2022年春苏科版九年级数学中考复习几何压轴题训练(附答案)

2022年春苏科版九年级数学中考复习几何压轴题专题训练(附答案)

1.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°,8。是△ABC的角平分线，DE1AB,

垂足为E,点尸在。E的延长线上，点G在线段4。上，且/BGF=60°.

(1)若。E=2,求AC的长；

(2)证明：DF^AD+DG.

2.在△ABC中，点。、E分别在A3、AC边上，设BE与C。相交于点?

(1)如图①，设/A=60°,BE、CD分别平分乙48C、ZACB,证明：DF=EF.

(2)如图②，设BE_L4C,CO_LAB,点G在CO的延长线上，连接AG、AF-,若NG=

Z6,BD=CD,证明：GD=DF.

3.已知：如图，在RtZXABC中，/C=90°,AB^5cm,AC^3cm,动点尸从点B出发沿

射线BC以Icm/s的速度移动，设运动的时间为f秒.

(1)求BC边的长；

(2)当为直角三角形时，求f的值；

(3)当为等腰三角形时，求f的值.

4.如图，已知A(a,b),A8_Ly轴于8,且满足J/+(6-2)2=0,

(1)求A点坐标；

(2)分别以AB,49为边作等边三角形△ABC和△A。。，如图1试判定线段AC和。C

的数量关系和位置关系.

(3)如图2过A作AELx轴于E,F,G分别为线段。E,AE上的两个动点，满足NEBG

=45°,试探究变幽的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，

FG

请说明理由.

5.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E,使QE=A。，请根据小明的方

法思考：(1)由己知和作图能得到阳的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

4.6<AZ)<8B.6WAOW8C.1<AD<7D.1WAOW7

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角

形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△ABC的中线，8E交AC于E,交4。于F,且AE=EF.求证：AC

BF.

6.在等边△ABC的两边AS、AC所在直线上分别有两点M、N,。为AABC外一点，且/

MDN=60°,/BDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线A3、AC上移动时,

BM、NC、之间的数量关系及△?1阿的周长。与等边AABC的周长L的关系.

(1)如图1,当点M、N在边AB、AC上，且。时，BM、NC、MN之间的数量

关系是;此时&=；

L

(2)如图2,点M、N在边AB、AC上，且当DMWDN时，猜想(/)问的两个结论还

成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数

量关系如何？并给出证明.

7.已知△ABC为等边三角形，。为AC的中点，/EDF=120°,DE交线段A2于E,DF

交直线BC于F.

(1)如图(1),求证：DE=DF；

(2)如图(2),若求证：CF^l.BC.

4

(3)如图(3),若8£=工4£,则b=BC；在图(1)中，若BE=4AE,则CP

3

8.如图，在四边形A8CD中，AD=BC=4,AB=CD,8。=6,点E从。点出发，以每秒

1个单位的速度沿ZM向点A匀速移动，点厂从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C

-8-C作匀速移动，点G从点8出发沿8。向点。匀速移动，三个点同时出发，当有

一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

(1)证明：AD//BC.

(2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△OEG与△BFG全等的

情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△OEG与△BFG全等的情况.

(1)如图1,若NA=60°,ZC£)£=120°,5.CD+AB=BC.求证：CE平分/BCD；

(2)如图2,ZA与/D互补，NDEA=2NCEB,若凸五边形ABCDE面积为30,且

C£)=2AB=4.求点£到BC的距离.

3

10.已知△A8C之△ADE,且它们都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.

(1)如图1,当点。在边AC上时，连接8。并延长交CE于点R

①求证：NCBD=NEDF；

②求证：点尸为线段CE的中点；

(2)△AOE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接8。并延长交CE于点尸，点歹还

是线段CE的中点吗？请说明理由.

图I图2

11.已知在△ABC与△«)£1中，AB=CD,/B=ND,ZACE=ZB,点8、C、。在同一

直线上，射线A//、£；/分别平分/A4C、ZCED.

(1)如图1,试说明AC=CE的理由;

(2)如图2,当AH、E/交于点G时，设NB=a,NAGE=0,求0与a的数量关系,

并说明理由;

(3)当A8〃£7时，求的度数.

E

ZBAC=ZADE=90°.

(1)连接CE,若42=1,点、B、C、E在同一条直线上，求AC的长;

(2)将△ADE绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°),如图2,8c与交于点FBC

的延长线与AE交于点N,

过点。，作。/〃AE交8C于点M.

求证：①BM=DM；

②Ma=NF,NB.

BBA

图1图2

13.如图1,2,3,将一个矩形ABC。绕点A顺时针旋转a（0°<aW90°），得到矩形ABiCifh,

①如图1,当a=90°时，点G恰好在。B的延长线上，若A8=l,求的长；

②如图2,连接AQ,过点药作。交3。于点线段与DM相等吗？请

说明理由.

（2）在探究（1）②的条件下，射线。8分别交AOi、AQ于点尸、N（如图3）.

求证：①MN=AN；②M1^=PN，DN.

14.如图1,在矩形A8C£»中，点£是C£>上一动点，连接AE,将△ADE沿AE折叠，点

。落在点尸处，AE与。尸交于点。

（1）射线EF经过点B,射线DF与BC交于点G.

i）求证：XADEsXDCG：

ii）若AB=10,AD=6,求CG的长；

（2）如图2,射线EF与A8交于点H,射线。F与BC交于点G,连接HG,若HG〃AE,

AD=10,DE=5,求CE的长.

A

图1图2

15.如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,46=10,BC=6.D、E分别是48、AC边的

中点，连接。£.现将绕A点逆时针旋转，连接CE并延长交于点?

(1)如图2,点E正好落在4B边上，CF与A。交于点尸.

①求证：AE-AB=AD'AC；

②求BE的长；

(2)如图3,若A尸恰好平分ND4E,直接写出CE的长.

16.如图，过。。外一点尸作。。的两条切线融和PB,交0。于。和C,E在弦。C

上.且NZME=/PBC.

(1)求证：/AOC=NB4C；

(2)求证：AADEsABAC；

(3)若AO=5,BC=3,AC=4,试求8。的长.

17.如图，在△ABC中，AB=AC,A0_L2C于点O,0E_LA3于点E,以点。为圆心，OE

的长为半径作半圆，交A。于点?

(1)求证：AC是。0的切线；

(2)若点尸是AO的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，点尸是BC边上的动点，当PE+尸尸取最小值时，求出8尸的长.

18.如图，AABC为。0的内接三角形,AB为。。的直径，将△ABC沿BC翻折得到△O8C,

过点D作。。的切线DF,与BC的延长线交于点E,F为切点，O。的半径为«,Z

ABD=30°.

(1)求宝的长.

(2)若DE〃AB,连接AE.

①求证：四边形为菱形.

②求。尸的长.

19.如图，是O。的直径，C是O。上一点，OOLAC于点。，过点C作O。的切线,

交。。的延长线于点Af,0M交O。于点N,连接AM.

(1)求证：AM是。。的切线；

(2)若。N=4,AC=8«,求线段MN的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

20.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以4B为直径的交AC于点。，连接8。,

△ADE是以为斜边的直角三角形，且满足/EAO=ND48,DE=DC.

(1)求证：DE为。0的切线；

(2)求证：DE1=EF-BD；

(3)若A2=l,求3。的长.

参考答案

1.(1)解：在RtZXABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

ZABC=60°,

・.•是△ABC的角平分线，DELAB,

:・CD=DE=2.ZCBD=ZABD=30°,

：.BD=2CD=4,

9：DELAB,ZCBD=ZABD=30°,

：.AD=BD=4,

：.AC=AD+CD=4+2=6,

：.AC的长为6；

(2)证明：如图，在OE上截取Z)〃=Z)G,连接GH,

VAD=BD,ZA=ZABD=30°,

：.ZBDE=ZADE=60°,

•••△0GH是等边三角形，

：・NDGH=/DHG=60°,

9：ZBGF=6Q°,

AZ1+ZHGB=Z2+ZHGB=60°,

AZ1=Z2,

'：ZBDC=ZDHG=6Q°,

ZBDG=ZFHG=120°,

在△BOG和△尸HG中，

'N1=N2

,DG=HG，

ZBDG=ZFHG

・•・△BDG义LFHG(ASA),

：.BD=FH,

•/DF=FH+DH=BD+DG=AD+DG,

:.DF=AD+DG.

2.证明：(1)如图，在2c上截取连接-W,

：.ZBFC=9Q°+60°4-2=120°,

AZBFD=60°,

；BE平分/ABC,

：.Z1=Z2,

在△BFD和△8FM中，

'BD=BM

<Z1=Z2>

BF=BF

：./\BFD^/\BFM(SAS),

：.ZBFM=ZBFD=60°,DF=MF,

：.ZCFM=120°-60°=60°,

:/CFE=NBFD=60°,

：.ZCFM=ZCFE,

平分/ACB,

.-.Z3=Z4,

又CF=CF,

在和△MCB中，

fZCFE=ZCFM

，FC=FC，

./3=/4

：./\ECF^/\MCF(ASA),

：.EF=MF,

：.DF=EF；

(2)VBEXAC,CD±AB,

：.ZBDF=ZCDA=90°,

.'.Zl+ZBFZ)=90o,Z3+ZCFE=90°,ZBFD=ZCFE,

・・・N1=N3,

•：BD=CD,

在尸和△CD4中，

'NBDF=NCDA

<BD=CD，

Z1=Z3

:・ABDF咨ACDA(ASA),

：.DF=DAf

VZAZ)F=90°,

.*.Z6=45°,

VZG=Z6,

・・・N5=45°

：.ZG=Z5,

・・・GD=DA,

：.GD=DF.

3.解：(1)在RtZXABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

.\BC=4(cm)；

(2)由题意知3P=/CM,

①当NAP5为直角时，点尸与点C重合，BP=BC=4cm,即£=4；

②当N8AP为直角时，BP=tcm,CP=(L4)cm,AC=3cm,

在RtZkACP中，

AP2=32+(r-4)2,

在RtZXBAP中，AB1+AP2=BP2,

即：52+[32+(L4)勺=落

解得：尸至，

4

故当△ABP为直角三角形时，/=4或/=空；

4

(3)①当时，t=5；

②当时，BP=2BC=8cm,r=8；

③当8P=AP时，AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,

在RtZXACP中，AP2=AC2+CP2,

所以?=32+(4-t)2,

解得：f=空，

8

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，f=5或/=8或/=空.

图③图④图⑤

解得：a=2,b=2,

则A的坐标是(2,2)；

(2)AC=CD,且ACLLCD

如图1,连接。C,CD,

VA的坐标是(2,2),

：.AB=OB=2,

\'AABC是等边三角形，

.-.ZOBC=30°,OB=BC,

：.ZBOC=ZBCO=15°,

:在直角△AB。中，/BOA=45°,

：.ZAOC=ZBOC-ZBOA=15°-45°=30°,

：△04。是等边三角形，

：.ZDOC=ZAOC=30°,

即0C是/AOD的角平分线，

：.OC1AD,且0c平分A。，

：.AC=DC,

：.ZACO^ZDCO^60°+75°=135°,

/.ZACD=360°-135°-135°=90°,

：.AC.LCD,

故AC=CZ),且AC_LC£).

延长GA至点M,使A0=OF,连接

:在△BAM与△BOB中，

'AB=OB

<ZBAM=ZBOF-

AM=OF

:.ABAM以BOF(SAS),

；./ABM=/OBF,BF=BM,

VZOBF+ZABG=90°-NFBG=45°,

：.ZMBG^45°,

:在△FBG与△MBG中，

rBM=BF

'NMBG=/FBG，

BG=BG

；.AFBG乡/XMBG(SAS),

：.FG=GM=AG+OF,

.OF+AG=1

FG,

5.(1)解：：在△AOC和△瓦啰中

'AD=DE

<NADC=/BDE，

BD=CD

/.AADC^AEDB(SAS'),

故选B；

(2)解：：由(1)知：AADC^AEDB,

：.BE=AC=6,AE=2AD,

二•在△ABE中，AB=8,由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6,

.•.1<AD<7,

故选C.

(3)证明：

延长A。到M,使连接3M,

:A。是△ABC中线，

:.CD=BD,

:在△ADC和中

'DC=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

:.AADC咨AMDB,

：.BM=AC,ZCAD=ZM,

'：AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

,：ZAFE^ZBFD,

：.NBFD=/CAD=ZM,

：.BF=BM=AC,BPAC=BF.

6.解：（1）如图1,BM,NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,

此时旦上，

L3

理由：•;DM=DN,ZMDN=60°,

是等边三角形，

,•.△ABC是等边三角形，

/.ZA=60°,

■:BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

ZMBD=ZNCD=90°,

•：DM=DN,BD=CD,

：.RSDM法RtACDN,

：.ZBDM=ZCDN=3Q°,BM=CN,

:・DM=2BM,DN=2CN,

：.MN=2BM=2CN=BM+CN；

：.AM=AN,

•••△AMN是等边三角形，

'：AB=AM+BM,

：.AM：AB=2：3,

・・・Q=2.

L3,

(2)猜想：结论仍然成立，

证明：在NC的延长线上截取CMi=5M,连接QMi,

VZMBD=ZMi0)=90°,BD=CD,

：・ADBM注ADCMi,

：.DM=DMi,NMBD=NM1CD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=12Q°,

ZM\DN=ZMDN=60°,

:.AMDN丝AMiDN,

：.MN=MiN=MiC+NC=BM+NC,

：.AAMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB-^-AC,

•旦=2.

L31

(3)证明：在CN上截取CMi=8M,连接。Mi,

可证△O8M0ADCMi,

：.DM=DM\,

可证/AhZ)N=NMDN=60°,

:AMDN%AM1DN,

:.MN=MiN,

：.NC-BM=MN.

'：ZDMB=ZDNB=90°,ZABC=60°,

；./MDN=/EDF=120°,

ZMDE=NNDF,

「△ABC是等边三角形，AD^DC,

：.ZDBA=ZDBC,

:*DM=DN,

：.ADME学ADNF,

:*DE=DF.

(2)如图2中，作。K〃BC交AB于K.设AE=a,贝UBE=3a,AB=AC=BC=4a,

图2

'：AD^DC,DK//CB,

:.AK=BK=2a,DK=2a=AD^AK,

2

.\AE=EK=a,

：.DE±AKf

：.ZBED=90°,

9：ZBED+ZBFD=1SO°,

:・NDFB=90°,

在RtZXCD尸中，・・・NC=60。,

CF=—CD=a,

2

.-.CF=ABC.

4

(3)①如图3中，作。K〃3c交AB于K.

设BE=a,则AE=3a,AK=BK=2a,ZkADK是等边三角形,

AZADK=60°,ZEDF=ZKDC,

:.NKDE=NCDF,

,:DK=DC,DE=DF,

：.4EDK乌AFDC,

：.EK=CF=a,'：BC=4a,

:.CF=1BC.

4

②如图4中，由(1)可知

图4

设A£=a,贝！|BE=4a,AB—BC—AC—5a,AM=CN=,EM—FN—^-a,

44

:.CF=FN+CN=鼠,

2

/.CF-.BC=3a：5a=3：10,

2

：.CF^^-BC.

10

故答案为工，A.

410

8.(1)证明：在△ABD和△COB中，

'AD=BC

-AB=CD>

BD=DB

:.AABD经ACDB(SSS),

：.ZADB=ZCBD,

J.AD//BC；

(2)解：设运动时间为f,点G的运动速度为v,

当0Vt《暂时，

O

若ADEGq4BGF,

则，DE=BF,

1DG=BG

.ft=4-3t

,J6-BG=BG'

.Jt=1

|BG=3

/.v=3；

若ADEG四八BGF,

DE=BG,

则

DG=BF，

t=BG

6-BG=4-3t

.’=-1(舍去);

lBG=-l

当当＜t＜旦时，

3'

若ADEG咨ABFG,

则DE=BF

DG=BG'

t=3t-4

6-BG=BG

t=2

BG=3'

3

,,y="

2

若ADEGmABGF,

5

t=

ui，11DE=BG.(t=BG7

JDG=BF，"l6-BG=3t-4,

BG=y

v=l.

综上，当点G的速度为3或1.5或1时.会出现△£)£＜；与△B/G全等的情况.

9.(1)证明：延长C0到T,使得0T=84,连接

VZCZ)E=120°,

：.ZEDT=180°-120°=60°,

VZA=60°,

，ZA=ZEDT,

在△EAB和△EOT中，

'AE=DE

<ZA=ZEDT>

AB=DT

:.AEAB咨AEDT(SAS),

；.EB=ET,

：.CB=CD+BA=CD+DT=CT,

在△ECB和△ECT中，

fEC=EC

■EB=ET)

CB=CT

AECB当△ECTCSSS),

；./ECB=/ECD,

:.CE平分/BCD.

(2)解：延长CD到。，使得/QED=ZAEB,过点E作EHLBC于H.

图2

VZA+ZCZ)£=180°,ZCDE+ZEDQ=1^0°,

/A=/EDQ,

在△AEB和△QEQ中，

,ZAEB=ZDEQ

<EA=ED，

ZA=ZEDQ

丝△OEQ(ASA),

：.EB=EQ,

,：NAED=2/BEC,

・•・/AEB+/CED=NBEC,

：.NCED+/DEQ=/BEC,

:・/CEB=/CEQ,

在△(?防和ACEQ中，

'EB二EQ

<ZBEC=ZCEQ，

EC=EC

AAECB^AECe(SAS),

•S五边形ABCDE=S四边形EBCQuZSziEBCuS。，

••S^\EBC~15,

VCD=-2.AB=4,

3

：.AB=6,CD=4,

・•・BC=CD+QD=CD+AB=10,

.\AX10X£H=15,

2

：・EH=3,

・・・点七到5C的距离为3.

10.(1)证明：®VAABC^AADE,

：.AB=ADfBC=DE,AE=AC,

VAABC,△ADE为等腰直角三角形，

：.AD=DE,AB=BC,

ZDAE=ZAED=ZBAC=ZBCA=45°,

在△ABO中，AB=ADf

：.ZABD=ZAZ)B=67.5°,

：.ZCBF=90°-ZAB£)=22.5°,NEDF=90°-ZCDF=90°-ZADB=22.5°,

：.ZCBF=ZEDF,

：.ZCBD=ZEDF；

(2)VAE=AC,ZEAC=45°,

AZACE=ZAEC=61.5°,

VZADE=90°,

:・/DEC=225°,

VZFDC=ZFCD=61.5°,

：.EF=DF,DF=FC,

：・EF=FC,

工点厂为线段CE的中点；

(2)解：点尸还是线段CE的中点，理由如下:

过点E作EG〃8C交5尸延长线于G,

：.ZEGF=ZCBF,/FEG=NFCB,

9

：AB=ADf

：.ZABD=ZADB,

VZADE=ZABC=90°,

；./EDG=90°-ZADB=90°-ZABD=ZFBC,

:・/EDG=/EGD,

：.DE=EG,

■:DE=BC,

：.EG=BC,

VZFEG=ZFCB,/FGE=NFBC,

:•△EFG"ACFB(ASA),

：.EF=CF,

・•・方为EC的中点.

11.(1)证明：VZACD=ZACE+ZECD=ZA+ZB,

又/B=/ACE,

：.ZA=ZECD.

在△ABC和△CDE中,

，ZB=ZD

-AB=CD，

ZA=ZECD

/.AABC^ACDE(ASA).

C.AC^CE.

(2)解：3a-20=180°.理由如下：

如图1所示，连接GC并延长至点K.

\'AH.E/分别平分NBAC、ZDEC,

则设NCA8=N3AH=a,NCEI=NDEI=b,

•//ACK为AACG的外角，

ZACK^a+ZAGC,

同理可得/ECK=b+NEGC,

ZACE=ZACK+ZECK=ZB=a

=(q+NAGC)+(b+/EGC)=〃+/?+NAGE=〃+/?+0,

即a=a+b+0,

a+b=a-p.

又由(1)中证明可知NECZ)=NR4C=2〃，

由三角形内角和公式可得,

即2〃+2b+a=180°,

.*.2(〃+/?)+a=180°,

.'.3a-2p=180°.

(3)当A"〃E/时，如图2所示，

过点C作MN//AH.则MN//AH//EI.

：.ZCAH=ZACM=a,ZCEI=ZECM=b,

，NACE=NACM+NECA/=〃+Z?=a,即a=〃+b.

由(1)中证明可得NEC£)=NBAC=2〃，ZD=ZB=a.

在△CEO中，根据三角形内角和定理有NECD+NCED+ND=180°,

即2。+25+。=180°,

即2(q+b)=180°-a,

即3a=180°,解得：a=60°.

故NB=60°.

12.⑴解：VAABC^A£)A£,

：.AD^AB=1,AC=DE,

：/BAC=NAOE=90°,

C.AB//DE,

：.AABC^ADEC,

AB=AC

DECD，

-1=AC

"AC1-AC'

解得AC=近二1；

2

(2)证明：①连接BD,

•/△ABgADAE,

ZABC=ZDAE,AB=DA,

9：DM//AE,

：.ZMDA=ZDAE,

：.ZABC=ZMDAf

'：AB=DA,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD-ZABC=ZADB-NMDA,

：./MBD=/MDB,

：.BM=DM；

②连接K4,

由①知，BM=DM,AB=DA,

*：AM=AM,

AAAMB^AAMD(SSS),

，ZBAM=ZDAM.

由①知，ZABC=ZDAE,

：.ZABC+ZBAM=ZDAE-^ZDAM,

：./AMN=/NAM,

:・MN=AN,

9：ZBNA=ZANF,ZABC=ZDAE,

：.AANFsABNA,

•・•—AN二NF”,

BNAN

：.AN2^BN'NF,

：.MI^=NF・NB.

图2

13.(1)解：①如图1,•.•四边形ABC。是矩形，

:.CD=AB,BC=DA,/BAD=90°,

:将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形ABiCiDi,

：.ZDiAD=ZBAD=9Q°,CiDi=CD=AB=l,

.♦.AB与AD1重合，即点A、B、Di在同一条直线上，

设BC=DA=DiA=x,贝!]D\B=x-1,

VZ£>i=ZBA£>=90°,ND1BC1=NABD,

：.ADiBCi^AZABD,

.D[B=C[Di

""AB--DA

••x•-1—-,1

1X

解得尤1=上度，琛=土返(不符合题意，舍去)，

22

：.BC=

2

②理由如下：

如图2,连结ODi,

VADi=AD,

ZADiD=ZADDif

9

：DiCi=AB,NCi0iA=N8AO=9O°,ADi=DAf

.,.△CiDiA^ABAT)(SAS),

：.ZDiACi=ZADB,

9：DiM//ACi,

：.ZADiM=ZDiACi,

：.ZADiM=ZADB,

：.ZADiD-ZADiM=ZADDi-ZADB,

：.ZMDiD=ZMDDu

：.DiM=DM.

(2)证明：如图3,连结AM,

@a：ADi=AD,DiM=DM,AM=AM,

：.AADiM^/\ADMCSSS'),

：.ZAD1M=AADM,ZMADi=ZMAD,

・・•ZADiM=ZNADif

：.ZNADi=ZADM,

：.ZNADi-i-ZMADi=ZADM+ZMAD,

VZNAM=ZNADi+ZMADi,ZNMA=ZADM+ZMADf

：./NAM=NNMA,

：.MN=AN.

②:ZNADi=ZADMf

：.NNAP=NNDA,

'：ZANP=ZDNA,

：.XANPsXDNA,

・PN=AN

**ANDN

：.AN2=PN'DN,

:.M®=PN,DN.

14.解：（1）z）由翻折可得，AADEHAFE,DF1AETO,

：.ZCDG+ZADO=90°,ZADO+ZEAD=90°,

：.ZCDG=ZEAD,

VZADE=ZDCG^9Q°,

丛ADEs丛DCG；

n）\'AB^10AAD£^AAF£,

：.AF=AD=6,

在RtAABF中,BF={AB2-AF?=7102-62=

设DE=EF=x,CE^10-x,BC=AD=6,

在RtABCE中，BE1=BC1+CE1,

即（8+尤）2=62+（10-x）2,

解得：x—2,

由z）可知△AOEs2XocG,

••--A--D----D--C,

DECG

•••--6---1-0,

2CG

解得：CG=M；

3

（2）由i）可知，AADEsADCG,

•ADDC10n

DECG5

同理可得，AADEsADOE,

即以a

0EDE/

9

：ZOAD=ZODEfZADE=ZDOE=90°,

*：HG//AE,

：./\HGF^/\EDF,

•；ADOE义AFOE,

•HG_EQ_1

,•而而至，

,：ZBGH+ZCGD=9Q°,ZBHG+ZBGH=90°,

:.NCGD=NBHG,

VZB=ZC=90o,

:.丛BHGs^CGD,

••D•C=---B--G=y门,

CGBH

综上所述，ABHGsACGDsADEAsAOEDsAGHF,

设CE=x,DC=5+x,CG=-^il,BG=10-CG=10-立区=2^_,8〃=_1"?=运三

22224

HG=y[sBH=立（15-x）,

4

,:HG：GP=1：2,

...GF=V5（15-X）

2

在△AOE中，AD=10,DE=5,AE=5疾,D0=^D<lE_=5XIQ

AE5v5

..11

•万AE・0D=qAD-0E=S^&E'

..DO

•---二0n

OE

：.0E=娓,D0=0F=2a,

在△OCG中，DC=5+x,CG=5+x,£)G=Z)F+FG=4、左击115-xJ

22

•.•D布G寺f

：.DG=^CG,

即外小片)/x等,

解得：尤=9,

即CE=9.

15.(1)①证明：：。、E分别是AB、AC边的中点，

：.DE//BC,

：.LADEsAABC,

AAE=AD；

•,瓦AB)

：.AE-AB=AD'AC；

②解：如图1,

作CG_LA2于G,作FH±AB于H,

在Rt^ABC中，AB=10,BC=6,

；.AC=8,

：.AE=4,

：.BE^AB-AE^6,

,.,BG=BOCOSZABC=6^=6X_L=1S,

AB105

CG=8C・sin/ABC=6X

105

：.EG=BE-8G=6-

55

tanZFEH=tanZCEG=里=Q

EG

：.tanZFEH=^=n,

EH

设EH=a,FH=2a,

■an/J^—FH口-=2,

BHBE

：.BH=4a,

；BH-EH=BE,

・・A-ci-〃=6,

:・Q=2,

：・FH=4,BH=8,

BF=VFH2+BH2=V12+82=4^;

(2)如图2,

?.ZAFD=ZAED=90°,

...点A、E、F、。共圆，

：.ZDEF=ZDAF,

设AF与。E的交点为。，作OG_LA。于G,作AH_LCT于X,

：4尸平分/。4£,

/.OG=OE,AG=AF=4,

：.DG=AD-AG=1,

设OG=OE=x,

:・OD=3-x,

在RtADOG中，

(3-x)2-x2=l2,

.•♦人r=4f

3

OG=OE=A,

3

_4

.,.tanZDAF=^-^_=A,sinZDAF^^ZM,COSC=3a

AG431010

VZA£D=90°,

：.ZAEH+ZDEF=90°,

VZAEH+ZEAH=90°,

ZEAH=ZDEF=ZDAF,

：.EH=AE-sinZEAH=4X,

105

AH=AE-cosZEAH^4xMH^^m,

105

••・6=必而=荷_智)2=弯1

CE=EH+CH=2V10+2V310.

5

;以是OO的切线，

.'.ZMC+ZB4C=90°,

VZAFC+ZMC=90°,

ZAFC=ZPAC,

ZADC=ZAFC,

：.ZADC=APAC,

(2)如图，过点8作直径BG,连接GC,

AZG+ZGBC=90°,

：尸3是OO的切线，NGBC+NCBP=90°,

：.ZG=ZCBP,又NG=/BAC,

；.NBAC=NCBP,

'：ZDAE=ZPBC,

：.ZDAE=ZBAC,

,：ZADE=ZABC,

：.△ADEs^BAC,

(3)如图，过A作AN_L尸。于点M过B作于M,则AN=4Z>sinNA£)C,BM

=BD-sinZBDC,

S

...APAC_AN=AD-sinNADC

^APBCBMBD•sinNBDC

又SAPAC=/PA，AC•sin/PAOSNBC=-^-pg・BC•sin/PB。

・S^PAC=PA・AC-sin/PAC,

^APBCPB,BC•sin/PBC

U：PA,PB是OO的切线，

：.PA=PB,

...SAPAC—AOsin/PAC,

^APBCBOsinNPBC

•AD>sinZADC=AC>sinZPAC

"BD-sinZBDCBOsin/PBC,

由(1)知：AADC=ZPAC,ZBDC=ZPBC,

•-•-A-D二--A-C,

BDBC

••5•二--4,

BD3

4

17.(1)证明：过。作。M_LAC于M,如图：

\"AB=AC,AO1BC,

平分aBAC,

'JOELAB,OM±AC,

：.OE=OM,

：0E为。O半径，

.•.0〃为O。半径，

，AC是。。的切线；

(2)解：：0M=0E=0B=3,且尸是。4中点,

：.OA=6,

在RtaAE。中，AE=^OA2_OE2=373,

/.S^AOE=—AE'OE=-'^",

22

"：0ELAB,0A=6,0E=3,

：.ZEAO=30°,ZAO£=60°,

r.S扇形。EF=60兀><32=4,

3602

973_3兀.

:.s阴影S/\AOE~S扇形OEF=-----；

2-----2

(3)解：作尸关于8c的对称点G,连接EG交2C于尸，连接EF,如图:

此时PE+PF最小，最小值为EG的长度，

:尸、G关于BC对称，

：.ZFOP=ZGOP=90°,

：.ZFOP+ZGOP=liO°,即尸、0、G共线,

由(2)知/EO/=60°,OG=OF=OE,

：.ZG=30°,NEOB=30°,

：.ZGPO=ZB=60Q,

：.ZEPB=ZB=60°,

...△防尸是等边三角形，

：.BP=BE,

而Rt2\BOE中，BE=----更----=如,

tan/BOE

:.BP=g

18.(1)解:如图,连接。C,

AABC沿BC翻折得至！

：.AC=DC,

；.OC为△ABO的中位线，

OC//BD,

：.ZAOC^ZABD=30°,