2024年高考数专项复习：不等式2

4、不等式2024年高考数专项复习

5、基础整合

1.比较两实数大小的理论依据

a>bo;

a=b;

a>bo;

*总结*比较两个实数的大小，一般用作差法，有时也用作商法。

它们的一般步骤是作差(商)f变形一判断差与0(商与1)的大小一定论。

2.不等式的性质

(1)对称性：

a>bo.

(2)传递性:

a>b,b>co.

(3)加法法则：

a>boa+c___b+c;

a>b,c>d=•

(4)乘法法则：

a>b,c>0=^.

a>b,c<0=;

a>b>0,c>d>0^>.

(5)倒数法则：

a>b,ab>0=>.

(7)开方法则：

a>b>0=>(fieN,n>1).

例1若a<b<0,则下列不等式中，不能成立的是()

11□_1

>22

A.aB.a-baC.|a|>\b\D.a>b

例2若,贝!I■成立的一个

充分不必要条件是(夕b

A.ab>0B.b>aC.a<b<0D.ab（a一力）V0

例3⑴若x<j<0，试比较（J+y,x-y）

与（x?-y2）（x+y）的大小；

（2）设。>0,"0，且，试比较aabb与d"的大小.

例4已知一1<。+方<3且2<a—〃<4,求2a+3〃的取值范围.

进阶练习

,则下列不等式:⑴a+『<a砥2）同〉网;

ab

ba八

—H-―>2....

(3)a<b;（4）ab中，正确的有

()

A.4个B.3个C.2个D.1个

2、若log」>log”>0,则下列不等式中成立的（）

3.已知a>b>0,且ab=l

N=1咤0b,M=1咤°ab,则()

A.P<M<NB.M<P<N

C.N<P<MD.P<N<M

不等式的解法

一、知识要点:

1.一元一次不等式的解法

一兀一■次不等式ax>b的解集为：

①当a〉0时,解集为.

②当a<0时,解集为.

③当a=0时，若6>0,则解集为

若b<0,则解集为.

2.一元二次不等式的解法：

设a>0内,x2是方程aJ+人久+c=0的两实根，且％与

一元二次不等式的解集如下表所示：

法支型

ax+bx+c>0ax+6%+c，0

MX

A〉0i%1%W4或%'I

A=0

A<0

ax+bx+c<0ax+bx+c0

A>0

A=0

A<0

3.分式不等式的解法

先将不等式整理为公>0或得N0的形式，再转化

为整式不等式求解，即

/(x)

>00

g(%)

4.简单的一元高次不等式的解法

一元高次不等式/(%)>0,用数轴标根法(或称区间法、穿根法)

求解，其步骤是(1)将/(%)的最高次项的系数化为数；

(2)将/(4)分解为若干个或二次因式之积；

(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，按照次根依次

穿过,次根穿而不过规则，从依次通过每一

点画曲线；

(4)根据曲线显现出/(%)的值的符号变化规律，写出不等式的

解集.

5.解含绝对值不等式的思路:化去绝对值符号，转化为不

含绝对值的不等式

解法如下：

(1)1/(%)I<a(a>0)0；

(2)1/(%)I>Q(Q>0)<=>；

(3)1/(%)I<g(%)=;

(4)1/(%)I>g(%)=;

(5)I/(x)I<Ig(%)I=;

(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段

法求解，对于形如Ix-a\+1x-b\>〃i或Ix-a\+Ix-b\

<加(机为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求

解较简便.

6.指数不等式的解法

当a>1时,a""〉ag<r)与/(*)>g(x)同解;

当0<a<1时,a"">ag(v>与/(%)<g(x)同解.

7.对数不等式的解法

当a>1口寸>logag(x)与不等式组

|g(x)>0同解;当0<a<1时,logj(%)>logQg(x)与

小)>0

不等式组g(x)>0同解.

f(x)<g(工)

二、基础练习

1、不等式I一|<1的解集是()

X-1

A.|%I0<x<1jU!xI%>1[

B.jxI0<%<1}

c.!%I-i<%<o|

D.)xIx<0i

2>0<b<l+a,若于x的不等式

(%-6)2>(皈)2的解集中的整数恰有3个，则()

A.-1<a<0B.0<a<1

C.1<a<3D.3<a<6

入不等式三的解集是

三、能力提高

■窖一元一次不等式的解法

【例1】已知关于冗的不等式(a+6)%+(2Q-36)<0

的解集为(-8,-,求关于X的不等式

(a-36)%+(6-2a)>0的解集.

题避之|一元二次不等式的解法

【例2】解关于％的不等式al一(Q+1)久+1<0.

题理晅含绝对值不等式的解法

【例3】解下列关于冗的不等式：

(1)1x-x~-2I>x-3x-4；

(2)Ix+1I>1x-3I.

题图画简单一元高次不等式的解法

【例5】解不等式：

⑴2城-%2-15%>0；

(2)(%+4)(%+5*2-%)3<0.

■型面分式不等式的解法

【例6】解不等式:丁③三二5W2.

x+2%-3

题，型服含参数不等式的解法

【例7】解关于%的不等式一％一1>0.

x-x-2

不等式的解法

一、知识要点：

1.二元一次不等式Ax+By+C>0(或++C<0)

表示的平面区域.

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0；

(2)在直线的一侧任取一点玖%,%),特别地，当。丰0

时，常把原点作为此特殊点.

(3)若4%+约0+C>0,则包含此点P的半平面为不等式

Ax+By+C>0所表示的平面区域，不包含此点P的

半平面为不等式4%+By+C<0所表示的平面区域.

用二元一次不等式确定平面区域的方法是:线定边界，点

定区域.定边界时须分清虚实(带等号者画为实线，不带等号者

画为虚线)，定区域时常选原点(。六0时)或(1,0)点或(0,1)

点(。=0).

若满足，则点P(x,y)在直线4%+By+C=Q

的上方:若满足，则点P(x,y)在直线4%+By+C

=0的下方.

2.线性规划的有关概念

(1)线性约束条件——由条件列出的一次不等式(或方程)组.

(2)线性目标函数一由条件列出的一次函数表达式.

(3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或

者最小值问题.

(4)可行解:满足的解(*y).

(5)可行域:的解集.

(6)最优解:使取得最大值或最小值的可行解.

3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤

(1)作出可行解、可行域.将约束条件中的每一个不等式

所表示的平面区域作出，并求其公共部分.

(2)作出目标函数的.

(3)确定最优解.在可行域内平行移动目标函数等值线，

从而确定.

(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或

最小值.

4.利用线性规划解决实际问题的一般步骤

(1)认真分析实际问题的背景，并收集有关数据(必要时

可通过列表完成).

(2)确定未知量和建立目标函数.

(3)利用3中的相关步骤确定最优解.

(4)分析、归纳、作答(有些实际问题应注意其整解性).

二、基础练习

.x+yW3,

1.(1)(2010天津,2)设变量满足约束条件，x-yM-1,则

目标函数z=4x+2y的最大值为()

A.12B.10C.8D.2

人已知。是由所确定的

平面区域，则圆J+y2=4在区域。内的弧长为()

A工B—

A。42

3TT

RD—

C-T,2

2x+j-6>0

3、设r、y满足约束条件x+2y-640

J>0

则目标函数z=x+y的最大值是()

A.3B.4C.6D.8

3x-j-6>0

4、设r、y满足约束条件x-y+220,若目标也

x>0,j>0

91

数z=ax+by(a>0,6>0)的最大值为12,则一+丁的

ab

最小值为()

A.曾B.。C.;D.4

o33

三、能力提高

题国M线性区域问题

【例1】画出下列不等式或不等式组表示的平面区域

(1)3%+2y+6>0

/%-2y+1>0

(2)\%+2y+lNO

'1<1%-2IW3

题应用线性规划求最值

产一y+220

【例2】已知卜+y-4,0，求：

2%-y-5W0

(1)z=%+2y-4的最大值；

(2)z=x~+y-10y+25的最小值;

(3)z=马々"的范围.

x+1

题避富简单线性规划的实际应用

【例3】制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利,

而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目

可能的最大盈利分别为100%和50%,可能的最大亏损率分

别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求

确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个

项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

基本不等式

一、知识要点：

2

1.基本不等式:设a/eR,则①1NO,②+bM2血

要认识到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较

复杂的代数式，应用广泛.

2.均值不等式:设a,3wR+,则审，向■，当且仅当

时，不等式取等号.

3.若a26>0,则aN；°^，

一~~r三6,当且仅当a=b时各式中等号成立.

a+b

4.利用均值定理求最值.

（1）若％，夕GR+且％y=p（定值），则当％=y时,％+y有

最值2版

（2）若％,yGR"且兆+y=S（定值），则当％=y时，劭有

最值｝.

二、基础练习

1、设a>0,5>0.若石是3"与3"的等比中项，

则^—f--y-的最小值为（）

ab

A.8B.4

C.1D.4-

4

2.(2010四设a>6>0,贝"a?+二+/1不的最小值是()

aba{a-b)

A.1B.2C.3D.4

3、已知aNO,ANO,且a+5=2,贝!)()

A.ab这B.ab2~r~

22

C.a+b2^2D.a2+623

/_4/+1

.已知t^^，则函数,二^^^的最小值为

4、t

三、能力提高

题=不等式的证明

【例1】已知%>0,y〉0,z〉0.

求证：（2+二）（二+二）（三+上）28.

xxyyzz

题利用基本不等式求最值

1Q

【例2】（1）已知％>0,y>0,且L+之=1,

xy

求％+父的最小值；

（2）已知无<今,求函数y=4x-2+彳三的最大值.

（3）若％,ye（0,+8）且2欠+8y-%y=0,求%+y的

最小值.

利用均值不等式解实际应用问题

【例3】为了竖一块广告牌，要A

创造三角形支架.三角形支架/

如右图，要求乙4cB=60。,8C//

长度大于1米，且4c比"长//

0.5米.为了广告牌稳固，要求T------------

4c的长度越短越好，求4。

最短为多少米?且当4c最短时,3。长度为多少米?

不等式的综合应用

一、知识要点：

1.利用不等式求最值

这类问题就是创造不等式定理的条件，利用不等式定理

求函数式的最值.

2.函数方程与不等式的应用题.

这类问题主要是通过转化的思想方法，将函数性质与方

程的根以及不等式的解集密切联系起来，通过解不等式，

以求原问题的解.

5.不等式中恒成立问题的求解方法

解答不等式恒成立问题的基本思路是借助函数思想，通

过不同的角度构造函数，借助函数图象或利用判别式来解决.

常见的思路有以下三种：

(1)分离参变量通过等价变形，将变量与参数量从整体

式中分离出来，转化为

/(%)>(或<、2、W)a恒成立问题.

①若/(")在定义域内存在最大值机,则/(%)<a(/(x)W

a)恒成立Oa>zn(a2m)；

②若/(%)在定义域内存在最小值帆，则/(%)>«(/(%)2

a)怛成立<zn(aW机)；

③若/(x)在其定义域上不存在最值，只需找到/(*)在定

义域上的最大上界(或最小下界)%即/(%)在定义域上增大

(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两

种情况下的外只是等号均可取到.

(2)借助函数图象或利用判别式来求解.

将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正(或非

负)，恒负(或非正)的问题，再借助图象或利用判别式来解

决.

(3)借助两个函数图象比较两函数值的大小.

通过构造两个函数，画出它们的图象，通过图象来比较两

个函数值的大小，即数形结合法来解决恒成立问题.

二、基础练习

f2x-J+2>0

1、设满足约束条*8x-y-440,若目标

[x>0,j>0

函数z=abx+y(a>0,6>0)的最大值为8,贝!]a+6的最小值

为.

2、若集合4={"|2"-1|<3},5=卜|与?<0},则4门5是()

A.{%I-1<x<—或2<x<3}

B.I2<x<3!

C.{xI——<x<21

D.|xI-1<x<——|

3、不等式|x+3|-|x-l区，_3a对任意实麴恒成立,

则实数z的取值范围是()

A.(-oo,-1]U