四川省天府名校2023届高三模拟二理科数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B．C． D．2．若z的共轭复数为，且，则（）A． B． C． D．3．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（）A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间4．的展开式中的系数为（）A．9 B．15 C．21 D．245．已知，且，则（）A． B． C． D．6．某校举办演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再将剩下的分数的平均分，作为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，…，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别应为（）A．，86 B．，87 C．，87 D．，867．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）．给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上．其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．39．某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（）A．168 B．192 C．240 D．33610．已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（）A． B． C． D．11．在四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足则的最大值为__________．14．已知，，若向量，的夹角为，则__________．15．如图，在平面四边形ABCD中，，，为等腰直角三角形，且，则AC长的最大值为__________．16．已知抛物线，圆M过定点，圆心M在C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，记，，则的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某市对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果（结果分为“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，得到如下的列联表：良好以下良好及以上合计男350200550女250100350合计600300900（1）计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．18．（12分）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分）已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，又．（1）在线段PB上找一点G，使得平面平面PDE，并说明理由；（2）在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆过点，离心率．（1）求E的方程；（2）设直线与E交于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得对任意实数k，直线AM，BM的斜率乘积为定值？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数在上的最大值为．（1）求a的值；（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，P为曲线（为参数）上的动点，若将点P的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点Q，记点Q的轨迹为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）设A，B是上异于极点的两点，且，求面积S的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记函数的最大值为M，若，证明：．2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二参考答案1．C．分析：集合，则．故选C．2．D．分析：因为，所以，所以，故选D．3．C．分析：对A，直方图中2.5小时至3小时之间的频率为，故所抽取的学生中有人在2.5小时至3小时之间完成作业，所以A正确；对B，由直方图得超过4小时的频率为，所以B正确；对C，由直方图可计算学生做作业时间的平均数的最大估值为：，所以C错误；对D，做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的频率为，所以D正确．故选C．4．A．分析：含的项为．故选A．5．D．分析：，即，解得或，因为，所以，得，故选D．6．B．分析：由程序的运行过程知，该程序是计算，，，，5个数据的平均数，当时跳出循环，所以应填，由5个数据分别是78，86，85，92，94，计算平均数为，故选B．7．B．分析：假设E，F分别为所在棱的中点，即可判断①③正确，②错误．故选B．8．A．分析：由可得．设，可得，得，则C的离心率为．故选A．9．C．分析：若两名男生相邻，则不同的安排方法有；若两名男生之间恰好1人讲演，则不同的安排方法有，所以满足题意的不同安排方法总数为240．故选C．10．D．分析：易知，因，必有，或者，，由，，分别得到，．于是，，或者，，得的最大值为．故选D．11．A．分析：四面体ABCD的四个面为全等的等腰三角形，所以四面体可扩充为一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，且面上的对角线分别为3，3，4，并且，，，设球半径为R，则有，可得，所以球的表面积为．故选A．【点睛】本题利用割补法，将四面体放到一个长方体内是解题的关键之一，长方体的对角线是其外接球的直径是求球直径的一个常用方法，应掌握．12．D．分析：由题意，．当时，．因此，，即，故选D．【点睛】本题比较大小的关键是抓住相关函数的单调性，将可以化为同一个函数不同自变量的两个函数值直接进行比较．13．1．分析：不等式组所表示的平面区域为由点，，三点连线构成的三角形区域及其内部，设直线，即，当截距最小时z取得最大值，得过点时，z取得最大值1．14．．分析：由题，，解得．15．6．分析：设，则由余弦定理可得，故，且，由题设可得，，在中，由余弦定理可得，整理得，设，，则，，有，整理得到：，故，整理得到，即，即，当时，，，此时，因为，故此时唯一存在，综上，AC长的最大值为6．【点睛】本题是与解三角形有关的最值问题，应该根据正余弦定理构建关于变量的方程或方程组，从而利用三角函数的性质或基本不等式求最值，如果变量较多，则可消元，从而利用判别式等来求最值．16．．分析：设圆心，则①，半径，则圆M的方程为，令，则，解得．不妨设，，则，时，当且仅当时取等号，时，，故当时取最大值．17．解：（1）由题可得：良好以下良好及以上合计男350200550女250100350合计600300900，故没有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为，则可能值为0，1，2，3，4，记为的概率，则，，，，．则的分布列为：01234P所以的数学期望或．18．解：（一）选择①②为条件，③为结论，证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．则，，，因为是等比数列，所以，即，展开整理得，所以，即．（二）选择①③为条件，②为结论，证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．因为，即，因为，所以．所以，所以．因为，，所以是首项为q，公比为q的等比数列．（三）选择②③为条件，①为结论，证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．则，所以，又因为，且，所以．所以．当时，，所以，所以是首项为，公比为q的等比数列．19．解：（1）线段PB的中点即为所求点G．理由如下：连接BD交AC于点M，连接GM，PD，四边形ABCD是正方形，M为BD的中点，又G为线段PB的中点，则，又平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．又由题可证，又平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．又，GM，平面GAC，所以平面平面PDE．（2）由题，，，所以，直线平面PAE，所以，可知为二面角的平面角，则，如图，以E为坐标原点，EA，ED所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，则，，设平面PAC的法向量，由得取，得，又，设直线CG与平面PAC所成角为，则．所以直线CG与平面PAC所成角的正弦值为．20．解：（1）由题可得，①又有，即，得，整理得，②将②代入①，解得，，故E的方程为．（2）设存在点满足条件．记，．由消去y，得．显然，判别式，所以，，于是．上式为定值，当且仅当，解得或．此时，或．所以，存在定点或者满足条件．21．（1）解：，因为，所以，又，所以，即．当时，，所以在区间上递增，所以，解得．当时，，所以在区间上递减，所以，不合题意．当时，，不合题意．综上，．（2）设，则，所以在上单调