新教材高中数学第5章三角函数31第1课时正弦函数余弦函数的图象课件湘教版必修第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的图象第5章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解利用单位圆、正弦函数的概念画正弦曲线的方法.(数学抽象)2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤与方法,能利用“五点法”画出简单的正弦、余弦函数图象.(直观想象)3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习情境导入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.知识梳理知识点一:正弦函数的图象1.正弦曲线正弦函数y=sinx,x∈R的图象称为正弦曲线.2.正弦函数图象的画法

(1)几何法:①利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象;②将图象不断向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).(2)“五点法”:①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点②将所得图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).微练习用“五点法”画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点(

)C.(π,0)D.(2π,0)答案

A微思考为什么把正弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变?提示

由诱导公式一sin(x+2kπ)=sin

x,k∈Z可得.知识点二:余弦函数的图象1.余弦曲线余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫作余弦曲线.2.余弦函数图象的画法

要点笔记对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.微判断(1)正弦函数y=sinx的图象向左右和上下都能无限伸展.(

)(2)函数y=sinx与y=sin(-x)的图象完全相同.(

)答案

(1)×

(2)×微练习函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有

个.

答案

2课堂篇探究学习探究一用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的图象:(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];解

(1)列表:描点、连线,如图.(2)列表:反思感悟

用“五点法”画函数y=Asin

x+b(A≠0)或y=Acos

x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤.(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin

x+b(y=Acos

x+b)(A≠0)的图象.作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度.变式训练1画出函数y=3+2cosx,x∈[0,2π]的简图.解

列表如下:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,得函数y=3+2cos

x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.探究二利用“图象变换法”作三角函数的图象例2利用图象变换法作出下列函数的图象:(1)y=1-cosx,x∈[0,2π];解

(1)作出函数y=cos

x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到函数y=-cos

x的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得函数y=1-cos

x的图象(如图1).图1延伸探究1在本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?因此首先作出函数y=sin

x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上方即可得到函数y=|sin

x|的图象,其图象如图所示.反思感悟

图象变换的规律(1)平移变换①函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;②函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.(2)对称变换①函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;②函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;③函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;④函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;⑤函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.探究三正弦(余弦)函数图象的应用反思感悟

1.用三角函数的图象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法:(1)作出y=a,y=sin

x(或y=cos

x)的图象.(2)确定sin

x=a(或cos

x=a)的x值.(3)确定sin

x>a(或cos

x>a)的解集.2.利用三角函数线解sin

x>a(或cos

x>a)的方法:(1)找出使sin

x=a(或cos

x=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.素养形成利用数形结合思想求解与正弦(余弦)函数有关的方程的解典例(1)方程x2-cosx=0的实数解的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3(2)方程lgx=sinx的解的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3分析两个方程均无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=cos

x,y=x2以及y=sin

x和y=lg

x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.答案

(1)C

(2)D解析

(1)在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=cos

x与y=x2的简图,如图所示,可知原方程有两个实数解.方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是三角函数或指数、对数函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.当堂检测1.用“五点法”作函数y=2-3sinx的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是(

)A.(0,2)

答案

B答案

D