江苏省南京市某中学2024年中考四模数学试题（含解析）

江苏省南京市上元中学2024年中考四模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在四边形ABCD中，NA=120。，ZC=80°.将ABMN沿着MN翻折，得到△FMN.若MF〃AD,FN/7DC,

则NF的度数为（）

2.将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若/1=40。则N2的度数为（）

4.某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（）

A.0.69x106B.6.9x107C.69x108D.6.9xl07

5.最小的正整数是（）

A.0B.1C.-1D.不存在

6.下列计算正确的是（）

A.2m+3n=5mnB.m2»m3=m6C.m8-rm6=m2D.（-m）3=m3

7.点A（4,3）经过某种图形变化后得到点B（-3,4）,这种图形变化可以是（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90D.绕原点顺时针旋转90

8.某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列

结论正确的是（）

项

运

乒

羽

王=

球

竺

乓

毛

球

球

A.最喜欢篮球的人数最多B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍

C.全班共有50名学生D.最喜欢田径的人数占总人数的10%

9.如图，已知/1=/2,要使AABD之4ACD,需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）

A.ZADB=ZADCB.ZB=ZCC.AB=ACD.DB=DC

3

10.若分式一；在实数范围内有意义，则实数》的取值范围是（）

%+1

A.x>—1B.x<—1C.x——1D.x—1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在DABCD中，AC与BD交于点M,点F在AD上，AF=6cm,BF=12cm,ZFBM=ZCBM,点E是

BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB

向点B运动.点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动.当点P运动秒时，以点P、Q、E、F为顶点

12.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3,-1）和（-3,1）,那么“卒”

的坐标为.

13.若二次根式JIZ五有意义，则x的取值范围为

14.如图，CB=CA,/ACB=90。，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGLCA,

交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG；②SAFAB：S四娜CBFG=1：2；③NABC=NABF；

@AD2=FQ«AC,其中正确的结论的个数是

16.如图，AB是。。的直径，点C是。O上的一点，若BC=6,AB=10,ODLBC于点D,则OD的长为

17.如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则NBAC=

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图所示，在RtZkABC中，NACB=90°,用尺规在边BC上求作一点P,使八4=P5；（不写作法,

保留作图痕迹）连接AP当D8为多少度时，AP平分NC4B.

B

19.（5分）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表,

商品名称甲乙

进价（元/件）80100

售价（元/件）160240

设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获

得的最大利润是多少元？

（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50<a<70）出售，且限定商场最多购

进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进

货方案.

20.（8分）现有A、B两种手机上网计费方式，收费标准如下表所示：

计费方式月使用费/元包月上网时间/分超时费/（元/分）

A301200.20

B603200.25

设上网时间为x分钟，

⑴若按方式A和方式B的收费金额相等，求x的值；

⑵若上网时间x超过320分钟，选择哪一种方式更省钱？

21.（10分）已知，抛物线L：y=x?+bx+c与x轴交于点A和点B（-3,0）,与y轴交于点C（0,3）-

（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标.

（2）如何平移抛物线L得到抛物线Li,使得平移后的抛物线Li的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？

（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L2,点P（m,n）（m>0）是抛物线L2上的一点，是否存在点P,

使得△PAC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L2的表达式，若不存在，请说明理由.

22.（10分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你

最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果

这一新生事物？已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽

取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.

23.（12分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B、C两点的俯角分别为45。、35。.已知

大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,求热气球离地面的高度.（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57,

cos35°=0.82,tan35°=0.70)

24.（14分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.求

证：DF2=EF・BF.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

首先利用平行线的性质得出NBMF=120。，NFNB=80。，再利用翻折变换的性质得出NFMN=NBMN=60。，

ZFNM=ZMNB=40°,进而求出NB的度数以及得出NF的度数.

【详解】

VMF/7AD,FN〃DC,ZA=120°,ZC=80°,

.,.ZBMF=120°,ZFNB=80°,

:将△BMN沿MN翻折得△FMN,

/.ZFMN=ZBMN=60°,ZFNM=ZMNB=40°,

:.ZF=ZB=180o-60°-40o=80°,

故选B.

【点睛】

主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出NFMN=NBMN,NFNM=NMNB是解题

关键.

2、C

【解析】

如图，根据长方形的性质得出EF〃GH,推出NFCD=N2,代入NFCD=N1+NA求出即可.

【详解】

；EF〃GH,AZFCD=Z2,

VZFCD=Z1+ZA,Zl=40°,ZA=90°,

.*.Z2=ZFCD=130°,

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键.

3、B

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

【详解】

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误.

故选B.

【点睛】

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心

对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4、B

【解析】

试题解析：0.00000069=6.9xl0-7,

故选B.

点睛：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

5、B

【解析】

根据最小的正整数是1解答即可.

【详解】

最小的正整数是L

故选B.

【点睛】

本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答.

6、C

【解析】

根据同底数塞的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数塞的乘法，底数不

变指数相加；塞的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2m与3n不是同类项，不能合并，故错误；

B、m2»m3=m5,故错误；

C、正确；

D、(-m)3=-m3,故错误;

故选：c.

【点睛】

本题考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数募的乘法，塞的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.

7、C

【解析】

分析：根据旋转的定义得到即可.

详解：因为点A(4,3)经过某种图形变化后得到点B(-3,4),

所以点A绕原点逆时针旋转90。得到点B,

故选C.

点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段

的夹角等于旋转角.

8、C

【解析】

【分析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.

【详解】观察直方图，由图可知：

A.最喜欢足球的人数最多，故A选项错误；

B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B选项错误；

C.全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C选项正确；

4

D.最喜欢田径的人数占总人数的前xl00%=8%,故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.

9、D

【解析】

由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD^AACD,得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出

△ABD^AACD,得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD丝AACD,得出C正确.由全等三角形的

判定方法得出D不正确；

【详解】

A正确；理由：

在小ABD^DAACD中，

VZ1=Z2,AD=AD,NADB=NADC,

A△ABDACD(ASA)；

B正确；理由：

在4ABDfllAACD中，

,.,Z1=Z2,NB=NC,AD=AD

/.△ABD^AACD(AAS)；

C正确；理由：

在4ABDfllAACD中，

VAB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

/.△ABD^AACD(SAS)；

D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的

关键.

10、D

【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：x+lwO,

X0—19

故选：D.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11>3或1

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形得出：AD〃BC,AD=BC,NADB=NCBD,又由NFBM=NCBM,即可证得FB=FD,

求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出

方程并解方程即可得出结果.

【详解】

解：•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

AZADB=ZCBD,

VZFBM=ZCBM,

AZFBD=ZFDB,

:.FB=FD=12cm,

VAF=6cm,

AD=18cm,

•.•点E是BC的中点，

11

:.CE=-BC=-AD=9cm,

22

要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，

设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9,

解得：t=3或t=L

故答案为3或1.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识.注意掌握分类讨论

思想的应用是解此题的关键.

12、(-2,-2)

【解析】

先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标.

【详解】

【点睛】

考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置.

1

13、x>—-.

2

【解析】

考点：二次根式有意义的条件.

根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解.

解：根据题意得：1+2XN0,

解得它

2

故答案为

2

14、①②③④.

【解析】

由正方形的性质得出NE4O=90。，AD=AF=EF,证出NC4O=NA尸G,由AAS证明△尸GAgZkAC。，得出AC=

FG,①正确；

证明四边形CBFG是矩形，得出SAE45=工尸小尸G=四边形CBFG,②正确；

22

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出ZABC=ZABF=45°,③正确；

证出△ACZ>s△尸EQ,得出对应边成比例，得出④正确.

【详解】

解：•.•四边形AOE歹为正方形，

：.ZFAD=90°,AD=AF=EF,

：.ZCAD+ZFAG^90°,

'：FG±CA,

:.ZGAF+NAFG=90°,

：.ZCAD=ZAFG,

在4FGAACD中，

'ZG=ZC

<ZAFG=ZCAD,

AF=AD

二△尸GA丝△AC。(AAS),

：.AC^FG,①正确；

\'BC=AC,

:.FG=BC,

VZACB=90o,FG1.CA,

J.FG//BC,

・•・四边形C5FG是矩形，

/.ZCBF=90°,SAFAB=~FB^FG=-S四边彩CBFG)②正确；

22

'：CA=CB,ZC=ZCBF=90°,

/.ZABC^ZABF^45°,③正确；

VZFQE=ZDQB=ZADC,NE=NC=90°,

：./\ACD^/\FEQ,

：.AC；AD=FE：FQ,

•尸E=AO2=F0・AC,④正确；

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

15、

【解析】

由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列出关于k的不等式，利用非负数的性质得到k的值，确定

出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值.

【详解】

•••方程x2+kx+=0有两个实数根，

；D+3

/.b2-4ac=k2-4(k2-3k+)=-2k2+12k-18=-2(k-3)2>0,

7j

/.k=3,

代入方程得：x2+3x+=(x+)2=0,

g3

4J

解得：X1=X2=-,

则一:…二•

口i

故答案为-.

【点睛】

此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，求出k的值是本题的突破点.

16、1

【解析】

根据垂径定理求得BD,然后根据勾股定理求得即可.

【详解】

解：VOD1BC,

1

；.BD=CD=-BC=3,

2

1

•/OB=-AB=5,

2

22=1

在RtAOBD中，OD=y/oB-BD-

故答案为1.

【点睛】

本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键.

17、132°

【解析】

解：；正五边形的内角=180°-360°+5=108。，正六边形的内角=180°-360°+6=120°,.,.N5AC=360°-108°-120°=132°.故

答案为132°.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)详见解析；(2)30°.

【解析】

(1)根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

(2)连接PA,根据等腰三角形的性质可得NR4B=N8，由角平分线的定义可得=根据直角三角

形两锐角互余的性质即可得NB的度数，可得答案.

【详解】

(1)如图所示：分别以A、B为圆心，大于gAB长为半径画弧，两弧相交于点E、F,作直线EF,交BC于点P,

2

：EF为AB的垂直平分线，

；.PA=PB,

•••点P即为所求.

cB

(2)如图，连接AP,

PA=PB,

：.ZPAB=ZB,

VAP是角平分线，

：.ZPAB=ZPAC,

：.ZPAB=ZPAC=ZB,

■:ZACB=9Q°,

：.ZPAC+ZPAB+ZB=90°,

/.3ZB=90°,

解得：ZB=30°,

.,.当ZB=30。时，AP平分NG4B.

【点睛】

本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线

上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键.

19、(1)y=-60X+28000；(2)若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；(3)商场应购进甲商品120

件，乙商品80件，获利最大

【解析】分析：(1)根据总利润=(甲的售价-甲的进价)x购进甲的数量+(乙的售价-乙的进价)x购进乙的数量代入

列关系式，并化简即可；(2)根据总成本勺8000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；

(3)把50VaV70分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0,根据函数的增减性得出结论.

详解：

(1)根据题意得：y=(160-80)x+(240-100)(200-x),

=-60x+28000,

则y与x的函数关系式为：y=-60x+28000；

(2)80x+100(200-x)<18000,

解得：x>100,

,至少要购进100件甲商品，

y=-60x+28000,

丁-60<0,

，y随x的增大而减小，

.•.当x=100时，y有最大值，

y大=-60x100+28000=22000,

若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；

(3)y=(160-80+a)x+(240-100)(200-x)(100<X<120),

y=(a-60)x+28000,

①当50Va<60时，a-60<0,y随x的增大而减小，

.•.当x=100时，y有最大利润，

即商场应购进甲商品100件，乙商品100件，获利最大，

②当a=60时，a-60=0,y=28000,

即商场应购进甲商品的数量满足100<x<120的整数件时，获利最大，

③当60VaV70时，a-60>0,y随x的增大而增大，

...当x=120时，y有最大利润,

即商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大.

点睛：本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的

关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润x数量；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用

一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

20、(1)x=270或x=520；(2)当320Vx<520时，选择方式B更省钱；当x=520时，两种方式花钱一样多；当x>520

时选择方式A更省钱.

【解析】

(1)根据收取费用=月使用费+超时单价x超过时间，可找出yA、yB关于x的函数关系式；根据方式A和方式B的收

费金额相等，分类讨论，列出方程，求解即可.

(2)列不等式，求解即可得出结论.

【详解】

(1)当一时，-与x之间的函数关系式为：-_

“、一、u二XJn一

当二：：二。时，二二与丫之间的函数关系式为：二二二“;一。二二一.二-「。二二_:

即r_(3Ws二二？"

Jo=iA2n+d,n>j2a

当J:-P时,二—与％之间的函数关系式为：二一二勺:，

当二>jog时，口匚与x之间的函数关系式为：二口=”+3(口一询=3口一41

即一一,,“4二4式0

L，D-U2rj-2an>/2a

方式A和方式B的收费金额相等，

当时’□o*Q(l.

当二0M二V£0时'0.：二+6-60,解得：二二二5

当二一二时，CU二+6=，。？二I-"解得：口=皿

即x=270或x=520时，方式A和方式B的收费金额相等.

(2)若上网时间x超过320分钟，

琮二+6>，0二5二I-3解得320Vx<520,

当320Vx<520时，选择方式B更省钱；

。二+6=，k口-%,解得x=52。，

当x=520时，两种方式花钱一样多；

。二+6<&；.忆-解得X>520’

当x>520时选择方式A更省钱.

【点睛】

考查一次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键.注意分类讨论，不要漏解.

-10,2,8

21、(1)顶点(-2,-1)A(-1,0);(2)y=(x-2)2+1;(3)y=x2--x+3,y=x+—x+3,y=x2-4x+3,y=x+—x+3.

【解析】

(D将点B和点C代入求出抛物线L即可求解.

(2)将抛物线L化顶点式求出顶点再根据关于原点对称求出即可求解.

(3)将使得△PAC为等腰直角三角形，作出所有点P的可能性，求出代入了=必+公+3即可求解.

【详解】

(1)将点B(-3,0),C(0,3)代入抛物线得:

2

｛鬻―,解得｛旨,则抛物线y=X+4x+3.

抛物线与x轴交于点A,

0=%2+4%+3，X]=-3,X2=-1,A(-1,0),

抛物线L化顶点式可得y=(x+2)2-l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1).

(2)抛物线L化顶点式可得y=(x+2)2-l,由此可得顶点坐标顶点(-2,-1)

抛物线Li的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称，

L]对称顶点坐标为(2,1),

即将抛物线向右移4个单位，向上移2个单位.

(3)使得APAC为等腰直角三角形，作出所有点P的可能性.

△々AC是等腰直角三角形

F^A=CA,

ZCAO+ZACO=90°,ZCAO+Z^AE=90°,

ZCAO=^AE,

,《£A=NCOA=90。，

:.ACAO=AAF[E（AAS）,

二求得用(-4,1).,

同理得P2(2,-1)同(-3,4),R(3,2),

2Q1Q

由题意知抛物线y—x2+dx+3并将点代入得：y=X2+—x+3,y=x2—4x+3,y=x2++3,y=x~——x+3.

【点睛】

本题主要考查抛物线综合题，讨论出P点的所有可能性是解题关键.

22、(1)100、35；(2)补图见解析；(3)800人；(4)-

6

【解析】

分析：(1)由共享单车人数及其百分比求得总人数m,用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；

(2)总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；

(3)总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；

(4)列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得.

详解：(1)••,被调查的总人数m=10+10%=100人，

35

二支付宝的人数所占百分比n%=—xl00%=35%,即n=35,