2024年高考最后一套压轴卷-数学（理）试题（全国乙卷）含解析

2024高考压轴卷全国乙卷

理数试题

本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效.

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡

上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

5.考试结束后，，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

M=x2+2x-3=ok7V=（x|v=Vl-2x）

1.已知集合I1则McN=（）

A.{1}B.{3}

C.{-1}D.{-3}

2.已知&±Dl=2+i,则区-1|=（）

z

A.2B.73C.72D.l

3.已知曲线旷=。¥+工111工在点（La。）处的切线方程为y=2x+b,则

A.a-e,h--\B.a-e,b-\C.<7=e-1,6=1D.a=e~x,b=-l

4.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的

目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x

,-09+h

（单位：万元）的Logistic模型：尸（x）=―壬工.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比

1+e

7

例为50%,若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（）.（参考数据：e-04^-）

3

A.30%B.40%C.60%D.70%

1

5.下列说法不正确的是()

①命题"VxeR,sinX<1"的否定是"3xER.sinx^l

②4七=1”是“函数y=e'-e-为奇函数”的充分不必要条件；

③命题p：Txe[l,+oo),lgx>0,命题q:玉eR,Y+x+ivO，则P^q为真命题；

x+2,、

④，，函数y在(_OQ,T)U(T+«)上是减函数，，为真命题.

B.②®©C.①©④D.①d④

6.函数/'(x)=sin戈-Inx2的图象大致为()

7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、间天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、

丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两

人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()

A.8种B.14种C.20种D.16种

2

8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一

个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内

水的体积近似为（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

9.已知各项均为正数的等比数列｛4｝,4，3a5,生成等差数列，若｛4｝中存在两项4,使得4%

14

为其等比中项，则上+2的最小值为（）

mn

23

A.4B.9C.-D.-

32

22

10.设兄，鸟为双曲线「二一［=1（4>0）>0）的上、下焦点，点。为r的上顶点，以耳鸟为直径的圆交

a'b"

2

「的一条渐近线于43两点，若=—兀，则=的离心率为（）

3

A.超+1B.2A/3+1c.率D.1

11.如图，棱长为2的正方体4BCD—44GA中，点E,F,G分别是棱工刀,。，,8的中点，则下列

1

A.直线4G,共面B・Vf—BEF

3

C.直线4G与平面4044所成角的正切值为走D.过点比E,尸的平面截正方体的截面面积为9

4

3

12.已知定义在(-2,2)上的函数/("满足/(幻+户/(_工)=0〃1)=02,7'(X)为/(x)的导函数，当

xe[0,2)时，r(x)>2/(x),则不等式e2x/(2-x)<e4的解集为()

A.(—1>1)B.(-U)

C.。，4)D.(1,5)

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.已知函数/(x)=sin0),对任意的xeR,都有=x),且f(x)在区间

上单调，则。的值为.

14.12—l[(x+2)4展开式的常数项为

)

15.抛物线1=一4》，上的动点到点"0,-1),石(1,-3)的距离之和的最小值为.

16,已知4,B,C是球。的球面上的三点，AB=2,AC=243,ZABC=60°,且三棱锥O-43C的体积为

蛔,则球。的体积为

3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

2f1—a

17.在①cos4=—―,②bcosC=(2a-c)cos3中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作

2b

答.

问题：在△45C中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,已知.

(1)求5

1

求a

(2)若Aage的外接圆半径为2,且cos4cosc=8-

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

4

18.已知等差数列｛4卜满足=期+1.前〃项和为S”，S,是关于〃的二次函数且最高次项系数为1.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)已知"=---,求低｝的前〃项和却

a”,^n+l

19.如图，四棱锥尸-4SC。的底面是正方形，尸。J_平面N3CD,点E是尸4的中点，尸是线段尸3上(包

括端点)的动点，PD=AD=2.

(1)求证：PC//平面EBD；

附

(2)若直线耳•与平面PBC的夹角为60°，求■的值.

\BF\

5

20.在平面直角坐标系xQy中，已知点尸(2,1)是抛物线C：/=2勿(p>0)上的一点，直线/交C于43两

点.

(1)若直线/过。的焦点，求55.方的值；

(2)若直线P4,尸5分别与y轴相交于两点，且丽.丽=1，试判断直线/是否过定点？若是，求

出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

21.已知/*(x)=ex+7wlnx,/weR.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若加=-1,求证：对任意的再，x2e(95+oo),[f“百巧)卜/(割)/(方2).

6

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

［选修4-4：坐标与参数方程］

x=-5+\/5cosa

22.在平面直角坐标系x0，中，曲线C的参数方程为1.(a为参数)，以坐标原点O为极

y=4+sina

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为P(cos。-2sin8)=2.

(1)求。与/的直角坐标方程；

(2)若尸是C上的一个动点，求尸到/的距离的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(力=|3》+3卜卜一5|.

(1)求不等式/(x)>0的解集M；

/、1113

(2)若加是的最小值，且正数々也c满足a+b+c+m=0,证明：----H---------H--------->—.

a+bb+cc+a4

7

2024高考压轴卷全国乙卷

理数试题答案

1【答案】D

【解析】由Y+2x-3=0可解得：x=—3或x=l,即Af={-3,1},

由函数y二，^7有意义可得：1一2'之0,解得：x<0,即"=9|》*0},

于是AfcN={-3}.

故选：D.

2.【答案】D

【解析】由£±121=2+i，得z=|+:i,所以N_l=_|_：i,所以==1.

故选D.

3【答案】D

【解析】yr=aex+lnx+l,

=f=

^ylx=iac+1=2,Q=c"

将(1,1)代入y=2x+3得2+6=1,力二-1,故选D.

【点睛】本题关键得到含有a,6的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

4.【答案】B

-0.9+9k

【解析】由题意得当时，尸则一--=50%得《一°""=

x=9=50%,]+”知9大f1,

-0P+0.1X

所以9k—0.9=0,得左=0.1,所以尸(尢)=]+19也卜.

-09+0.1x5-0.4

当X=5时，尸(x)==777^比40%・故选B-

5【答案】C

[解析]对于①：命题“VxeR,sinx<1”的否定是“3xeR,sinx>1"，故①不正确；

对于②：若a=l,则y=eX-er的定义域为R,且一卜一乂—e')=eX--乂，

所以函数y=0*-为奇函数，即充分性成立；

若函数y=e'-eF为奇函数，且7=6、-e^的定义域为R,

8

可得_（er_产卜e'_e~,整理得0-世）（*+乂-i）=o恒成立，

解得a=±l,即必要性不成立；

所以“a=l”是“函数y=eX-eF为奇函数”的充分不必要条件，故②正确；

对于③：因为x2+x+l=1+；；+；>0恒成立，

即命题q:玉6此/+》+1<0为假命题，所以P人4为假命题，故③不正确；

对于④：当工=-2时y=O,当x=O时）=2,但一2<0,可得0<2,

所以函数y在（-y,T）U（T+叼上不是减函数，故④不正确；

故选：c.

6【答案】C

【解析】S/（-x）=-sinx-lnx2=-/（x）,

可知f（x）是奇函数，且定义域为｛小W。｝,排除BD；

当X=兀时，/（兀）=sin兀.山兀2=0,排除A.

故选:C

7【答案】B

【解析】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有A；=2种；

第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有C；C；=6种，

然后排问天实验舱与梦天实验舱有A；=2种，

所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有6x2=12种.

综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有2+12=14种.

故选:B

8【答案】B

【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与处于点G.

9

根据题意，AB=20cm,CD=10cm.4c=15cm,EC=6cm,

设CG=xcm,EF=ycm

所以"=一上=*

20x+1510x

解得x=15,j=14,

所以jz=g(兀442+兀4()2+兀.14.10).6=872兀比2739(513),

故选：B.

9【答案】D

【解析】因为小，3a5，0成等差数列，所以2'3勾=。6+。7，

又｛4｝为各项均为正数的等比数列，设首项为％,公比为q,

所以Gai/nad+a]/,所以/+q-6=o,

解得q=2或q=-3(舍),

又4al为4,4的等比中项,

所以(4q)2=amxan,

-1-1m+-242

所以16af=x2"xfllx2"=x2"=2xa1,

所以加+〃一2=4,即加+〃=6,

141f14^11(.4加nA1f_/4m_ri']3

所以—+—二—(TW+〃)X|—I—=—1H---H----F4|之一5+2J—x—=一

mn6I加6(nmJ6\mJ2

4wYl

当且仅当一=-,即加=2,〃=4时，等号成立，

nm

143

所以一+一的最小值为一.

mn2

io

故选：D

【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本

不等式时，应注意取等条件，即角标m,“必须为正整数，属中档题.

10.【答案】C

【解析】由题意知以片鸟为直径的圆的方程为V+y2=c2,根据对称性，不妨设一条渐近线方程为

y=--x,联立得4（一仇。）,3（仇-。），又C（o,a）,所以颉=（_匕,0）,办=（b,-2a）,则

b

8S2L4C3="艺=牙=一1,即/=3/所以离心率

\CA\\CB\b^b2+4a223

*=后=尸=5字故选c

11【答案】D

对于A项，如图①，分别连接^。，△^”。，在正方体/台⑺-4片4马中，易得矩形44GC，

故有4G//4C，又E,G分别是棱/2C0的中点，则EG/A4C,故EG//&G，即EG,4G可确定一

个平面，故A项正确；

对于B项，如图②，匕=%-*/7=§x|481=3x3义lxlx2=§,故B项正确；

对于C项，如图③，连接4。,因DC_L平面40n4,故直线4G与平面所成角即NG4。,

1F5

在Rt△G^4,Z）中，tan/GA1D=-----=—产=.故C项正确：

A.D2a4，

11

图④

对于D项，如图④，连接BE,EF,BC1，GF,易得EF/BG，

因平面NZ)A4〃平面则5G为过点8,E,尸的平面与平面的一条截线,

即过点8,E,尸的平面即平面3ERG-

由EF=立,BE=#,BC、=2&,G尸=书可得四边形BEFCX为等腰梯形,

故其面积为：SyW(虎+2物>林)^^=乎*4=|,即D项错误

故选：D.

12【答案】C

【解析】令g(x)=冬，

e

贝！1f(x)+e4x/(-x)=0,即g(x)+g(-x)=0,

故函数g(x)是定义在R上的奇函数，

当xe[0.2)时，/,(x)>2/(x),则g，(x)=/'(x)$〃x)>0,

e

故g(x)在[0,2)上单调递增，在(-2,0]上单调递增，

所以g(x)在(一2,2)上单调递增，

又/(l)=e2,贝(]86=季=1,

则不等式e2'7(2-x)<e4,即=g(2-x)<l=g(l),

—2<2—x<2

故Vr,,解得1<X<4・

2-x<1

故选：C.

7Q

13.【答案】上或9

33

12

【解析】因为f(x+7i)=f(r),所以函数〃x)的图象关于直线工=四对称，

所以sinj乌0+二)=±1,即二&+3=¥+而，k&Z,

(26J262

2

解得6y=—+2左，AreZ,

3

vco>0,k>0,keZ,

因为f(x)在区间［一上单调，所以展一［一；)41,解得343.

28

经检验，当左=0时，。=一，当k=1时，。=一均满足题意.

33

14.【答案】48

【解析】因为(X+2)”的展开式的通项是4+1=5/"。2’，所以所求常数项为—24+2C；-23=48.

15【答案】4

【解析】抛物线1=-4y的焦点为产(0,-1),准线为/：y=l,

设P是抛物线上的任意一点，则题目所求为|尸尸|+|尸司的最小值，

过尸作7W_L/,垂足为

根据抛物线的定义可知|P尸|=\PH|,

所以题意所求为归冏+|产司的最小值，

根据图象可知，当ER〃三点共线时，|产目|+|尸局的值最小，

故最小值为3+1=4.

故答案为：4

16【答案】32币“

【解析】在△43C中，AB=2,AC=2y/3,ZABC=60°,由余弦定理得

13

AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSZABC，

即12=4+8C2-2BC，整理得3c2-230-8=0，mBC>0,解得3c=4,

^AC2+AB2=BC2,即N&4C=90°,则443C外接圆的半径r=』3C=2,

2

令球心O到平面ABC的距离为d，而AABC的面积为S△抬C=gAB-AC=26,

由棱锥O-45C的体积为生尼，得Lx2/xd=@5,解得d=2ji，

333

球。的半径R，则有&2=户+/=]2，R=2出,

所以球O的体积/=：成3=g兀.(2/)3=324兀.

故答案为：32币”

(2)ac=6

【分析】(1)选①利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；

3

(2)首先求出sin4sinC=-，再利用正弦定理整体求出即可.

8

【小问1详解】

选择条件①：

因为COS4=生心，在△Age中，由余弦定理可得"+‘2-优=至二q,

2b2bc2b

口「)))nd672+c2-b2ac1

即a'+c'一"=ac?贝！13sB=-----------=----=—，

laclac2

因为3e(0,7r),所以3

选择条件②：

因为方cosC=(2a-c)cos4,在△45c中，由正弦定理可得sinBcosC+sinCeos5=2sin4cos3,

14

即sin(5+C)=2sin48s3,则sin4=2sin4cosB,

因为/e(0,兀)，所以sin4H0,则］cos3=L,

2

因为Be(0,7t),所以B=g.

【小问2详解】

因为8=乙，所以4+C=@,贝!|cos(4+C)=—！，

332

即8s48sC-sin/sinC=-1,又8s/cosC=一2，

28

113

所以sin4sinC=———二一.因为A43C的外接圆半径X=2，

288

ac3

所以由正弦定理可得sin4sinC=-----=-，所以比=6.

448

18.解：(D因为｛4｝为等差数列，设也｝首项为4,公差为d,

va4=2%+L；.ai+3d=2q+2Y+l,

二勾=47-1.

c«(M-1),d(d\

：S"=、2~=~n2+1a\~~\n

二q=Ld=2.

:.an=2n-l.

(2);a“=2n-L,

-b=______i______=ip______M

*(2»-l)-(2»+l)2(2〃-12»+l/

TZ.Z.2.L1(1)〃

T=b+b+^+---+^„=-1-T--T=Z—T.

-'-nl2212n+l)2M+1

19.解：(D证明：如图，连接4c交8。于点O,连接EO,

•二四边形43co是正方形，.'O为4c的中点，

•••E是尸4的中点，,EO//PC,

,：EOc平面EBD,PC<T平面EBD,：.PC//平面EBD.

(2)易知ZU,OC,Z>尸两两垂直，

以Z)为原点，加,。。,。尸分别为工轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

15

则5(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l).

二CB=(2,0,0),P5=(2,2,-2),P£=(1,0,-1),

设方=九而，则

£F=PF-PE=2(2,2,-2)-(1,0,-1)=(22-1,22,1-22).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

n-CB=0,f2x=0,一,、

则《一即V令y=i,贝!|〃=(O,L1).

元.PB=0,[2x+2y-2z=0,

,—M£F11

cos<n,EF>=-----=-------------==——/----

|方||£F|V2x7(22-l)2+(22)2+(1-22)22,6无-4%+1

又直线EF与平面PBC的夹角为60,，

1_73解得2=L

'Z&X?-42+123

M=i

忸产|2

20.解：(1)因为点尸(2,1)是抛物线C:d=2勿(p>0)上的一点,

所以22=20，解得p=2,所以。的方程为-=4y,

所以。的焦点为(0,1).显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为》=h+1,4(和必),5(孙%),

(y=Ax+l,

由<2,得一一4七:一4二0，所以西+吃=4左，再超二一4,

[x=4y

所以=-7---十=1，

44

所以OA•OB-Xj%2+必为=-4+1=-3.

16

2

(2)设4(玉,乂),3(毛,无)，显然直线取的斜率存在，且斜率为必一1_7~-1一七+2,

七一2jq-24

所以直线产/的方程为y—l=43(x—2),

所以囚=1+^^•(-2)=_1/，即而=(o,一:x］,

同理可得，而=］。,一；马)，

14-

所以OA八QVX?|=1，所以再巧二4,即x2—,U

一3)须

Wx1

显然直线，的斜率存在，且斜率为%一乂_N~—7_再+工2，

X2-X1电一百4

所以直线/的方程为》-二=止2(工-/)，②

44

4

将①式代入②式，整理得再+—x—4尸4=0,

I

所以直线/恒过定点(0,-1).

21.(1)解：的定义域为(0,+℃),/,(x)=e+—=

若加之0,则/''(X)=空詈>0恒成立，

所以/(X)在(0,+叼上单调递增.

若加〈0,令f(x)=-----=0,得方=一一，

xe

当词0,—‘时，f\x)<0,f(x)单调递减;

当xe+/J时，/'(x)>0,/(x)单调递增.

综上，当相对时，f(x)在(0,内)上单调递福当加<0时，/'(X)在［(),-：)上单调递减，在+8

上单调递增.

17

（2）证明：当加=—1时，f（x）=er-Inx.

所以［f马）］二（3/xiL一山｛种2）=/再X、_2cJjqx?In，罕二+山？J再电，

/（七）/（超）=（叼一山西）（勿2-山%）=/%送2—1口巧+电1口%）+Inx11nx2.

要证（再），巧），

即证In?Jjqq—24须与In^jqx2=：In2（再三）一©/阳马In（阳马）

＞InX!Inx2-e（xjInJG+x2Injq）,

即证［（In演+In0-cjjqx?In（x1x2）+e（x1lnx2+x2lnjq）＞lnx1lnx2.

由（a+b）’＞4abf得（in/+In/J4InxxInjq,

即;（In演+In三）’之In须In0，

c（x11nx2+x2In/—cj再x?In（jqx2）

=©］百•（后-嘉1111再+毒•（«―冉）出々

=2e（百一«）（曰In亚一«.In百）

声一

>0.

下面给出证明：设%（x）=/（x＞3）,贝！|"（x）=W^,

当xw（3,+℃）时,“（x）＜0恒成立,〃（x）单调递减，

当%＞方2＞9时，，

所以（百-嘉）［M百）-〃（点）］＜。；

当阳=々时，嘉-向'=0，所以（6一百'）［》（喜）-〃（百'）］=0;

当*2＞再＞9时，＜0,卜（y1^）_,

所以（括-嘉）［4（y）-"（百）］＜。.

所以（、/1*（JE）］«0对任意的西，x2€（%+℃）恒成立,

18

即20南(阮一嘉)芈］

NO对任意的天,马6(9,+00)恒成立.

x

综上所述，1(比i+Inx2)"-ejx62In(x/r2)+e(/Inx,+x2Injq)>InXjlnx2恒成立,

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故对任意的再，x2e(9,+oc),^/(l)/(2)-

22【答案】(1)(X+5)2+(J-4)2=5,x-2y-2=0；

(2)［2而,4同

【分析】(1)消去参数求出曲线C的普通方程；利用极坐标与直角坐标的