九年级数学中考复习圆解答综合练习题

九年级数学中考复习《圆》解答综合练习题(附答案)

1.如图，△48C中，ZA=45°,。是NC边上一点，过。、A.B三点,OD//BC.

(1)求证：直线BC是。。的切线；

(2)OD,4B相交于点E,^AB=AC,OD=r,写出求4E■长的思路.

2.如图，4B是。。的直径，点C在4B的延长线上，CL•与。。相切于点。，CELAD,交

AD的延长线于点E.

(1)求证：/BDC=/A；

(2)若CE=4,DE=2,求O。的直径.

3.如图，是。。的直径，4E是弦，直线CG与。。相切于点C,CG//AE,CG与BA

的延长线交于点G,过点C作CO3于点。，交4E于点、F.

(1)求证：AC=CE；

(2)若NEAB=3Q°,CF=a,写出求四边形GNFC周长的思路.

4.如图，△/BC内接于直径。48于点尸，交BC于点M,OE的延长线与NC的

延长线交于点N,连接NM.

(1)求证：AM=BM-,

(2)若DE=8,ZN=15°,求BC的长.

5.如图，在Rta/CB中，NC=90°,。是上一点，以为直径的。。切/C于点

交3C于点巴连接。尸.

(1)求证：DF=2CE-,

6.如图，CM和是O。的半径，并且CM，。。.P是CM上的任意一点，AP的延长线交

O。于点。，点区在3的延长线上，且收=R0.

(1)求证：R0是O。的切线；

(2)求证：OB2=PB'PQ+OP2-,

(3)当7MW0/时，试确定N8的取值范围.

BD

8.如图，△4BC中，AB=AC,以边8c为直径的。。与边AB,NC分别交于。，尸两点,

过点。作的切线DE,使。EJ_NC于E.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)过点E作防垂足为点〃，连接冏；若2c=4,求的长.

9.如图，△4BC中，AB=AC,以48为直径的。。与3c相交于点。，与C4的延长线相

交于点E,过点。作。。的切线交/C于点尸.

(1)求证：DFLAC；

(2)如果sinC=Y^,4E的长为2.求。。的半径.

O

10.如图，N8是。。的直径，4E是弦,C是劣弧/E的中点，过。作。8于。，过C

作CG〃AE交BA的延长线于点G.

(1)求证：CG是。。的切线；

(2)若NEAB=3Q°,CF=2,求NG的长.

11.如图，48为。。的直径，。。过/C的中点D,DE为。。的切线.

(1)求证：DELBC；

(2)如果2E=2,tanC=，,求。。的直径.

12.如图，在△NBC中，AB=AC,以为直径的。。分别交ZC,8c于点。，E,过点B

作的切线，交NC的延长线于点足

(1)求证：ZCBF^—ZCAB；

2

(2)连接区D,/£交于点H,若43=5,tanZCBF=—,求57/的值.

2

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,。是3C上一点，以。为圆心，0C为半径的圆过

上一点D.

(1)若NZ)=NC,求证：是。。的切线；

(2)若BE=4,BD=8,求CE和4D的长.

14.如图1,£是正方形/8CO的边N8上的一点，过点£作。E的垂线交//5C的外角平

分线于点尸，求证：FE=DE.

小韬同学是一位聪明好学而且有钻研精神的同学，他发现跖b=90°,于是

可以得到8、F、D、E四点共圆.

(1)请你帮小韬同学确定该圆的直径为

(2)请在图中作出该圆.小韬同学发现而对两个圆周角氏E=45°,于是△

DE尸为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了五

(3)通过以上材料解决下列问题，△NBC是等边三角形，。为边3C上一点，/4DE=

60°,DE交NACB的外角平分线于点E,于是猜测ADDE(">”"=”或“<”)，

并证明你的结论.

15.如图，A8是的直径，ZB=Z.CAD.

(1)求证：NC是的切线；

(2)若点E是前的中点，连接/£交3c于点尸，当BD=5,。=4时，求/尸的值.

16.如图，将线段N8绕点/逆时针旋转60°得NC,连接8C,作△N8C的外接圆。O,点

P为劣弧标上的一个动点，弦48、C尸相交于点D

(1)求的大小；

(2)当点P运动到何处时，PDLAB2并求此时CD：CP的值；

(3)在点P运动过程中，比较尸C与4尸+P3的大小关系，并对结论给予证明.

17.如图，已知CD是△NBC中48边上的高，以CD为直径的。。交C4于点E,点G是

的中点.

(1)求证：GE是0。的切线；

(2)若NC_LBC,且/C=8,BC=6,求切线GE的长.

c

18.已知：如图，在中，AB=AC,以8。为直径的半圆。与边45相交于点。，切

线。ELZC,垂足为点£

求证：(1)△45c是等边三角形；

(2)AE=4CE-

19.如图，是。。的直径，且点C为。。上的一点，ZBAC=30°,M是。4上一点，

过〃■作4B的垂线交/C于点N,交3c的延长线于点E,直线C尸交EN于点尸，且/

ECF=NE.

(1)证明：CF是。。的切线；

(2)设。。的半径为1,且/C=CE,求MO的长.

20.如图，48为的直径，CDLN8于点E,交。。于点。，OFLNC于点?

(1)请写出三条与8c有关的正确结论；

(2)当ND=30°,BC=1时，求圆中阴影部分的面积.

参考答案

1.(1)证明：连接。&

VZA=45°,

AZDOB=90°.

'：OD//BC,

：.ADOB+ZCBO=\^Q.

：.ZCBO^90°.

直线8C是OO的切线.

(2)求解思路如下:

C

如图，延长BO交OO于点R连接AF.

①由N8=/C,ZBAC=45°,可得/A8C=67.5°,ZABF=90°-67.5°=22.5°

②在RtZXEOB中，由03=r,可求AE■的长度(BE=------..—)；

cos22.5

③由AF是直径，可得/E48=90°,在Rt△物8中，由8E=2r,

可求48的长(43=2rXcos22.5°),进而可求的长.

2.(1)证明：

连接

:。)是。。切线，

：.ZODC=90°,即/OD8+/BOC=90°,

•.18为的直径，

AZADB=90°,即NOD2+NADO=90°,

ZBDC=ZADO,

"：OA=OD,

：./ADO=NA,

：.NBDC=NA；

(2)解：

•：CELAE,

：.ZE=ZADB=90°,

:・DB〃EC,

：.ZDCE=ZBDC,

：.ZDCE=ZA,

・；CE=4,DE=2,

•*.tan/A=tanZDCE=—,

2

...在RtZ"CE1中，可得/E=8,

.,.AD—6,

在RtZ\4D8中可得80=3,

根据勾股定理可得/B=3四

3.证明：(1)连接。C,如图.

•..直线CG与。O相切于点C,

：.CG±OC.

'：CG//AE,

J.AELOC.

又：0c为。。的半径，

AC=CE；

(2)解：连接/C,如图.

口由/E48=30°,CG//AE,可得/CG8=30°,

又由直线CG与O。相切于点C,ZAOC=60°,

可推出△/0C是等边三角形，

□由△NOC是等边三角形，ZEAB=30°,CF=a,

可得/C4F=//CF=3O°,CF=AF=a,DF=^^,

口禾lj用CG〃/E,可得到从而推出GC=3a.

故计算出四边形GAFC的周长为5a+\[3a.

•.•直径于点尸,

：.4F=BF,

：.AM=BM；

（2）连接NO,BO,如图，

由（1）可得AM=BM,

：.ZMAF=ZMBF=45°,

ZCMN=ZBMF=450,

：40=B0,DELAB,

•••ZAOF=/BOb=,/A0B，

VZN=15°,

：.AACM=ZCMN+ZN=6Q°,即//C2=60°,

■：ZACB=^^.

：.ZAOF=ZACB=60°.

■:DE=8,

.\AO=4.

方法1：在RtZUO尸中，OF吾AO=2,ylF=^42-22=2-/3,

在Rt^AMF中，AM=BM=AF=2五.

在RtA4cM中，AC2=CM2+AAfi,即（2CM）2=CAfi+（2企）2,解得。1/=2\用，

：.BC=CM+BM=2V2+276.

方法2：在RtZU。尸中，由sinZAOF=—,得4尸=2/3，

A0

在RtZUA/F中，AM=BM=\p2AF=2^6.

在RtA^CA/中，由tan/ACM,得CM=2^2>

BC=CM+BM=2V2+2V6.

5.(1)证明：连接QE交。尸于G,

•・ZC切。。于£,

：・/CEO=90°.

又•・•AD为。。的直径，

:・/DFC=/DFB=90°.

VZC=90°,

・・・四边形CEG方为矩形.

:・CE=GF,ZEGF=9Q°,

：.DF=2CE.

4

(2)解：在中,VZC=90°BC=3,sinB=—

□

J.AB—5,

设OE=x,'：OE//BC,

：./\AOE^/\ABC.

.0EAO

••一，

BCAB

・X

>>-----

35

15

X~

：.BD=—

4

在RtZXBZ中中，•:NDFB=9G°，sinB4

3BFBF

••cosB

5BD.15

4

9

：.BF=—.

4

6.证明：(1)连接。。；

"：OB=OC,PR=RQ；

：.ZOBP=ZOQP,ZRPQ=ZRQP；

•：NOBP+/BPO=90°,ZBPO=ZRPQ；

：.ZOQP+ZRQP=90°；

即/O0R=9O°,

是OO的切线.

证明：(2)延长NO。。交于点C；

,/ZBPC=ZQPA,ZBCP=ZAQP,

：.△BCPsfQP,

：.PB'PQ=PC-PA=(OC+OP)Q-OP)=(OB+OP)(OB-OP)=OB2-OP2,

：.OB2=PB'PQ+OP2.

解：(3)当冗4=CM时，NR=30°,易得/3=15°,当尺与/重合时，/B=45°；

是CM延长线上的点，

与N不重合，

AZB^45°；

又；RAW0A,

：.ZB<45°,

.*.15°WB<45°.

7.证明：连接DE

'：AB为。。的直径

ZADB=90°

：.AD±BC

,:AB=AC

・・・ZBAD=ZDAC；BC=2BD=2DC

由圆周角定理可知：BD=DE

：.BC=2DE,

•・・。£是。。的切线，

：.OD±DE.

9：DELAC,

：.OD//AC.

：.NA=NODB.

•：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB.

：.NA=NOBD.

:・AC=BC.

・；4B=4C,

：・AB=AC=BC.

：.AABC是等边三角形.

(2)解：连接5尸，作厂GL5C于点G,连接DC

A

图2

是。。的直径，

:./BFC=90°.

,：LABC为等边三角形，

：.CF=—AC=—BC=2.

22

同理；BD=AD=2.

VZC=60°,ZFGC=90°,

：.FG=^-FC=y/3,CG=—FC=1.

22

"：DE±AC,BFLAC,

：.DE//BF.

：.AE=EF=\.

：.CE=3,CH=1.5.

HG=—

2

在RtAFGH中,由勾股定理可得/7/=JFG2-GH

9.(1)证明：如图1所示：连接8.

•・・。/是。。的切线,

：.OD±DF.

•：OB=OD,

：.ZB=ZODB.

*：AB=AC,

・・・/B=/C.

：.ZODB=ZC.

：.OD//AC,

：.DFA.AC.

■:AB是直径，

・・・/ADB=/AEB=90°

*：AB=ACf

:・BD=CD.

9：DFLAC,

：.FD//BE.

J可得点尸是C£的中点.

设。。的半径为八则/B=ZC=2几则CE=2什2,

：.FC=r+\.

：.AF=r-1.

ZABD=ZC=ZADF,

sin/ABD=sinNZC5=sinZADF=^~

3

.AD—2a

•.AD------------------p

3

AFV3x-1

VsinZADF=-

AD--32^

--------r

3

・」=3.

10.(1)证明：连接OC.

•・Z£是弦，C是劣弧ZE的中点,

・・.OC±AE.,

VCG//AE,

：・OCLGC,

・・・CG是。。的切线.

(2)解：连接力C.

VZEAB=30°,CG//AE,

：.ZG=ZEAB=30°,

・・・CG是OO的切线，

・・・NGCO=90°,

：.ZCOA=60°,

9：OA=OC,

•••△4OC是等边三角形，

：.ZCAO=60°,

：.ZCAF=30°,

可求乙4CD=30°,

；・AF=CF=2,

•；NEAB=30°,

：・DF=1,AD=M，

VCG//AE,

,DF=AD

**CF-AG，

.1_V3

••，

2AG

，/G=2后

11.(1)证明：连接O。，如图，

•.•。为/C的中点，。为的中点,

.♦.0。为△4BC的中位线，

：.0D//BC,

•.•DE为OO的切线，

：.DE±0D,

:.DELBC；

(2)解：连接8。，如图，

,:AB为直径，

ZADB=90°,

AZBDE+ZCDE=90°,

而NC0E+NC=9O°,

：.ZC=ZBDE,

nFi

在RtZ\CZ)£中，VtanC=—,

CE2

:・CE=2DE=4,

在RtABDE中，：tanN2r)E=E^=-

DE2

：.BE=—DE=l,

2

：.BC=BE+CE=5,

•；。。为△4BC的中位线，

：.OD=—BC,

2

：.AB=BC=5,

即OO的直径为5.

12.(1)证明：连接/E,

是圆的直径，

C.AELBC,

"：AB=AC,

：.AE平分NA4C,

NBAE=ZCAE^—ZCAB,

2

•••3F是OO的切线，

：.ZCBF=ZBAE,

：.ZCBF=—ZCAB.

2

(2)解：'：tanZCBF=tanZEAB=—

2

.BE1

AE2

'：AB=5,AB2=BE2+4E2,

：.25=BE2+4BE2,

.,.BE=\[S,

,/ZBAE=ZCAE,ZEBD=ZCAE,

：.ZEBD=ZEAB,

13.(1)证明：连接OD,如图，

在△NOC和△NO。中

，A0=A0

<AC=AD,

,OC=OD

：.AAOC^AAOD,

：.ZACO=ZADO=90°,

：.ODLAB,

：.AB是O。的切线；

(2)解：设。。的半径为r,则O3=r+4,

在RtAOBD中，,/OD2+BD2=OB2,

.'.r2+82=(r+4)2,解得厂=6,

：.CE=2r=U,

"：/\AOC^/\AOD,

：.AC=AD,

设AD=t,

在RtA^CS中,,:AO+BO=AB2,

.12+162=(f+8)2,解得f=12,

即AD=n.

A

・・・。尸是直径.

故答案为：DF.

(2)如图，・・•四边形/BCD是正方形，

：・NDBE=45°,

:・/DFE=/DBE=45°,

咒是直径，

：・NDEF=90°,

：・/EDF=NEFD=45°,

:・FE=DE；

(3)AD=DE.

理由：如图2,连接/E,

♦：NADE=NACE=60°,

・・・/,D,C,E共圆，

・・・/AED=/ACB=60°,

又・・・N/Z)E=60°,

•••△Z。七是等边三角形，

：.AD=DE.

补充方法：作。河〃ZC交48于证明△ADM是等边三角形，△4£)河之△OEC即可.

故答案为：=.

15.解：(1)•.23是。。的直径，

AZADB=ZADC=9Q°,

VZB=ZCAD,ZC=ZC,

J.AADC^ABAC,

：.ZBAC=ZADC=90°,

：.BA±AC,

是。。的切线.

(2)，：BD=5,CD=4,

：.BC=9,

■:AADCs4BAC(已证)，

AAC=CD；即/C2=8CXCZ)=36,

BCAC

解得：AC=6,

在RtA^CD中，/£)=［人©2-CD2—2^5，

ZCAF=ZCAD+ZDAE=NABF+NBAE=/AFD,

：.CA=CF=6,

：.DF=CA-CD=2,

在RtZ\4TO中，^=\/DF2+AD2=2A/6.

16.解：⑴"：AB=AC,ZBAC=60°,

*'.八ABC是等边三角形，

VZAPB+ZACB=1S0°,

ZAPB=120°；

(2)当点P运动到标的中点时，PDLAB,

如图1,连接尸C,OA,OB,设。。的半径为％则CP=2r,

又•:QO为等边&4BC的外接圆，

ZOAB=30°,

在RtZXCM。中，

证明：方法一：

如图2,在/尸的延长线上取点。，使PQ=PB,连接80,

VZAPB=12O°,

：.ZBPQ=60°,

...△BP。是等边三角形，

：.PB=BQ,

'：ZCBP=ZCBA+ZABP=60°+ZABP,

ZABQ=ZQBP+ZABP^60°+ZABP,

：.ZABQ=ZCBP,

在△ABQ和△C2P中，PB=QB,ZCBP=ZABQ,CB=AB,

：./\ABQ^/\CBP,

：.CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB；

方法二：如图3,8为圆心，AP为半径画圆交C尸于点“，连接瓦/

；NCPB=60°,

.♦.△P3M是等边三角形，

\"ZCMB=12QO,

：.ZCMB=ZAPB,

.♦.△APB父LCMB,

：.PC=AP+PB-,

方法三：（略证）如图4,以/为圆心，/为半径画圆交CP于N,连接ZN,

先证△4PN是等边三角形，再证△/NC之△4P2,

从而PC=AP+PB.

c

"■图4

17.解：（1）证明：连接OE,OG；（1分）

,:AG=GD,CO=OD,

：.OG是AACD的中位线，

：.OG//AC.（2分）

：.ZOEC=ZGOE,ZACD=ZGOD.（3分）

'：OE=OC,

：./ACD=NOEC.

：.ZGOD=ZGOE.（5分）

\'OE=OD,OG=OG,

:AOEG沿AODG.（6分）

：.ZOEG=ZODG=90°.

；.GE是OO的切线.（7分）

（2）\'AC=8,BC=6,

：.AB=\j=10.（8分）

J.ODLGD.

也是圆O的切线.

：.GD=GE.（9分）

设AD=x,则4D=10-x,

在RtACDA和RtACD5中，

由勾股定理得：C£>2=82-（10-x）2,CD2=62-x2

：.82-（10-x）2=62-x2（10分）

解得x=