四边形综合-2024年中考数学临考押题（浙江专用）（全解全析）

押浙江卷第22题

（四边形综合）

押题方向：四边形综合

1命题探究卜

中/考/命/题/预/测

2023年浙江真题考点命题趋势

2023年衢州卷、丽水卷第从近几年浙江中考来看，特殊四边形的性质与四

四边形综合题

22题宁波卷第23题边形的综合问题在解答题中经常出现，考查特殊四边

形的性质的试题难度不大，四边形综合问题有一定的

2023年温州卷第21题矩形的性质

难度，考查四边形的判定与性质与其他知识的综合应

2023年绍兴卷第22题、杭

用。预计2024年浙江卷还将继续考查特殊四边形的

正方形的性质

州卷第21题

性质与四边形综合问题。

2023年舟山嘉兴卷第19题菱形的性质

1真题回顾i

中/考/真/题/在/线

1.（2023•杭州）如图，平行四边形A3C。的对角线AC,3。相交于点O,点E,尸在对角线8。上,

且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.

（1）求证：四边形AEb是平行四边形.

（2）若AABE的面积等于2,求△CFO的面积.

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得AO=C。，BO=DO,再证OE=OE即可得出结论;

（2）由平行四边形的性质可求解.

【解析】（1）证明：•••四边形A2CD是平行四边形，

：.AO=CO,BO=DO,

,:BE=DF,

：.EO=FO,

第1页共43页

四边形AECF是平行四边形;

(2)解：:BE=EF,

5AAB£=5AAEF=2,

•/四边形AECF是平行四边形,

•.SAAEF=S&CEF=2,E0=FO,

...△(7/。的面积=1.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关

键.

2.(2023•绍兴)如图，在正方形A8CZ)中，G是对角线BZ)上的一点(与点2,。不重合)，GELCD,

GFLBC,E,尸分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交环于点H.

(1)求证：ZDAG=ZEGH；

(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.

【思路点拨】(1)直接由平行公理的推理即可解答.

(2)先连接CG,然后根据正方形的性质得出△AOG^^CQG,从而得到/D4G=/OCG.再证明/EGH

=N£)CG=NOEC即可.

【解析】(1)证明：在正方形ABC。中，ADLCD,GELCD,

：.ZADE=ZGEC=90°,

J.AD//GE,

：.ZDAG=ZEGH.

(2)解：AHLEF,理由如下.

连结GC交EF于点O,如图：

■:BD为正方形ABC。的对角线,

AZADG=ZCDG=45°,

第2页共43页

又；£>G=Z)G,AD=CD,

.♦.△ADGq/XCDG(SAS),

：.ZDAG=ZDCG.

在正方形ABC。中，NECF=90°,

XVGE1CD,GF±BC,

四边形FCEG为矩形，

：.OE=OC,

：.ZOEC=ZOCE,

:.NDAG=NOEC,

由(1)得NDAG=/EGH,

:./EGH=NOEC,

：.ZEGH+ZGEH=ZOEC+ZGEH=ZGEC=90°,

：.ZGHE^90°,

：.AH±EF.

【点睛】本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键.

3.(2023•杭州)在边长为1的正方形ABC。中，点E在边上(不与点A,。重合)，射线3E与射线

CD交于点F.

(1)若£»=工，求。E的长.

3

(2)求证：AE'CF^l.

(3)以点8为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED,求的长.

尸

【思路点拨】(1)通过证明△。跖由相似三角形的性质可求解;

(2)通过证明可得坐望，可得结论；

CFBC

(3)设EG=ED=x,则AE=1-尤，BE=l+x,由勾股定理可求解.

【解析】(1)解：•••四边形ABCO是正方形，

：.AD//BC,AB=AD=BC=CD=\,

第3页共43页

△DEFs^CBF,

•.•-D-E=DF’，

BCCF

工

-7-DF

••--=-----,

1DF+1

2

(2)证明：'：AB//CD,

：.ZABE=ZF,

又•.,NA=/BCD=90°,

AABEs^CFB,

•.•-A-B-二AE一,

CFBC

：.AE-CF^AB-BC^1；

(3)解：设.EG=ED=x,贝l|AE=A£>-£>£=1-尤，BE=BG+GE=BC+GE=1+x,

在Rt/VLBE中，AB2+AE2=BE2,

1+(1-X)2=(1+x)

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题

是解题的关键.

4.（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证

明.

（1）用三角板分别取AB,AC的中点。，E,连结。E,画于点R

（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示

意图;

（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由.

【思路点拨】（1）根据题意画出图形即可;

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(2)根据题意画出图形即可;

(3)先证明四边形AffiCN为平行四边形，再证明NN=90°,从而得出四边形AffiCN为矩形.

【解析】解：(1)；(2)如图,

(3)BJ

矩形，理由如下：

,.,ZA/DB+ZB£>E=180°,/DEC+/NEC=180°,

...点M、D、E、N在一条直线上，

；点。、点E分别是A3、AC的中点，

；.£)£■为△ABC的中位线，

：.DE//BC,DE=^BC,

•：MD+EN=DE,

：.MN=MD+DE+EN^BC,MN//BC,

.,.四边形AffiCN为平行四边形，

由题意可得：△MDBgAFAD,△AFEgZXCNE,

ZN=ZAFE,

'：AF.LDE,

：.ZAFE=90°,

ZN=9Q°,

四边形AffiCN为矩形.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定、中位线的知识、平行四边形的知识，难度不大，认真分析即可.

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5.(2023•衢州)如图1,点。为矩形ABC。的对称中心，AB=4,A£)=8,点E为边上一点(0<AE

<3),连结并延长，交BC于点足四边形ABFE与A'B'BE关于EF所在直线成轴对称，线段)

尸交AD边于点G.

(1)求证：GE=GF.

(2)当AE=2OG时，求AE的长.

(3)令AE=a,DG=b.

①求证：(4-a)(4-6)=4.

②如图2,连结OB',OD,分别交A。，B'F于点、H,K.记四边形。KG8的面积为Si,△OGK的面

积为S2,当。=1时，求且的值.

EF所在直线成轴对称，有NBFE=NGFE,故NGEF=/GFE,GE=GF；

(2)过G作GH_LBC于"，设Z)G=x,可知A£=2x,GE^AD-AE-DG=8-3x^GF,根据点。为

矩形ABC。的对称中心，可得CF=AE=2x,故FH=CF-CH=x,在中，/+4?=(8-3x)2,

解得x的值从而可得AE的长为6-2立；

(3)①过。作OQ_LA。于Q,连接。4,OD,OG,由点。为矩形ABCD的对称中心，EF过点、O,可

i

得。为EF中点，。4=。。，OQ=^AB=2,证明△GOQS2^OE。，得毁=毁，gpGQ-EQ=OQ,故

20QEQ

GQ-EQ=4,即可得(4-a)(4-6)=4；

②连接B3,OG,OB,证明B'F=DE,OD=OB=OB',可得△OOG四/XBOG(SSS),ZODG=ZOB'G,

从而△DGKgZXB'GH(ASA),DK=B'H,GK=GH,即可证AOGK0/XOGaCSSS),得SAOGK=SA

S12SAnrv

OGH，有,=—而NEG/=NOG8,GE=GF,GD=GB;知所〃80,可得△0"S/\DK8,

52

△EGFsADGB',得型=_^_,2il_=^A0GK_=20K=_20F_=_EF_；又^EGFs^DGB',有一!5—

DKB'DS2S2DKB'DB，DB'D

13

=丝，当°=1时，匕=旦，即AE=1,DG=&,即可得且=4-=丝=-1-=卫.

y

GD33S2BDGDA8

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【解析】(1)证明：•・,四边形ABC。是矩形，

：.AD//BCf

：.ZGEF=NBFE,

・・,四边形A出石与A'B1尸E关于跖所在直线成轴对称,

:・/BFE=/GFE,

:・NGEF=/GFE,

：.GE=GF；

(2)解：过G作GH_L3c于如图：

/.GE=AD-AE-0G=8-3x=GF,

VZGHC=ZC=ZD=90°,

J四边形GHCD是矩形，

:・GH=CD=AB=4,CH=DG=x,

・・,点O为矩形A5CO的对称中心，

/.CF=AE=2x,

：.FH=CF-CH=x,

在Rt/XGFH中，FH2+GH2=GF2,

.,.^+42=(8-3x)2,

解得尤=3+«(此时AE大于AD,舍去)或x=3-«,

.\AE=2x=6-2心

的长为6-2«；

(3)①证明：过。作OQ_LA£)于。，连接。4,OD,0G,如图:

:点。为矩形ABCD的对称中心，EF过点0,

第7页共43页

・・・。为£尸中点，OA=OD,OQ=2A5=2,

2

•；GE=GF,

：.OG.LEF,

：.ZGOQ=90°-ZEOQ=/QEO,

9：ZGQO=90°=NOQE,

:•△GOQS^OEQ,

...医=至，即G0・EQ=0Q2,

OQEQ

GQ・EQ=4,

'：OA=OD9OQ.LAD.

：.AQ=DQ=^AD=4,

：.EQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-G£>=4-b,

(4-a)(4-b)=4；

②解：连接B'D,OG,OB,如图：

:四边形ABFE与A'B'FE关于所所在直线成轴对称,

:.BF=B'F,

:点0为矩形ABCD的对称中心，

：.BF=DE,

:.B，F=DE,

同理OD=OB=OB',

由(1)知GF=GE,

C.B'F-GF=DE-GE,即B'G=DG,

,?OG=OG,

:.△DOGqAB'OG(SSS),

：.ZODG=ZOB'G,

,:DG=B'G,ZDGK^ZB'GH,

:ADGK会ARGH(ASA),

；.DK=B'H,GK=GH,

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・•・OD-DK=OB'-BH即0K=OH,

•・•OG=OG,

:•△OGKmAOGH(SSS),

SAOGK=SAOGH,

••SI2S/\OGK,

.S1_2SAQGK

F飞厂，

VZEGF=ZDGB',GE=GF,GD=GB',

：.ZGEF=ZGFE=ZGDB'=ZGB'D,

：.EF//B'D,

：.△OK/s△DKB',△EGps/\DGB',

•OK—OF

"DKBZD)

■■SAQGK_OK

'S2DK*

.Si_2sAOGK_20K_20F_EF

-~~DirBZDB，D'

:△EGFS/\DGB',

.EF—GE

"B7D利

当〃=1时，由①知(4-1)X(4-Z?)=4,

:.b=&,

3

：.AE=1,DG=里,

3

GE=AD-AE-DG^—,

3

13

.S1_EF_GE__g__13

,•yB'DGDA

3

.♦.红的值为工！.

S28

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与

性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题.

6.(2023•绍兴)在平行四边形A8CA中(顶点A,B,C,。按逆时针方向排列)，AB=12,AZ)=10,Z

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8为锐角，且sin8=9.

5

(1)如图1,求A8边上的高CH的长;

(2)尸是边上的一动点，点C,。同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D',

①如图2,当。落在射线CA上时，求BP的长;

②当△AC。是直角三角形时，求8尸的长.

图1图2备用图

【思路点拨】(1)由平行四边形的性质对边相等，和三角函数可求得结果;

(2)①由三角形全等和三角形相似可得出结论；

②三角形的直角顶点不确定，故要分类讨论，分三种情况讨论，求出结论.

【解析】解：(1)在团ABCZ)中，BC=AD=10,

在RtZkBCH中，HC=BCsinB=1QX—=8.

5

(2)①如图，作CHLBA于点”，

由(1)得，BH=>/BC2-CH2=V102-82=6,

作CQLBA交8A延长线于点。，则NC"P=NPQC=90°,

AZCPQ+ZPCQ^90°,

'：ZCPQ+ZCPH=90°,

：.NPCQ=/CPH,

由旋转知PC=PC,

:APQC%LCHP(A4S).

设则PQ=CH=8,CQ=PH=6-x,QA=PQ-PA=x-4.

\'CQ±AB,CH±AB,

：.CQ//CH,

：./\AQCs丛AHC,

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.C'QQA

CH=HA

•••6~x—x-4

86

••Dr,

7

②由旋转得△PCDg/XPC'D',CD=CD'

CDLCD'

X'."AB//CD,

：.CD'±AB

情况一：当以C'为直角顶点时，如图.

D，

'：CD'±AB,

：.C落在线段朋延长线上.

'JPCLPC,

J.PCLAB,

由（1）知，PC=8,

：.BP=6.

情况二：当以4为直角顶点时，如图,

第11页共43页

R'

图1

设CD与射线BA的交点为T,

作SLAB于点"

VPC1PC,

：.ZCPH+ZTPC=9Q°,

:点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D',

：.ZCPD=ZCPD'=90°,PC=PD,PC=PD',

：.ZCPD=ZCPD',

.•.△PCD^APCD'CSAS),

：.ZPCD^ZPCD',

'."AB//CD,

：.ZBPC=ZPCD=ZPCD1,

：/C'PT+/CP8=90°,

:./CPT+NPCT=90°,

；./尸7。=90°=ZCHP,

:.△CPgXPCT(AAS),

：.CT=PH,PT=CH=8.

设C'T=PH=t,贝ijAP=6-t,

：.AT^PT-B4=2+r.

,：ACAD,=90°,CD'LAB,

：.△ATO,s丛cTA,

.ATCT

"TDy=TA'

：.A7Z=CTTD',

：.(2+r)2=t(12-r),

化简得尸-4f+2=0,

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解得t=2+&，

/.BP=BH+HP=8±V2-

情况三：当以。为直角顶点时，

点尸落在瓦1的延长线上，不符合题意.

综上所述，BP=6或8±企.

②方法二：

动静互换：将C、。看成静止的，点A绕尸点顺时针旋转90°,

，AAZM1是等腰直角三角形，

点轨迹是在NBAE=45°的射线AE上，

当△A1C。为直角三角形时，

(z)当乙418=90。时，

ZBPlAi^90°,

.\BP1=^lQ2-82=6；

(H)当点A为直角时，

以CD为直径作圆。交AE于点A2、A3.如图所示，

则XAOE为等腰直角三角形，

•・工。=8,

，4E=8&,OF=4®

：.A2F=A3F=2,A尸=4&,

.".AA2=4y[2+2,

.MP2=4+&

BP2=12-(4+V2)=8-&,

(Hi)443=4a-2,

.'.AA3=4--我，

：.BPi=12-(4-V2)=8+&,

综上所述：BP=6或8±料.

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【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等知

识，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

7.(2023•宁波)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等

两邻边的夹角称为邻等角.

耳菖二:

图1图2

(1)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,对角线8。平分/AOC.求证：四边形A8C。

为邻等四边形.

(2)如图2,在6X5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形A2CD是邻等四边形，请画出

所有符合条件的格点D.

(3)如图3,四边形A3C。是邻等四边形，ZDAB=ZABC^9Q°,为邻等角，连结AC,过2

作8£〃AC交ZM的延长线于点E.若AC=8,DE^IO,求四边形EBCD的周长.

【思路点拨】(1)根据邻等四边形定义证明即可;

(2)根据邻等四边形定义利用网格即可画图;

(3)先证明四边形AEBC是平行四边形，得AE=BC=OC,设AE=BC=Z)C=x,得-AE=10

-x,过点。作。凡LBC于点凡得矩形ABF£>,WAB=DF,AD=BF=1O-x,CF=BC-BF=x

(10-x)=2x-10,根据勾股定理得82-/=/-(2x70)2,求出了的值，进而可得四边形

的周长.

【解析】(1)证明：在四边形4BCD中，AD//BC,ZA=90°,

AZABC=180°-ZA=90°,

:对角线2D平分NA£)C,

ZADB=ZCDB,

'：AD//BC,

/ADB=NCBD,

：.ZCBD=ZCDB,

：.CD=CB,

四边形ABCD为邻等四边形；

(2)解：如下3个图，点、D'、D、。〃即为所求;

第14页共43页

图2T图21图2-3

(3)解：如图3,四边形ABC。是邻等四边形，

:.CD=CB,

'：ZDAB=ZABC=90Q,

J.AD//BC,

,JBE//AC,

四边形AEBC是平行四边形，

.,.EB=AC=8,AE=BC,

：.AE=BC=DC,

设4£=2。=/^7=彳，

VDE=10,

：.AD=DE-AE=IO-x,

过点。作。F，BC于点R得矩形ABFD,

：.CF=BC-BF=x-(10-尤)=2x-10,

在RtAABE和RtADFC中，根据勾股定理得：

B呼-AE2=AB2,CD1-CF2=DF1,

ABE2-AE1=CD2-CF2,

；.82-7=_?-(2x70)2,

整理得x2-20x+82=0,

解得尤1=10-3加，X2=10+3加(不符合题意，舍去)，

:.CD=CB=1Q-3如,

，四边形EBC。的周长=BE+DE+2CO=8+10+2义(10-372)=38-6&.

【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次

第15页共43页

方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义.

---------1解题秘籍I---------

临/考/抢/分/宝/典

L平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；

（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。

2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相

等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平

分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，

四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

---------1押题预测।------------

中/考/预/测/押/题

1.如图，已知四边形A2C。是菱形，延长AD至点E,使AE=2BC.

（1）求证：ZACE=90°；

（2）若AC=16,BC=10,求四边形48CE的面积.

【思路点拨】（1）根据菱形的性质得出AD=DC,进而利用直角三角形的判定解答即可;

（2）连接交AC于O,利用菱形的性质和直角三角形的面积公式解答即可.

【解析】（1）证明：二•四边形A8CO是菱形，

：.AD=DC=BC,

'：AE=2BC,

：.AD=DE=DC,

：.ZDAC=ZDCA,ZDCE=ZE,

VZDAC+ZDCA+ZDCE+ZE=180°,

AZDCA+ZDCE^9Q°,

：.ZACE=90°；

（2）解：连接交AC于O,

第16页共43页

•・•四边形A3CO是菱形

：.AC.LBDf

VAC=16,BC=10,

・・・0C=8,BC=10,

・•・OB=VBC2-0C2=7102-82=6，

：.BD=12,

四边形4BCE的面积=S菱形g+S.wS菱形皿蒋S菱形畋D4'X/X16X12=144.

【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直和四条边相等解答.

2.已知：如图，在团ABCD中，对角线AC,8。相交于点O,ZOAB=ZOBA.

(1)求证：EL4BCD是矩形.

(2)若AO=4,ZAOB=120°,求对角线AC的长.

【思路点拨】(1)由等边三角形的性质得。4=。3,再由平行四边形的性质得0B=0D=」2D,OA=

2

OC=2AC,则2£>=AC,即可得出结论；

2

(2)由矩形的性质得/54。=90°,则/4。8=30°,再由含30°角的直角三角形的性质求解即可.

【解析】(1)证明：•.•/。42=/0氏4,

：.OA=OB,

四边形ABCD是平行四边形，

：.OB=OD=^-BD,OA=OC=-AC,

22

：.BD=AC,

团ABC。是矩形；

(2)解：•.困4BCD是矩形，

AZBA£)=90°,

V120°,

第17页共43页

AZABD=ZOAB=30°,

：.BD^2AD^S,

：.AC^BD=S.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩

形的判定与性质是解题的关键.

3.(2024•萧山区一模)如图，菱形A8CD中，尸是上一动点，过尸作PGLAC交BC于点G,垂足为

E,连结AF,AG.

(1)求证：AF—AG.

(2)当/D4B=100°,时，试求/AFG的度数.

【思路点拨】(1)证明(SAS),可得结论;

(2)证明△ABG是等边三角形，可得结论.

【解析】(1)证明：•••四边形A2C。是菱形，

ZACD=ZACB,

'JFGLAC,

:.NCEF=NCEG=90°,

：.ZCFE+ZACD=90°,ZCGE+ZACB=90°,

：.ZCFE=ZCGE,

:.CF=CG,

在△ACF和△ACG中，

'CF=CG

<ZACF=ZACG-

AC=AC

/.AACF^AACG(SAS),

：.AF^AG；

(2)解：:四边形ABC。是菱形，

J.AB//CD,ZDAC=ZBAC=^ZDAB=^X10Q°=50°,

22

/.ZA£)F=180°-ZDAB=80°,

'：AD^AF,

第18页共43页

：.ZD=ZAFD=80°,

AAFAC=ADAC-ZDAF=50°-20°=30°,

,/AACF^AACG,

：.ZCAF=ZGAC^30°,

ZMG=60°,

'：AF=AG,

/XAFG是等边三角形，

/.ZAFG=60°.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是正确寻找全等三角形解决问题.

4.【背景】如图（1）,HE,尸分别是正方形ABC。的边AD,A3的中点，CE与。月相交于点P,连接

BP.同学们在研究图形时，作。8〃2尸交CE于点X,发现：DH=/BP.他们通过作三角形的中位线，

构造全等三角形，找到与线段。//相等的线段，得到了多种方法证明DH=^BP成立.

【猜想】若把正方形ABC。改成平行四边形ABC。，其余条件不变，如图（2）,结论DH=^BP是否还

成立？请说明理由.

【延伸】在图（2）的条件下连接88,那么四边形尸的面积和43尸尸的面积有什么关系？请说明理

由.

【思路点拨】【猜想】延长CE交BA的延长线于点N,取NP的中点连接AM,证明AAEN四△OCE

（AAS）,得出AN=DC,证出AM//PB,AM=^PB,证明△OEHg/XAEM（AAS）,得出DH=AM,

2

则可得出结论；

【延伸】连接BO,AP,BH,证明△PCDS^PNF,得出里旦1=2,由三角形面积可得出结论.

NFPF3

【解析】解：【猜想】8P结论在平行四边形的情况下也成立；

2

理由：延长CE交BA的延长线于点N,取NP的中点M,连接AM,

第19页共43页

DC

J.AB//CD,AB=CD,

:・/N=/ECD,/EDC=/NAE,

又•・,石为AO的中点，

：.AE=DE,

工AAEN学ADCE(A4S),

：.AN=DC,

：.AN=AB,

*：MN=MP,

：.AM为△P3N的中位线，

J.AM//PB,AM=^PB,

2

,:DH〃PB,

：.AM//DHf

：.ZDHE=ZAME,/EDH=NEAM,

'：AE=EDf

：./\DEH^/\AEM(A4S),

：.DH=AM,

：.DH=^BP；

2

【延伸】四边形BHDP的面积=z\8尸尸面积.

理由：连接5。，AP,BH,

•・,尸为AB的中点,

•*-^F：=yAB=yAN?

・,.AN=^■丽，

VAB/7CD,AN=CD,

:•△PCDs^PNF,

•・•—CD—_PD—2j

NFPF3

第20页共43页

S^PBD：SNFB=2：3,

'：DH//PB,DH=~PB,

2

:.S&DHB:SAPDB=1:2,

设SADHB=X,贝。SADPB=2X,

••S^PFB~~3%,

'•"S四边形BHPD=SADHB+SADPB=3X,

S酮i形BHPD=S&BPF.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定

理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

5.已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点。旋转(DE<AB),ZEDF=90°,DE=DF,连接AE、

(2)直线AE与C尸相交于点G.

①如图2,BM_LAG于点M,BNLCF于点、N,求证：四边形BA/GN是正方形；

②如图3,连接3G,若A2=6,DE=3,在ADEF旋转的过程中,请直接写出线段8G长度的最小值为

【思路点拨】(1)根据SAS证明三角形全等即可；

(2)①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；

②作O//LAG交AG于点“，作于点证明△BMG是等腰直角三角形，求出的最小值,

可得结论.

【解析】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

：.AD=DC,ZAZ)C=90°,

,:DE=DF,ZEDF=90°,

：.ZADC=ZEDF,

：.NADE=NCDF,

.'.△ADE乌MDF(SAS)；

第21页共43页

(2)①证明：如图2,设AG与相交于点尸.

ZADP=90°,

ND4尸+N0B4=9O°,

*.，△A。3△CD尸，

：.ZDAE=ZDCF.

9：ZDPA=ZGPC,

：.ADAE+^DPA=ZGPC+ZGCP=90°.

ZPGN=90°,

VBM±AG,BALLGN,

J四边形3MGN是矩形，

・•・ZMBN=90°

•・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NABC=NMBN=90°.

ZABM=ZCBN.

又丁ZAMB=ZBNC=90°

:.AAMB咨ACNB(ASA).

：.MB=NB.

・•・矩形3MGN是正方形；

②解：作DH_LAG交AG于点〃，作5MLAG于点M,

第22页共43页

G

DC

此时△AMBgZXAHO.

：.BM=AH,

AH2=AD2-DH2,AD=AB=6,

.,.DH最大时，AH最小，DH=DE=3,

BM—AH—,g2_§2—3^/3,

：.BM=AH=4,

由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，

:.BG最,\、=MBM=3娓,

故答案为：3^/6.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的

判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题

6.在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张A4纸进行折纸.

下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸(矩形ABC。的长：宽=2\历：1)折特殊三角形的方法,

我们一起来探究其中的数学原理.

(1)折法一：如图1,将矩形ABC。的顶点。与8C边上的任意一点G重合对折，折痕为求证:

△EFG是等腰三角形.

(2)在折法一的条件下，若£是的中点，求sin/EGP的值.

(3)折法二：如图2,先折出一个正方形CDHF,折痕为CH,再将点D折到B尸上并让折痕过点F,

折痕为EF,点。的对应点为点G.求证：EH=BG.

第23页共43页

【思路点拨】(1)由矩形的性质和折叠的性质可以得出NGEF=NEEB,即可得出结论;

(2)设4O=BC=2MX,AB=CD=X,求出EG=ED=1AO=我X,过E作EH_LBC于〃，贝!JE”

2

AB=x,根据锐角三角函数的定义即可求解；

(3)分别求出即、BG的长，即可得出结论.

【解析】(1)证明：由折叠的性质得/OEb=NGEF.

.四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEF=ZEFB,

：.ZGEF=ZEFB,

：.GE=GF,

.•.△EFG是等腰三角形；

(2)解：如图，过点E作于点"

：.AD//BC,AB^CD,ABVCD,

：.EH=AB,

设4O=BC=2&x,AB=CD=x,

是A。的中点，

：.EG=ED=—AD=y[2x,

2

.♦.sinNEGF的值为亚；

2

(3)证明：设AD=BC=2&x,AB=Cr)=尤,

,/四边形CDHF是正方形，

DH=HF=CF=CD=x,

第24页共43页

：.FG=42x,

:.BG=BC-FG-CF=2迎x-®x-x=®x-x,

由(1)知GE=GB=&x,

由折叠的性质得DE=GE=®x,

：.EH=DE-DH=yf2x-x,

：.EH=BG.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和折叠的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的

定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

7.综合与实践

【问题情境】

如图1,小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B

的对应点记为夕，折痕与边AZ),BC分别交于点E,F.

【活动猜想】

(1)如图2,当点)与点。重合时，四边形2即月是哪种特殊的四边形？并给予证明.

【问题解决】

(2)如图1,当AB=4,AO=8,BF=3时，连结8'C,则3'C的长为4.

【深入探究】

(3)如图3,请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？

A'

AD

AVE/XDA上E/^\

BFCBF(7BFC

图1图2图3

【思路点拨】(1)由折叠可得：EFLBD,OB=OD,再证得△BFO2ADEO(ASA),可得OE=OF,

利用菱形的判定定理即可得出答案；

(2)设与30交于点过点8'作8K_LBC于K,利用勾股定理可得8。=4粕，再证明△BFM

第25页共43页

S£\BDC,可求得宜，进而可得2次=坦叵，再由△28'KsABDC,可求得2'K=12,

555

BK=22,CK=BC-BK=8-甦=凶，运用勾股定理可得9C=4；

555

(3)设/O4B=NOA4=a,则NOBC=90°-a,利用折叠的性质和平行线性质可得：ZAB'B=NAOB

=a,再运用三角形内角和定理即可求得a=60°,利用解直角三角形即可求得答案.

【解析】解：(1)当点B'与点。重合时，四边形BMP是菱形.理由如下：

设E尸与8。交于点0,如图2,

：.ZB0F=ZD0E=9Q°,

•••四边形4BCD是矩形，

J.AD//BC,

：.ZOBF^ZODE,

：.ABFO^^DEO(ASA),

：.0E=0F,

•••四边形BED尸是菱形；

(2):四边形ABC。是矩形，A8=4,AD=8,BF=3,

：.BC=AD=8,CD=AB=4,ZBCD=90°,

:.CF=BC-BF=8-3=5,

•*-BD=7BC2CD2=VS2+42=4心

如图1,设EP与交于点M,过点2,作/KL2C于K,

由折叠得：ZA'B'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

'：ZFBM=ZDBC,

第26页共43页

丛BFMs丛BDC,

即

ABM=BFJ3

'BCBD'84A/5'

色叵，

5

：.BB'=,

5

•:NBKB'=ZBCD,ZB'BK=ZDBC,

:ABB'Ks^BDC,

12>/5

.B?K_BK_BBy即B'K_BK_5

CDBCBD4T4V5

:.B'K=4BK=%

55

故答案为：4；

(3)当时，始终有A'B'与对角线AC平行.理由如下:

•••四边形ABC。是矩形,

：.OA=OB,ZABC=90°,

BC=MAB,

.,.tan/2AC=^=«,

AB

ZBAC=60°,

AAOAB是等边三角形，

AZABO=ZAOB=60°,

由折叠得：/A'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故当8C=«AB时，始终有A'B'与对角线AC平行.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质,

等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等,

涉及知识点多，综合性强，难度较大.

8.综合与实践

问题情境：

第27页共43页

如图1,在正方形ABC。中，2。是对角线，过点A作E为垂足，过点。作AE的平行线，过

点A作2。的平行线，两线相交于点?

问题解决：

(1)判断四边形AEOF的形状，并说明理由；

深入探究：

(2)如图2,将四边形AEZJF绕着点A逆时针方向旋转a(0°<a<90°)，得到四边形AE'D'F',

且C,，F'三点在同一条直线上，过点B作BGLCE',G为垂足，连接8E'并延长交。尸'于点

H,

①求证：G是CE，的中点；

②若正方形ABCD的边长为2,请直接写出BH的长.

【思路点拨】(1)证明四边形中是平行四边形.由正方