第二章圆锥曲线单元测试 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章圆锥曲线单元测试-高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册一、单选题1．方程mxA．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2．已知椭圆C：x2a2+y2bA．13 B．25 C．123．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2A．3+396 B．3+724．已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足MF=3FN，A．(x−13)C．(x−3)2+(y−25．已知抛物线y2=4x上两点A、B满足A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0）6．已知椭圆方程为4xA．F1(−22,0)，FC．F1(0,−12)，F7．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动，M为线段AB的中点，则M点到A．12 B．1 C．328．已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=2（其中OA．2 B．3 C．1728 二、多选题9．椭圆x216+y2A．9 B．23 C．16−7 D．10．已知双曲线C:4xA．若k=2，则l与C仅有一个公共点B．若k=22，则l与CC．若l与C有两个公共点，则2<k<2D．若l与C没有公共点，则k>211．已知曲线C：x2A．若m>n>0，则C是焦点在x轴上的椭圆B．若m=n（n>0），则C是圆C．若m=−2，n=6，则C是双曲线，其渐近线方程为3x±y=0D．若m=−2n，则C是双曲线，其离心率为3或6三、填空题12．已知双曲线与椭圆x216+y213．已知直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程：①y=﹣|x|；②x2+y2﹣2y=0；③y=（x+1）2．其中，具有性质P的曲线的序号是．14．已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线x=−a四、解答题15．已知双曲线x24−（1）若∠F1M（2）若∠F1M16．在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若BF=tFA，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1，l2，两切线交于点N，求△ACN与△BDN面积之积的最小值．17．设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A(−2，0)，B(2（1）求椭圆的方程．（2）若直线l与椭圆交于P，Q（异于A，B）两点．（i）求直线BP与BQ的斜率之积；（ii）若直线AP与BQ的斜率之和为−12，求直线18．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆C的内部（不包含边界）运动，且与A，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线DE的斜率恒为12，求动点P19．椭圆C：x2a2+y（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：若m=0，n≥0，方程y2若m>0，n>0，方程表示椭圆或圆；若m<0，n≠0，方程表示双曲线；由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线.故答案为：D.

【分析】根据m=0，n≥0和m>0，n>0，以及m<0，n≠0，结合直线、圆、椭圆和双曲线的方程，即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】连接IF1，IF2，|MI||IE|=|MF1所以|MI||IE|故2a2c=2b又b2所以3a=5c，即ca故答案为：D.

【分析】利用角平分线定理可得|MI||IE|=|MF3．【答案】A【解析】【解答】设双曲线半焦距为c，则F(−c，0)，而AF⊥x轴，由x=−cx2a2−y2b因此有3e2−3e−3=0所以C的离心率为e=3故答案为：A

【分析】设双曲线半焦距为c，则F(−c，0)，而AF⊥x轴，再利用已知条件结合几何法和代入法，从而解方程组得出|y|=b4．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=π3，所以直线l的斜率为3其方程为y=3（x﹣p2与抛物线方程联立可得3x2﹣5px+34∴x1+x2=53∴|MN|=83p=16∴p=2，∴M（3，23），r=4，∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣23）2=16．故选：C．【分析】求出直线l的斜率，可得直线方程，与抛物线方程联立，利用|MN|，求出p，可得M的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．5．【答案】A【解析】【解答】解：设A(y12则lAB：x=y1又因为OA→⋅OB→=则直线过点(5，0)，故答案为：A.

【分析】由已知条件设出点的再把，然后由点斜式设出直线的方程，并把结果代入到数量积公式，由此整理化简计算出结果即可。6．【答案】C【解析】【解答】由4x2+2所以焦点在y轴上，且半焦距为c=1则椭圆的焦点坐标为F1(0,−1故答案为：C.

【分析】化椭圆方程为标准方程，可知椭圆的焦点在y轴上，求出c的值，则椭圆的交点坐标即可求得。7．【答案】B【解析】【解答】如图所示，抛物线y2=2x的准线为l：x=−12，

过A、B、M分别作AA'、BB'、MM由抛物线定义知|AA'|=|FA|，|BB'|=|FB|，由梯形中位线定理得|MM则M到y轴的距离d≥32−12所以dmin=1，即M点到故答案为：B【分析】由已知得到抛物线y2=2x的准线为l：x=−18．【答案】B【解析】【解答】据题意得F(14，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x故答案为：B

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标，设A(x1，y1)，B(x29．【答案】A,B【解析】【解答】解：椭圆x216+y2m=1依题意当焦点在x轴上时，则16−m=7，解得m=9；当焦点在y轴上时，则m−16=7，解得m=23，∴m的值为9或23.故答案为：AB.【分析】分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论求解即可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为双曲线的方程为4x2−y2A.又因为直线l:y=kx+1过定点(0,1)，当k=2时，直线B.联立4x2−y2当直线l与双曲线C相切时，方程只有一个实数根，Δ=(2k)2+8(4−k2所以当k=22时，直线l与双曲线CC.若l与C有两个公共点，则4−k2≠0Δ=(2k)D.若l与C没有公共点，4−k2≠0故选：ABD【分析】先求出双曲线的渐近线，直线l:y=kx+1所过定点为：(0,1)，当k=2时，直线l与双曲线C的渐近线平行，可知直线l与双曲线C有且只有一个交点，据此可判断A选项；联立直线l与双曲线C的方程，消消去y可得一元一次方程，根据题意可列出方程，解方程可求出k=±22，据此可判断B选项；根据l与C有两个公共点，可列出不等式组，解不等式组可求出k的取值范围，据此可判断C选项；根据l11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：曲线C：x2m+y2n=1，，

若m>n>0，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；

若m=n(n>0)，即C：x2+y2=m=n，则C是圆，故B正确；

若m=−2，n=6，则C是双曲线，

其渐近线方程为x2−2+y26=0，即y=±3x，故C错误；

若m=-2n，则C是双曲线，

12．【答案】x【解析】【解答】由题意椭圆焦点为(±10,0)，∴设双曲线方程为x2a2−y2b2=1∴双曲线方程为x2故答案为：x2

【分析】利用椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线方程，转化求解a，b，得到双曲线方程即可．13．【答案】②③【解析】【解答】解：①y=﹣|x|与直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）至多一个交点，不具有性质P；②x2+y2﹣2y=0圆心为（0，1），直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k=±2，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P；③y=（x+1）2，过点（0，1），直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P．故答案为：②③．【分析】确定直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），曲线过定点（0，1），即可得出结论．14．【答案】2【解析】【解答】由题意，点M，P位于x轴的上方，因为|OM|=|OF|=c，M为直线又因为OP=OF+OM，所以四边形所以P(c−a2c代入双曲线的方程，可得b4c2a2所以双曲线的离心率为e=c故答案为：2.

【分析】先确定M的坐标，再确定P的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论.15．【答案】（1）解：设|MF1|=r1因为S△所以只需求r1当θ=90°时，由双曲线方程知a=2,b=3,c=13由双曲线的定义，得r1两边平方，得r1又r1即|F1F求得S（2）解：若∠F1MF2=120求得S△同理，可求得∠F1【解析】【分析】(1)根据题意设出|MF1|=r1,|MF2|=16．【答案】（1）解：由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x2=4y（2）解：①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，设（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵BF=tFA，∴t=﹣x2∴(x1+x2∴t+1t=4k2∵f（t）=t+1t在[1，2]上单调递增，∴2≤t+1∴−2②y=14x2∴直线AN：y﹣14x12=12x1（x﹣x1），BN：y﹣14x22=12x两式相减整理可得x=12（x1+x2∴N（2k，﹣1），N到直线AB的距离d=21+k∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，∴|AC||BD|=1∴△ACN与△BDN面积之积=12|AC|d⋅12|BD|d当且仅当k=0时，△ACN与△BDN面积之积的最小值为0【解析】【分析】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得t+1t=4k2+2，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；②17．【答案】（1）解：依题意可得a=2，当直线l经过点D(−2，2)时，l代入x24+Δ=(−12解得b2=1，所以椭圆的方程为（2）解：（i）依题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+6，P(x1，由x=my+6，x2则y则k=32（ii）因为kAP所以kAP=−12k则直线BQ的方程为y=−x+2，与x24+所以l的方程为y=456【解析】【分析】（1）依题意可得a=2，设直线l的方程为x=−42y+6，与椭圆方程联立，整理得(8b2+1)y2−122b2y+8b2=0，由Δ=0，推得b2=1，即可得解；

（2）设l：x=my+6，P(x1，y1)，Q(x218．【答案】（1）解：当P为坐标原点时，D，由题知ba=1所以椭圆C的方程为x2（2）解：设点P(x0，y=12x+tx2由Δ=4t2−4(2x1+x则x1=t−1由题知t≠1，故1y0x即2x0+2+2∵点P在椭圆内部，且不在直线AB上，∴−2<x故P的轨迹方程为x+2y=0(−2【解析】【分析】（1）根据已知条件及椭圆的顶点，再结合斜率及四边形的面积公式，即可求解出a，b，进而得出椭圆C的方程；

（2）设出直线DE，与椭圆联立方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理写出x1，x19．【答案】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为10，∴(2+c)2又e=ca=12，解得a=2，∴b2∴所求椭圆C的方程为：x2（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+mx24+y23△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴x1+xy1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k