2025年高考数学总复习专项训练：圆的方程

专练43圆的方程

［基础强化］

一、选择题

1.已知直线/过圆f+。一3>=4的圆心，且与直线尤+y+1=0垂直，贝门的方程是()

A.x~\~y—2—0B.x—y+2=0

C.尤+y—3=0D.尤—y+3=0

答案：D

解析：设所求的直线/的方程为x—y+C=0,：直线/过圆心(0,3),—3+C=0,C=3,故所求的

直线方程为x—y+3=0.

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(龙一ly+G-1尸=1

B.(x+l>+(y+1)2=1

C.(x+iy+(y+lp=2

D.(x—iy+Q—1产2

答案：D

解析：半径r—yj(1—0)2+(1—0)2=啦,

圆的标准方程为(x—l)2+(y—l)2=2.

3.已知点A是直角AABC的直角顶点，且A(2a,2),8(—4,a),C(2a+2,2),则AABC外接圆的方

程是()

A.d+ty—3)2=5B.X2+CV+3)2=5

C.0—3)2+丁=5D.(x+3)2+y2=5

答案：D

解析：为直角，：.AB±AC,.•.2°=—4,。=一2,

△ABC外接圆的圆心(一3,0),半径7=丁=工-----------------2-------------------=小，

/.所求的圆的方程为(x+3>+y2=5.

4.已知方程/十产一2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是()

A.(2,+8)B.(-2,+8)

C.（一8,2）D.（一8,1）

答案：c

解析：由题意得。2+E2—4Q0,，4+4—4a>0,

5.点P(5a+1,12。)在(x—1)2+9=1的内部，则。的取值范围是()

A.\a\<\B.

C.\a\<^D.\a\<^j

答案：D

解析：由题意得2542+144<72<1,；./<白，得⑷.

6.直线y=fcr-24+1恒过定点C,则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为()

A.(x-2)2+(j；-l)2=5

B.(x—2)2+(J—1)2=25

C.(x+2)2+(y—1户25

D.(尤+2/+0+1>=5

答案：B

解析：•.'y=fcr—24+1可化为y=4(x—2)+1,恒过定点(2,1),

则所求的圆的方程为(x—2>+。一1)2=25.

7.已知圆M与直线3x—4y=0及3尤一4y+10=0都相切，圆心在直线y=—x—4,则圆M的方程为()

A.(x+3)2+(y—1)2=1

B.(X—3)2+3+1)2=1

C.(x+3>+(y+1)2=1

D.(X-3)2+(J-1)2=1

答案：C

解析：3x-4y=0及3x—4y+10=0的距离为=2,显然圆的半径r=|=1,与3x

—4y=0和3元一4y+10=0的距离相等的直线为3尤一4y+5=0,

[3x—4y+5=0,x=—3,

由彳得

〔尸一了一4,J=T，

.,.圆心(-3,—1),

二所求的圆的方程为(x+3>+(y+1)2=1.

8.圆(x—l)2+(y—1>=2关于直线〉=履+3对称，则上的值是()

A.2B.—2

C.1D.-1

答案：B

解析：由题意得圆心(1,1)在直线y=Ax+3上，.,•左=-2.

9.(多选)已知点4—1,0),3(1,0),若圆(x—2a+1)2+。-2°—2)2=1上存在点M满足向-MB=3,

则实数。的值为()

A.l2B.—1

C.2D.0

答案：BD

解析：设点A/(无，y),则跖4=(一无一1,—y),MB=(—x+1,—y),

所以属MB=(-%-1)(-%+1)+^=3,

所以点〃的轨迹方程为圆f+y2=4,圆心为(0,0),半径为2.

由此可知圆(x—2a+l)2+(y—2a—2>=1与圆/+产=4有公共点.

又圆(x—2a-\-l)2+(y—2a—2)2=1的圆心为(2a—1,2。+2),半径为1,

所以1可⑵-1)2+(2a+2)2W3,解得一iWaW3.故选BD.

二、填空题

10.若2,0,1,,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+“-1=0表示的圆的个数为.

答案：1

解析:方程x2+y2+ax+2〃y+2/+。-1=0表示圆的条件是/+4〃2—4(2次+〃-1)>0,即3«2+4«—4<0,

解得一2<a<|,又2,0,1,1j，二仅当a=0时该方程表示圆.

11.[2022•全国甲卷(文)，14]设点M在直线2尤+丫-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，则。M的

方程为.

答案：(无一17+。+1)2=5

解析：因为点M在直线2x+y—l=0上，所以设M(a,1—2班由点(3,0),(0,1)均在。M上，可得点

(3,0),(0,1)到圆心M的距离相等且为。M的半径，所以r=yj(a-3)2+(l-2a)2=

y/a2+(l—2a—l)2,解得。=1.所以M(l,—1),r=y[5,所以。M的方程为(x—l)2+(y+l)2=5.

12.直线=1与无轴、y轴分别相交于点48,。为坐标原点,则44。8内切圆的方程为

答案:(x-l)2+(y-l)2=l

解析：设△AOS内切圆的圆心为机)(心0),半径为m,直线点+］=1可化为3x+4y—12=0,

由题意得艮牛萼手=m,得机=1或机=6(舍去)".△AOB内切圆的方程为(x—l)2+(y—1)2=1.

弋3'+4’

［能力提升］

2

13.已知一个圆的圆心在曲线>=嚏(x>0)上，且与直线2尤+y+1=0相切，则当圆的面积最小时，该圆

的方程为()

A.(无一1)2+52)2=5

B.(x-2)2+(y_1)2=5

C.(x—l)2+(y—2尸25

D.(尤―2)2+g1尸25

答案：A

2

2工+一+1

'2'x

解析：设圆心为=小，当且仅当x=l时等号成立，所以当圆的

面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1,2),半径为止,所以圆的方程为(x—l)2+(y—2)2=5.

14.(多选)设有一组圆(X—k)2+O—©2=4(AGR),下列说法正确的是()

A.不论人如何变化，圆心C始终在一条直线上

B.所有圆G均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆以有且只有一个

D.所有圆的面积均为4

答案：ABD

解析：对于A选项，圆心(鼠◎一定在直线y=x上，故A正确；对于B选项，将(3,0)代入圆C*的方

程整理得2M—6左+5=0,其中/=—4<0,方程无解，故所有圆C&均不经过点(3,0),故B正确；对于C

选项，将(2,2)代入圆Ct的方程整理得4左+2=0,其中/=16—8=8>0,故经过点(2,2)的圆Q有两

个，故C错误；对于D选项，所有圆的半径均为2,面积均为4,故D正确.故选ABD.

15.已知直线/：x—3y+6=0与圆/+尸=12