利用导函数研究函数零点问题 原卷版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题07利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题...........................2

题型二：证明唯一零点问题.........................................3

题型三：根据零点(根)的个数求参数...............................4

三、专项训练........................................................6

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程/(x)=0有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标=函数y=/(x)有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间［。,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/伍)•/(〃)<0,那么函数

y=/(x)在区间(。))内有零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把

这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草

图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极

值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线歹=。与V=g(x)的

图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题

1.(2023•河北邯郸•统考模拟预测)已知函数/■(x)=lnx+(a-2)尤+a.

⑴若a=l,求曲线>=f(x)在点(ej(e))处的切线方程；

(2)讨论函数/(尤)的零点个数.

2.(2023•陕西渭南•校考模拟预测)已知函数/(x)=e'-ax-l,其中e为自然对数的底数.

⑴求/(X)的单调区间：

(2)讨论函数/(x)在区间［0,1］上零点的个数.

3.(2023上广东中山•高三校考阶段练习)设函数=-机In尤，g(x)=x2-(m+l)x,m>0.

⑴求函数的单调区间；

(2)当加21时，讨论“X)与g(x)图象的交点个数.

4.(2023上•上海虹口•高三校考期中)函数/(x)=sinx+cosx,g(尤)=lnx

(1)求函数V=f(x)在点(0,1)的切线方程；

(2)函数y=3+2g(x),(加eR,加RO),是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由;

X

⑶若加CR,请讨论关于X的方程幽=/一2ex+加解的个数情况.

5.(2023上广东揭阳•高三统考期中)给定函数/(x)=(x+2)e».

⑴讨论函数/(x)的单调性，并求出“X)的极值；

(2)讨论方程/'(x)=a(«eR)解的个数.

题型二：证明唯一零点问题

1.(2023上广东珠海•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=2sinx-xcosx-x,了=/，(%)为了=/(x)的导

数.

(1)求曲线V=/(x)在处的切线方程:

(2)证明:y=/'(尤)在区间(0,Ji)存在唯一零点;

2.(2023上•黑龙江•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=e1nx+a,且函数/(x)的零

点是函数g(x)的零点.

⑴求实数。的值；

(2)证明:V=g(x)有唯一零点.

3.(2023下•河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=ax-lnx,fleR.

⑴过坐标原点作的切线，求该切线的方程；

(2)证明：当”<0时，/(x)+a/=0只有一个实数根.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(2023上•北京•高三景山学校校考期中)已知函数〃x)=ln(ax)-gx3(aw0).

(1)当。=2时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)讨论函数/(X)的单调性；

⑶当。=1时，设g(x)=〃x)+f,若g(x)有两个不同的零点，求参数t的取值范围.

2.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知函数/(x)=xe，-丘2,左eR.

⑴当左=0时，求函数/⑺在卜2,2］上的值域;

(2)若函数/(x)在(0,+“)上仅有两个零点，求实数上的取值范围.

3.(2023上•重庆涪陵•高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试)已知函数/(x)=；V+ax,g(x)=-x2-o(aeR).

⑴若函数尸(x)=/(x)-g(x)在xe口,口)上单调递增，求a的最小值；

(2)若函数G(x)=/(x)+g(x)的图象与V="有且只有一个交点，求。的取值范围.

2

4.(2023下•湖南衡阳•高二校考阶段练习)已知函数"X)=-xi-{k+^x1+2kx,g(x)=2日+1(其中kwR).

⑴讨论函数/(无)的单调性；

(2)若方程/(x)=g(x)有三个根，求左的取值范围.

5.(2023下•浙江衢州•高二统考期末)已知函数/(x)=5

⑴若过点(0,加)作函数/(x)的切线有且仅有两条，求〃z的值；

(2)若对于任意k6(-叫0),直线y="+6与曲线＞=/⑺(xe(0,+8))都有唯一交点,求实数b的取值范围.

三、专项训练

一、单选题

1.(2024上•广东江门•高三统考阶段练习)直线x+y=O与函数y=lnx--的图象公共点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.(2023上・河北・高三校联考期末)已知函数/'@)=d-"-欣-。有两个零点，则。的取值范围为()

A.(1,+<»)B.(e,+oo)C.[1,+co)D.[e,+co)

3.(2023下•广东阳江•高二校考期中)若函数/(x)=--3x-左在R上只有一个零点，则常数左的取值范围

是()

A.(-oo,-l)B.(2,+oo)

C.(-co,-l)u(l,+oo)D.(-co,-2)U(2,+oo)

二、填空题

InX

4.(2023上•江苏常州•高三统考期中)若关于x的方程弋,有两个不相等的实数根，则实数，的取值范

x-2

围是.

x+1x<o

5.(2023♦贵州遵义•统考模拟预测)已知函数〃力=/"一,若关于x的不等式/2(x)+4(x)<0恰

x2-x,x>0

有一个整数解，则实数。的取值范围为.

6.(2023下•重庆江北•高二重庆十八中校考期中)己知函数/(同=弁的图象与函数g(x)=ax+ahu的图

象有两个交点，则实数。的取值范围是.

三、问答题

7.(2023上•山东•高三济南一中校联考期中)已知函数/(x)=;?+2/-ax+2(aeR).

⑴若函数V=/(%)在xe[1,+切上单调递增，求。的取值范围；

(2)若函数y=/(x)的图象与>=。(1-x)有且只有一个交点，求。的取值范围.

8.(2023上•吉林长春・高一吉林省实验校考期中)已知函数/(x)=--(a+2)x+alnx,(aeR)

(1)求函数的单调区间与极值点；

(2)若a=4,方程/(x)-机=0有三个不同的根，求加的取值范围.

9.(2023上•江苏•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=x2-x-siiu-cosx.

⑴若曲线y=/(x)在点(x°J(%))处的切线与X轴平行，求该切线方程；

(2)讨论曲线了=/(无)与直线＞=a的交点个数.

10.(2023下•山东荷泽•高二校考阶段练习)给定函数/(x)=(x+3)e，

⑴判断〃x)的单调性并求极值；

(2)讨论f(x)=m(meR)解的个数.

11.(2023上•广东深圳•高三红