2022-2023学年九年级数学中考复习 几何图形中的数形结合思想 解答题专题训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形中的数形结合思想》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm．若点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）若点P在运动的过程中，与三角形另一顶点的连线恰好平分△ABC的面积，求出t的值．（3）若点P恰好在△ABC的角平分线上（顶点除外），请直接写出t的值.2．如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．（1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数．（2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系．（3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是△ABC的边AC上的一点，△ABC经过平移后得到△DEF，A，B，C的对应点分别为D，E，F，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）．（1）写出D，E，F三点的坐标．（2）在图中画出△DEF．（3）△DEF的面积为．5．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，同时摆动臂DM可以绕点D旋转，已知∠BAC＝90°，BC＝16，AD＝6，DM＝2．（1）直接写出AB的长；（2）在旋转过程中，当以A，D，M为顶点的三角形为直角三角形时，直接写出AM的长；（3）如图2，把摆动臂AD顺时针旋转90°至AE，连接DE，EC．①当∠AEC＝135°，CE＝7时，求BE的长．②当B，D，E三点在同一直线上时，直接写出BE的长．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．当点P与点B重合时两点都停止移动，时间为t．（1）如图1，若PQ＝4时，求时间t的值：（2）如图2，连接AC，作BG⊥AC，垂足为点G，作△PBQ的外接圆⊙O．①判断点G与⊙O的位置关系，并说明理由．②连接GP、GQ，若△PGQ的面积等于9，求t的值．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AD＝CD，∠DAC＝∠ABD＝45°，AG平分∠CAB，交DB于点G．（1）如图①，求证：DA＝DG；（2）如图①，求证：AC2＝2DE•DB；（3）如图②，过点C作CF⊥AG，垂足为F，若∠ABC＝90°，，求的值．8．（1）证明推断如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F、G．推断：AE与EF的数量关系为；（直接写出答案）（2）类比探究如图2，在矩形ABCD中，＝m，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线分别交直线BC于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）的条件下，连接CE，当m＝，CE＝CD时，若CG＝1，求EF的长．9．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与AB重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请求出AB：BC的值．10．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①线段OD的长；②求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．11．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．12．已知，如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A坐标为（4，0），点C坐标为（0，6），点E为AO的中点，F为AB边上的一个动点，连接CF，EF，并以CF，EF为边作▱DEFC．（1）直接写出▱DEFC对角线CE的长；（2）当动点F运动时，点D也随之运动，问：点D到y轴的距离是否为定值，若是，请求出该定值，反之，请说明理由；（3）连接AD，分别交OC，EF于点M，N，当▱DEFC为矩形时，求AN的长．13．已知直线MN⊥PQ，两条直线相交于点O，△ABC为等腰三角形，点A在射线OM上，点B在射线OP上．（1）如图1，点C在∠MOQ内部，若∠BAC＝90°，CH⊥MN于H，证明：CH＝AO．（2）如图2，AB＝AC，点C在射线OQ上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE．求证：BF＝CE；（3）如图3，点C与点O重合时点E在∠PON内部，BE⊥AE，连接OE，求∠BEO的度数．14．探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝°．即∠GAF＝∠．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌．∴＝EF，故DE+BF＝EF．（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．试猜想DE、BF、EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别为DC，BC上的点，满足：，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．15．【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．【理解应用】（1）如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝；【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；【变式探究】（3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】（4）如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，则AD＝．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC、BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tanF＝x，tan∠3＝y．①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为2，y＝，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．17．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（点D不与点B重合），连接AD，以AD为一边构造Rt△ADE，使∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，当＝＝1时，直接写出线段BD与线段CE的数量关系与位置关系：①数量关系：；②位置关系：；（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，CM，CN，若AB＝2，∠ADB＝45°，请直接写出△CMN的面积．18．如图，在8×6的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上．（1）直接写出△ABC的面积＝；（2）诸仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹：①请在图1中画出△ABC的高BH；②请在图1中在线段BC上找一点D，使∠DAC＝45°．③在图2中画出所有满足条件△ABC的面积＝△ACE的面积的格点E．19．[课本再现]（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图1，是4×4正方形网格，A，D，C均是格点，B，E分别在CD和AC上，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，请你判断△ABC是通过怎样的变换得到△DEC的？填：．[深入探究]（2）在图1中，AB与网格线的交点用F表示，连接CF，如图2，探究CF与DE的关系；[柘展延伸]（3）将图2中的点B，E绕着点C同时旋转得到点B′，E′，连接AB′，DE′，作AB′的中点F'，连接CF′，如图3，猜想CF′与DE′的关系，并进行证明．20．【问题初探】如图（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE，BE与CD的数量关系，位置关系．【类比再探】如图（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，求∠EBD的度数．【方法迁移】如图（3），Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，点M是AB中点．点D是BC上一点且BD＝1，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝，连接BE，求BE的长．

参考答案20．（1）解：由折叠可知∠BAE＝∠EAC，∠DAF＝∠FAC，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAF＝22.5°，∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形，∵DF＝BE，BC＝CD，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形，故答案为：45°，△AEF，△CEF；（2）解：延长CB到G，使BG＝DQ，连接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADQ（SAS），∴AG＝AQ，∠DAQ＝∠GAB，∵∠PAQ＝45°，∴∠GAP＝45°，∵AG＝AQ，∠PAQ＝∠GAP，AP＝AP，∴△GAP≌△QAP（SAS），∴PQ＝GP，∵GP＝GB+BP＝DQ+BP，∴PQ＝DQ+BP，故答案为：PQ＝DQ+BP；（3）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACD＝∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABM∽△ACQ，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，故答案为：；（4）证明：将△AND绕点A逆时针旋转90°，得到△AHB，连接HM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝45°，∵AN＝AH，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴HM＝MN，∵∠D＝∠HBA＝45°，∠ABD＝45°，∴∠HBM＝90°，在Rt△HBM中，HM2＝HB2+BM2，∴BM2+DN2＝MN2．1．解：（1）∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，如图1，存在点P，使得PA＝PB，理由如下：此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当P点在线段AC上时，P点运动到AC的中点处，BP平分△ABC的面积，∵AC＝4cm，∴AP＝2cm，∴t＝1s；当P点在线段BC上时，P点运动到BC的中点处，AP平分△ABC的面积，∵AC+CP＝4+＝cm，∴t＝s；综上所述：t的值为1s或s；（3）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，此时t＝2或t＝3.5秒；当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，此时AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，∵△APM∽△ABC，∴AP：AB＝PM：BC，即：2t：5＝（4﹣2t）：3，解得：t＝；当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，此时BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），∵△BPN∽△BAC，∴BP：BA＝PN：AC，即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，解得：t＝．综上，当t＝2、3.5、、秒时，点P在△ABC的角平分线上．2．解：（1）∵∠2＝65°，∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°，∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°；（2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下：当点P位于DE下方时，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2），∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2；当点P位于DE上方时，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2，∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°；（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下：设DP与BC交于点Q，∴∠CQD＝∠2+∠DPE，∵∠1+∠C+∠CQD＝180°，∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°，∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°．3．（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，∴∠ACD＝∠BCO，在△BOC和△ADC中，，∴△BOC≌△ADC（SAS）；（2）解：△ADO是直角三角形，理由如下：理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∵∠ADO+∠DAC＝∠DOC+∠ACO，∴∠CAD＝120°﹣∠α+∠ACO，∵∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣（60°+200°﹣α）﹣∠ACO＝α﹣80°﹣∠ACO，∴∠OAC+∠CAD＝40°，即∠OAD＝40°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴200°﹣α＝α﹣60°，∴α＝130°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α﹣60°＝40°，∴α＝100°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴200°﹣α＝40°，∴α＝160°．∴当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．4．解：（1）∵P为AC上的点，P平移后Pʹ（a﹣2，b﹣4）表示向左平移2个单位，再向下平移4个单位．∴A（﹣2，2）对应点D（﹣4，﹣2）；B（2，0）对应点E（0，﹣4）；C（3，3）对应点F（1，﹣1）．∴D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）；（2）如图，△DEF即为所求；（3）如图所示，将D，E，F连线即可．三角形DEF的面积为：3×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×3＝15﹣﹣4﹣＝7．故答案为：7．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC2＝2AB2，∵BC＝16，∴AB＝，故答案为：8；（2）当∠ADM＝90°时，∵AD＝6，DM＝2，∴AM＝＝2；当∠AMD＝90°时，AM＝＝4；综上所述：AM的长为2或4，故答案为：2或4；（3）①连接CD，∵AE＝AD，∠CAD＝90°﹣∠EAC＝∠BAE，AC＝AB，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠AED＝45°，∵∠AEC＝135°，∴∠CED＝90°，∵AD＝AE＝6，∴ED＝6，∵CE＝7，∴CD＝＝11，∴BE＝11；②连接EC，CD，由①可知△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC，∵∠AED＝45°，∴∠AEB＝∠ADC＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°，∵BE＝CD，∴BD＝6+CD，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，∴256＝（6+CD）2+CD2，解得CD＝或CD＝，∴BE的长为或，故答案为：或．6．解：（1）∵AB＝6cm，BC＝12cm，∴BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵PQ＝4，∴4＝，解得t＝2或t＝；（2）①以B点为原点，BC所在是直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，过点G作GE⊥AB交于点E，过点G作GF⊥BC交于点F，∵AB＝6，BC＝12，∴AC＝6，∴sin∠ACB＝＝，∵∠ABG+∠GBC＝∠GBC+∠ACB＝90°，∴∠GBE＝∠ACB，∴＝，∵S△ABC＝×6×12＝6×BG，解得BG＝，∴EG＝，EB＝，∴G（，），∵⊙O是△PBQ的外接圆，∠PBQ＝90°，∴PQ的中点为圆O的圆心，∵P（0，6﹣t），Q（2t，0），∴O（t，3﹣t），PQ＝，∵GO＝，∴GO＝PQ，∴G点在圆O上；②∵S△PBQ＝×2t×（6﹣t）＝t（6﹣t），S△BPG＝×（6﹣t）×＝（6﹣t），S△BGQ＝2t×＝t，∴S△PQG＝S△BPG+S△BGQ﹣S△PBQ＝（6﹣t）+t﹣t（6﹣t），∵△PGQ的面积等于9，∴（6﹣t）+t﹣t（6﹣t）＝9，解得t＝3或t＝﹣（舍）．7．（1）证明：∵AG平分∠CAB，∴∠EAG＝∠BAG，∵∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAG＝45°+∠EAG，∠AGE＝45°+∠BAG，∴∠DAG＝∠AGE，∴DA＝DG；（2）证明：∵AD＝CD，∠DAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝2AD2，∵∠DAE＝∠ABD，∴△DAE∽△DBA，∴＝，∴AD2＝DE•DB，∴AC2＝2DE•DB；（3）解：连接CG，∵CF⊥AG，∴∠F＝90°，∵AG平分∠CAB，∴∠BAF＝∠CAF，∴△ABH∽△AFC，∴＝，设BH＝3m，，则CF＝2m，∵AD＝CD＝AB，∴∠DAG＝∠AGD，∠DGC＝∠DCG，∵∠ADC+2∠DGA+∠2∠DGC＝360°，∴∠DGA+∠DGC＝135°，∴∠CGF＝45°，∴GF＝2m，∴CG＝2m，∵∠ABD＝∠CGH＝45°，∠ABC＝90°，∴∠GBC＝45°，∴△CGH∽△CBG，∴＝，即＝，解得CH＝5m，∴＝，故答案为：．8．解：（1）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°，BE＝EG，∴△ABE≌△FEG（ASA），∴AE＝EF，故答案为：AE＝EF；（2）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵∠EBG+∠EGB＝∠ABE+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠EGB，∴△AEB∽△FEG，∴＝，∵∠DBC+∠BDC＝∠EBG+∠EGB＝90°，∴∠EGB＝∠BDC，∴△BEG∽△BCD，∴＝，∵＝m，∴＝m，∴＝m；（3）过点E作EQ⊥AB交于Q点，过点C作CP⊥BD交于P点，∵m＝，∴BC＝2CD，AE＝2EF，设CD＝x，则BC＝2x，BD＝x，∵S△BCD＝BC×CD＝BD×CP，∴CP＝x，∴DP＝x，∵CE＝CD，∴EP＝PD＝x，∴BE＝x，BP＝x，∵EG⊥BD，CP⊥BD，∴EG∥CP，∴＝，即＝，解得BG＝3，∴BC＝4＝2x，∴x＝2，∴BE＝，CP＝，∵S△BCE＝BE×CP＝BC×BQ，∴BQ＝，∴AQ＝，QE＝＝，∴AE＝＝，∴EF＝．9．解：（1）∵∠A＝∠DEC＝45°∴∠ADE+∠AED＝135°，∠BEC+∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，∴＝，∴＝，∴BC＝AB，∴AB：BC＝2：．10．解：（1）①由旋转可知△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠BDO＝60°，∴OD＝BO，∵OB＝4，∴OD＝4，故答案为：4；②∵OA＝3，OB＝4，∴OD＝BO＝4，CD＝AO＝3，在△ODC中，OD＝4，CD＝3，CO＝5，∵CO2＝DO2+CD2，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＝150°；（2）由旋转可得△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，CD＝AO，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠OBD＝90°，∴△BDO是等腰直角三角形，∴OD＝BO，∵∠ODC＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，∴OC2＝2OB2+AO2．11．解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内，∴当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，∵四边形PQMN是菱形，四边形P'Q'M'N'是菱形，∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，∵∠APQ＝120°，∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△BM'N'是等边三角形，∴M'B＝M'N'＝Q'M'，∵AB＝6cm，∴BC＝3cm，∴CM'＝3﹣BM'，在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，∴Q'M'＝2CM'，∴BM'＝2（3﹣BM'），解得BM'＝2，在△BM'N'中，过点M'作M'E⊥BN'交于点E，∵BM'＝2，∠B＝60°，∴M'E＝，∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，∴∠OGB＝∠OBG，∴OG＝BO，∵GF＝BC，∴OF＝OC，∴＝，连接OM，∵∠GFE＝∠BCD，∴∠MFO＝∠MCO，∵∠OFC＝∠FCO，∴∠MCF＝∠FCM，∴CM＝FM，∴△MOF≌△MOC（SAS），∴∠FOM＝∠COM，∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，∴△AGO≌△ABO（SAS），∴∠FOA＝∠BOA，∴MO与AO重合，∴A、M、O三点共线，∴GF、BC、AM的延长线交于一点O，∴MF∥AG，∴＝，∵CM∥AB，∴＝，∴＝＝，∴△ABG与△MCF位似．12．解：（1）∵点A坐标为（4，0），点E为AO的中点，∴E（2，0），∵点C坐标为（0，6），∴CE＝2；（2）点D到y轴的距离是定值，理由如下：过点D作DG⊥OC交于点G，∵AF⊥OA，CO⊥OA，∴CG∥AF，∵DG⊥OC，EA⊥OC，∴DG∥EA，∴∠DCG＝∠EAF，∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∴△DCG≌△EFA（AAS），∴DG＝EA＝2，∴点D到y轴的距离是定值2；（3）∵▱DEFC为矩形，∴∠DEF＝90°，∴∠HEO+∠FEA＝90°，∵∠HEO+∠OHE＝90°，∴∠FEA＝∠OHE，∴△HEO∽△EFA，∴＝，∵OE＝AE＝2，∴OH•AF＝4，设OH＝t，则AF＝，由（2）知，△DCG≌△EFA（AAS），∴CG＝AF＝，DG＝OE＝2，∵DG＝OE，∠DHG＝∠OHE，∠DGH＝∠HOE，∴△DGH≌△EOH（AAS），∴HG＝OH＝t，∴2t+＝6，解得t＝2或t＝1，当t＝1时，AF＝4，∴F（4，4），D（﹣2，2），设直线EF的解析式为y＝kx+b，，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x﹣4，设直线AD的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，联立方程组，解得，∴N（，），∴AN＝；当t＝2时，F（4，2），D（﹣2，4），同理可求直线EF的解析式为y＝x﹣2，直线AD的解析式为y＝﹣x+，联立方程组，解得，∴N（，），∴AN＝；综上所述：AN的长为或．13．（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠HAC+∠BAO＝90°，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠HAC＝∠ABO，∵AC＝AB，∴△ABO≌△CAH（AAS），∴CH＝AO；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE，∴∠AEF＝∠ABE，∵∠AEC＝∠ABE+∠FAE，∠BFE＝∠FAE+∠AEF，∴∠AEC＝∠BFE，设∠OAE＝α，则∠AEF＝∠FBE＝2α，∴∠FEB＝90°﹣3α，∠BAC＝180°﹣4α，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠FAO＝90°﹣2α，∴∠FAE＝90°﹣α，∵∠FBE＝2α+90°﹣3α＝90°﹣α，∴AF＝AE，∴△AEC≌△EFB（AAS），∴BF＝CE；（3）解：过点O作OG⊥AE交于点G，过点O作OH⊥BE交于BE的延长线于点H，∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∵AE⊥BE，∴∠BEA＝90°，∵∠BFE＝∠AFO，∠BEA＝∠AOF＝90°，∴∠FBE＝∠GAO，∴△AGO≌△BHO（AAS），∴GO＝OH，∴EO是∠GEH的角平分线，∴∠GEO＝∠OEH＝45°，∴∠BEO＝90°+45°＝135°．14．解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，故DE+BF＝EF；故答案为：EAF，△EAF，GF．（2）EF＝DE+BF，理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝90°+90°＝180°，∴点H、B、F三点共线，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）当∠B与∠D满足∠B+∠D＝180°时，可使得DE+BF＝EF，延长CB在上截取BG＝DE，连接AG，∵∠ABF+∠ABG＝180°，∠ABF+∠D＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵AB＝AD，DE＝GB，∴△ABG≌△ADE（SAS），∴AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝DE+BF．15．（1）解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠APO＝30°，AO＝2，∴PO＝4，∴PO+AO＝6，∵B是折线段POA的中点，∴PB＝3，故答案为：3；（2）证明：在BC上截取CG＝AB，连接MC、MG、MB、MA，∵点M是的中点，∴MA＝MC，∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG（SAS），∴MB＝MG，∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG＝CD，∴D是折弦ABC的中点；（3）解：BD＝AB+CD，理由如下：在BD上截取BG＝AB，连接MC、MA、MB、MG，∵点M是的中点，∴AM＝CM，∵∠ABM＝∠MBG，∴△MAB≌△MGB（SAS），∴MA＝MG，∴MC＝MG，∵DM⊥BC，∴CD＝DG，∴AB+CD＝BG+DG＝BD；（4）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝8，BC＝10，∴AC＝6，当D点在上时，如图5，∵∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠DAC＝45°，过D点作DG⊥AB交于点G，∴BG+AC＝AG，∴AG＝×（6+8）＝7，∴AD＝7；当D点在上时，如图6，∠BAD＝45°，过点D作DH⊥AB交于H点，∵AH+AC＝AB，∴AH＝（8﹣6）＝1，∴AD＝；综上所述：AD的长为7或，故答案为：7或．16．（1）证明：∵AB为直径，CF⊥BD，∴∠ADB＝∠DGC＝90°，∴AD∥CG，∴∠1＝∠2＝∠ACD，∴AG∥CD，∴四边形AGCD为平行四边形；（2）解：①过点A作AP⊥CF交于P，则四边形ADGP是矩形，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AD∥CF，AD＝CG，DE＝EG，∠DAC＝∠ACF，∴AF＝CD，AP＝DG，∴Rt△APF≌Rt△DGC（HL），∴CG＝GP＝PF＝AD，设CG＝a，DE＝b，则FG＝2a，GD＝2b，∵BG•DG＝CG•GF，∴BG＝，在Rt△BGC中，tan∠3＝y＝＝，在Rt△APF中，tanF＝x＝＝，∴x＝2y，∴y＝x；②由①知y＝，∵y＝，∴b＝a，∴GD＝2b＝a，GB＝a，∴BD＝DG+BG＝a，∵AB＝2，∴a2+（a）2＝（2）2，解得a＝，如图2，当DH∥AF时，∵AD∥FH，∴四边形ADHF是平行四边形，∴AD＝FH＝a，∴CH＝2a＝；如图3，当EH∥AF时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE＝EC，∴H是CF的中点，∵CF＝3a＝，∴CH＝；综上所述：CH的长为或；③如图4，过点O作OM⊥CF交于M，过点O作ON⊥BD交于N，∵OG平分∠DGF，∴OM＝ON，∴BD＝CF，∴3a＝2b+，整理得，a2﹣3ab+2b2＝0，解得a＝b或a＝2b，∵x＝，∴x＝2或x＝1，故答案为：2或1．17．解：（1）①∵＝＝1，∴AC＝AB，AE＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；②由①可知△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ECA，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，故答案为：CE⊥BD；（2）EC＝2BD，CE⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ECA，∵＝＝2，∴△BAD∽△CAE，∴＝2，∴EC＝2BD，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝9