15C.16D.17

【答案】3

【详解】解:设正方形B的边长为a,其中a>0,

•.•将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1,

/.阴影部分为正方形，且边长为1,

/.图①中大正方形的边长为a+1,

即正方形人的边长为a+1,

又•.•将A,B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：

图②中大正方形的边长为：a+a+l=2a+1,

图②中阴影部分的面积为7,

/.(2a+l)2-a2-(a+iy=7,

整理得：2a2+2a—7=0,

解得：的=三萨瓦，a2=<0(不合题意，舍去)，

/.图②中大正方形的边长为：2a+l=2x—1彳画+1=U

图②中大正方形的面积为15.

•3・

故选：B.

二、填空题:共6题，每题3分，共18分。

11.一元二次方程3/-4/+1=0根的判别式/一4ac的值为.

【答案】4

【详解】解：•••a=3,b=—4,c=l,

/.62-4ac=(-4)2-4x3xl=4,

故答案为：4.

12.若关于s的一元二次方程x2+2x+a-5=0的一个根是1,则a的值是.

【答案】2

【详解】解:把工=1代入/+2a;+a—5=0得l+2+a—5=0,

解得a=2,

故答案为：2.

13.《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽

各是多少？如果设门的宽为力尺,根据题意,那么可列方程.

【答案】/+3+6)2=102

【详解】解:依题得：门的宽为①尺，高为c+6尺，

•.•门为矩形，

.•.有宽2+高2=对角线2,

即/+(2+6)2=102.

故答案为：/+(①+6)2=102.

22

14.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程X-6X+D=0.若“□”表示一个字母,且一元二次方程x-

62+口=0有实数根，则“□”的最大值为.

【答案】9

【详解】解：设□中为

一元二次方程a?—61+口=0有实数根，

/.A=(―6)2—4xlxm=36—4m>0,

解得：77149,

的最大值为9,

故答案为：9.

15.如图，等腰三角形的底边长为6,它的腰长为方程a?_6①+8=0的一个根，则m的值为.

【答案】4

【详解】解：(①一2)(必一4)=0,

工一2=0或6—4=0,

3=2,g=4,

-4■

v2+2<6,

g=2不合题意，舍去，

m=4,

故答案：4.

16.已知a丰b,且满足2Q2—5Q+1=0,262—5b+1=0,那么—+牛的值为.

ab---------

【答案】号

【详解】解：•••a¥b,且满足2a2—5a+l=0,2b2-5fe+l=0,

.•.a、b为方程2/—52+1=0的两个实数根，

：.a+b=~,ab=^-,

._L2=+1=（a+b）2—2就=（He=2

*ababab.L2

2

故答案为：

三、解答题:共9题，共72分,其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10

分，第24-25题每小题12分。

17.（4分）解方程：

（1）（X+2）2-25=0；（2）疗—4c+3=0.

【答案】⑴①=3或2=—7

（2）c=1或t=3

【详解】（1）解：3+2）2=25

x+2=±5

.,・/+2=5或力+2=—5

：.x=3或/=—7;

⑵（2—1）（2—3）=0

-1=0或/-3=0

力=1或力=3・

18.（6分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）3/—l=2x；

⑵2（6—2）=4/2—36；

（3）关于x的方程me?—nx+mx+nx—q—p（m+nW0）.

【答案】（1）3/—2/一1=0,二次项系数为3,一次项系数为一2,常数项为一1

（2）3/—力=0,二次项系数为3,一次项系数为一1,常数项为0

（3）（m+n）/+（m—n）x+p—q=0,二次项系数为（m+n）,一次项系数为（m—n）,常数项为

（P-Q）

【详解】（1）解：3/_1=2/

移项，得3/—2力一1=0.

二次项系数为3,一次项系数为一2,常数项为一1.

•5・

⑵力（力—2）=4a?—3N,

去括号，得a?—2/=4/2—3力；

移项、合并同类项，得—3力?+力=0,

整理，得3X2—X=0.

二次项系数为3,一次项系数为一1,常数项为0.

（3）mrc2—nx+mx+nx2=q—^（m+n^O）

移项、合并同类项，得（m+n）x2+（m—n）x+p—q=0.

二次项系数为（m+n）,一次项系数为（nz—n）,常数项为（p—q）.

19.（6分）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2-mx+^-^=0的两个实数

根.

①772=2时，求△ABC的周长；

②当△ABC为等边三角形时，求小的值.

【答案】①/；②小=1

【详解】解：①771=2时，原方程为：/2—2力+~|~=0

解方程得：21==

当等腰三南形ABC的三边长为：U日时，

ZZZ

..X,X/A

・2+2<2^

此种情况不成立；

/.等腰三南形ABC的三边长为：

/.ZVIBC的周长=/+|~+'=；

②•••△ABC为等边三角形，

关于X的方程/—7712；+号—+=°有两个相等是实数根，

A=（-771）2—4X（卷—十）=0

解得:m=1

20.（6分）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词.随旅游旺季的到来，大

明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人

次.

（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

（2）若增长率保持不变,请求出7月份的游客人数.

【答案】（1）25%

（2）31.25万人

【详解】（1）解:设月平均增长率为T

由题意可得163+1）2=25

解得g=0.25,电=-2.25（不合题意，舍去）

-6-

答:这两个月平均增长率为25%.

（2）25x（1+25%）=31.25（万人）

答：7月份的游客人数为31.25万人.

21.（6分）已知关于x的一元二次方程x2+bx—3=0.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是1,求方程的另一个根和b的值分别是多少？

【答案】（1）见解析

⑵b=2,另一个根为x=-3

【详解】（1）解：A=b2—4ac=b2—4xl义（-3）=/+12,

•/

/.A=62+12>12>0,

/.方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为力，则

1-x=—=—3,解得x=—3,

a

故该方程的另一个根为x=—3,

1+（-3）=-1,

：.b=2.

22.（10分）已知关于力的一元二次方程力2一2①—1）/+1+3=0,

⑴若该方程有一个根是一2,求力的值.

（2）若该方程有两个实数根,求k的取值范围.

（3）若该方程的两个实数根判以2满足（©—1）（g—1）=14,求k的值.

【答案】⑴力=—3或k=—1

（2）fc<-l

（3）fc=—2

【详解】⑴解:把力=—2代入方程得：（一2）2—2（k—1）・（-2）+1+3=0,

解得:k=—3或k=—1;

（2）由题意，得：△=[—2（fc—1）]2—4（后+3）>0,

解得：1;

（3）由题意，得:Ci+g=2（k—1）,力162=/+3,

（61-1）（力2—1）=/1/2—（61+力2）+1

=昭+3—2（fc—1）+1

=昭—2k+6

=14,

解得：k=—2或k=4（不合题意,舍去）

k=—2.

23.（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语

直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低

于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量g（本）与销售单价

•7•

M元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表:

2（元/本）1525

夕（本）600400

（1）直接写出夕关于力的函数关系式；

（2）若销售该书每天的利润为5000元,求该书的销售单价;

（3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由.

【答案】（1）夕=-20x+900（10<T<30）

⑵20元

⑶销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析

【详解】（1）解:设u关于t的函数关系式为y=kx+b（k¥0）,

根据题意得:愣二嫖二

解得:ko'

•.•规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，

10W①W30,

/.y关于立的函数关系式为y=—20①+900（10WrcW30）;

⑵解:根据题意得：3—10）沙=5000,即，3—10）（—20比+900）=5000,

整理得：Q-20）（/一35）=0,

解得:曲=20,*2=35（舍）,

答:该书的销售单价为20元；

⑶解：根据题意得：（/一10）4=8000,即，（1-10）（-202+900）=8000,

整理得：/—55刀+850=0,

vA=b2-4ac=（-55）2-4xlx850=-375<0,

原方程无解，

/.销售该书每天的利润不能达到8000元.

24.（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、

应变能力和创新能力.

定义:方程c/2+就+a=0是一元二次方程g匕就+。=0的倒方程，其中a、b、c均不为0.