2024年高考数学复习题型归纳讲义 椭圆及其性质（精练：基础+重难点）（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第41练椭圆及其性质（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

22

1.椭圆上+匕=1的焦点坐标为（）

912

A.（±73,0）B.（0,±A/3）C.（±V21,0）D.（0,土历）

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求仁并结合焦点所在位置分析判断.

【详解】由椭圆方程可知：〃=12,〃=9,且焦点在y轴上，

可得C=A/7=乒=6,所以椭圆;+[=1的焦点坐标为（。，±百）.

故选：B.

2.已知椭圆]+，=l（a>b>0）的离心率为乎，则（）

A.a=2bB.3a=4/7C.a2=2b2D.3a2=4b2

【答案】A

【分析】根据离心率的公式即可求解.

【详解】由「+/=1（。>6>0）可得离心率为：=^c2+b2=a2,所以。=助，

故选：A

3.已知焦点在y轴上的椭圆工+上=1的焦距为2,则m的值为（）

m4

A.75B.6C.5D.3

【答案】D

【分析】根据焦点的位置可得小的取值范围，结合焦距可求m的值.

【详解】因为焦点在y轴，故0<相<4,而焦距是2,故心而=1即〃?=3,

故选：D.

4.如果椭圆工+反=1上一点尸到焦点月的距离等于6,那么点尸到另一个焦点工的距离是（）.

10036

A.4B.14C.12D.8

【答案】B

【分析】根据椭圆标准方程确定再结合椭圆的定义可得答案.

22

【详解】椭圆工+匕=1中a2=ioo,〃=36,所以。=10/=6

10036

由椭圆的定义可得|即|+|巡|=2a=20,又|尸同=6,所以|尸阅=14.

即点P到另一个焦点F2的距离是14.

故选：B.

5.若点河(不日满足方程]炉+();-2)2+，)+6+2)2=12,则动点M的轨迹方程为()

.x2y2x2y2y2x2„y2x2

A.—+」=1B.—+—=1C.—+—=1D.--+——=1

36323620363214416

【答案】C

【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.

【详解】因为动点M(羽V)满足关系式jY+(y_2)2+J/+(y+2『=]2,

所以该等式表示点M(x,y)到两个定点耳(0,-2),F2(0,2)的距离的和为12,

而闺司=4＜12,即动点M的轨迹是以kF?为焦点的椭圆，

且2〃=12,即〃=6,又c=2,b1=a2-c2=36-4=32,

22

所以动点M的轨迹方程为匕+二=1.

3632

故选：C.

6.已知(。，-4)是椭圆3丘2+32=1的一个焦点，则实数左=()

A.6B.一

6

C.24D.—

24

【答案】D

【分析】把椭圆方程化成标准形式，再利用给定的焦点坐标列式计算作答.

兰+匚111

【详解】椭圆3叱+外化为：丁十丁一I显然左＞0,有:＞小，

---k3k

3kk

而椭圆的一个焦点为(0，T),因此:一3=4?,所以左=].

k3k24

故选：D

22

7.已知椭圆'f+Enl的焦点在X轴上，则实数加的取值范围是()

5-mm-1

A.(L+s)B.(1,75)C.(1,5)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦点在％轴上列出对应的不等式即可得出答案.

【详解】由题意得，5-m2>m-l>0,解得1<机<2.

故选:D.

22

8.已知椭圆C:二+乙=1的左、右焦点分别为日g，点尸在椭圆C上，则△尸£工的周长为()

2516

A.14B.16C.18D.10+2741

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的a，b,c,利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.

【详解】由［+［=1，得］=25万=16,即。=5,6=4,

2516

所以=4-62=2576=9,即c=3.

由椭圆的定义知，|喀|+|尸周=2a=10,闺周=2c=6,

所以△尸耳居的周长为|尸耳|+|「阊+|耳段=10+6=16.

故选：B.

丫2丫225

9.设椭圆G：［+y2=l,Cz：：~+方=1(0<6<3)的离心率分别为q,若贝|6=()

A.1B.2C.V2D.6

【答案】B

【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得从

因为e,=，G，所以、F=解得6=2.

6V96V5

故选：B

22

10.己知耳工为椭圆k=1的两个焦点，过片的直线交椭圆于A,8两点，若EA+内理=10,贝力明=

()

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.

【详解】由*喔可得I,

根据椭圆的定义闺闻+怩4+|耳4+怛.=4。=16,

所以|A@=|为4H耳目=6.

故选：B.

22

11.直线、=区+1与椭圆土+匕=1总有公共点，则机的取值范围是()

5m

A.(l,+8)B.(0,1)(1,4W)c.[1,5)U(5,^W)D.(0,1)1.(1,5)

【答案】C

【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.

八2I2

【详解】直线，=依+1过定点(0,1),只需该点落在椭圆内或椭圆上，...匕+LVI,

5m

解得加之/,又相。5,

故选：C.

12.已知椭圆C：[+4=l(a>6>0)的离心率e=《2,短轴的右端点为8,“。,0)为线段。8的中点,

ba2

则椭圆的标准方程为()

f丁"-1

AA.—+—=1B.

2448

CX—T22

D.----V---------1

81684

【答案】B

【分析】由点的坐标求得6,通过离心率求得即可求解椭圆方程.

【详解】因为〃(1,0)为线段。8的中点，且89,0),所以人=2,

又椭圆c的离心率所以所以金旧

22

所以椭圆C的标准方程为一+2=1・

48

故选：B.

22

13.椭圆£：>+(=l(a>b>0)的两焦点分别为居，工，A是椭圆E上一点，当的面积取得最大值

时，=()

A.工B.2C.工D.二

6233

【答案】C

【分析】利用三角形面积公式得当点A位于椭圆的上下端点时，耳4后面积最大，再利用特殊角的三角函

数即可得到答案.

【详解】c=/^i=l,所以闺玛|=2C=2,

所以一片4g=：x2x|yj=M，则当加最大时，《隹面积最大，

此时点A位于椭圆的上下端点，

TT

，因为N月,所以"％，

则夕°=2邛

rr

所以N斗4耳=§.

故选：C.

22

14.已知椭圆E：斗+表■=l(a>6>0)与直线y=b相交于A,8两点，O是坐标原点，如果A03是等边

三角形，那么椭圆E的离心率等于()

.----

【答案】C

【分析】根据题意不妨设点B在第一象限，则，结合直线OB的斜率运算求解即可.

y=by=b

【详解】联立方程y2解得尻，

[abIa

B

不妨设点B在第一象限，则[-A，

由题意可知：OB的倾斜角是60。，则而=7

所以椭圆的离心率e，=3=€

故选：C.

2222

15.我们把由半椭圆下方=1(/0)与半椭圆3+3=1口<。)合成的曲线称作“果圆”(其中

a2=b2+c2,a>b>c>0\如图所不,

其中点稣，居是相应椭圆的焦点.若△稣月乙是边长为1的等边三角形，则a,6的值分别为（）

A.近，1B.V3,1

2

C.5,3D.5,4

【答案】A

【分析】由椭圆方程表示出两个椭圆的半焦距，通过解方程得a,b的值.

【详解】月月是边长为1的等边三角形，

则有|。周=Jb。_<?2,\OF0\=c=5,/3|OJS|=-^->

22

b=l,a2=b~+c2=1+—=—,得°=.

442

故选：A.

16.已知椭圆C的左右焦点分别为匕，F2,p,0为C上两点，2PF°=3FQ,若尸耳，尸鸟，则C的离心

率为（）

A.-B,-C.叵D.叵

5555

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.

【详解】设|叫=3〃?，则函=2m,\PFl\=2a-3m,口目=2a-2机.闸=5"

在△尸。耳中得：（2a—3zn）2+25rr^=（2a—2nif,即%=^a.

因此,用=+，|阂=ga,归用=2c,

在△尸耳耳中得:少+，2=4C2,故17a2=25。2,所以《=姮.

25255

故选：D

y

22

17.已知耳，B分别是椭圆C：、■+?=：!的左、右焦点，尸是椭圆C在第一象限内的一点，若尸可，「工,

则tanNP月4=()

C-T

【答案】A

【分析】由椭圆的方程可得。，b的值，进而求出。的值，由椭圆的定义及勾股定理可得忙耳|,|里|的值,

再求出/PFE的正切值.

22

【详解】由椭圆的方程1~+号=1可得。=3,6=2,所以°=而方=^^=石，

设户国=厂，贝！||尸闾=2a—=6-r,由尸在第一象限可得r>6-r,即r>3,

因为尸耳,尸工,所以下+(6-)2=(2靖=20,

整理可得/-6r+8=0,

解得厂=4或2(舍)，

即网=4,飓=2,

所以在Rt△尸片尸2中，tanNPG&=*|=；=g,

故选：A.

二、多选题

18.关于椭圆3/+4/=12有以下结论，其中正确的有（）

A.离心率为］B.长轴长是2班

C.焦距2D.焦点坐标为（-1,0）,（1,0）

【答案】ACD

【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.

【详解】将椭圆方程化为标准方程为：=

所以该椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为（-1,0）,（1,0）,故焦距为2,故C、D正确；

因为。=2所以长轴长是4,故B错误，

因为a=2,b=石，所以。=1,离心率e=—=彳，故A正确.

a2

故选：ACD

22

19.已知方程，—+^^=1表示椭圆，下列说法正确的是（）

12—mm-4

A.根的取值范围为（4,12）B.若该椭圆的焦点在y轴上，则〃ze（8,12）

C.若〃?=6,则该椭圆的焦距为4D.若m=10,则该椭圆经过点（1,收）

【答案】BC

【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.

22

【详解】A：因为方程不。+二」=1表示椭圆，

12-mm-4

12-m>0

所以<m-4>0,解得4vmvl2,且加。8,故A错误；

12-mm-4

22

B:因为椭圆—=1的焦点在y轴上，

12-mm-4

所以加一4>12-%>0,解得8<相<12,故B正确；

22

C：若相=6,则椭圆方程为工+匕=1,

所以c2=〃_〃=6-2=4,从而2c=4,故C正确;

22

D：若加=10,则椭圆方程为土+二=1,

26

点（1,8）的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点（1,3）,故D错误.

故选：BC.

22

20.已知M是椭圆。:二+乙=1上一点，耳,居是左、右焦点，下列选项中正确的是（）

42

A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=

2

C.|呜|+|加剧=4D.△”耳工的面积的最大值是2

【答案】BCD

【分析】对于ABC,由椭圆的标准方程求得。力,c,再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D,由椭圆

的几何性质与居的面积公式即可判断.

22__________

【详解】对于A,因为椭圆C:1+]=1,所以知a=2,b==\la1-b?=V2>

所以椭圆的焦距为2c=2夜，故A错误；

对于B,椭圆的离心率为e=£=变，故B正确；

a2

对于C,由椭圆的定义可得闾=2a=4,故C正确；

对于D,设膨（知几），由椭圆的几何性质可知|%归6,

所以s=；|耳巴卜|%|vgx2cxb=bc=&x0=2,

即△孙月的面积的最大值是2,故D正确.

故选：BCD.

22

21.已知与B是椭圆E：匕+土=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则（）

43

A.点8，工在x轴上B,椭圆£的长轴长为4

C.椭圆E的离心率为gD.使得△居尸工为直角三角形的点P恰有6个

【答案】BC

【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A,B,C；结

合向量的坐标运算判断ZRMF。为锐角，根据椭圆对称性可判断D.

【详解】由题意£：父+二=1的长半轴长。=2,短半轴长匕=石，焦半距c=l,

43

22

椭圆E：匕+上=1的焦点在y轴上，A错误；

43

椭圆E的长轴长为2a=4,B正确；

c1

椭圆E的离心率为一=彳，C正确；

a2

椭圆的右顶点M(6,0),焦点片(0,-1),&(0,1),

所以KF；=(-73,-1),MF,=(-73,1),cos(MK,MF)=产产।=:＞。,

n机用机用2

贝1］即N隼明为锐角，

故根据椭圆的对称性可知，使得△耳尸居为直角三角形的点P恰有4个(以耳或居为直角)，D错误.

故选：BC.

22

22.已知椭圆+5=耳B为C的左、右焦点，「为C上一点，且P『和’若空交c点于点

Q,则()

7T

A.△尸耳。周长为8B.Zf；P^<j

C.07的面积为乎D.|f；2|=y

【答案】AD

【分析】根据椭圆方程，求出对应的利用几何性质即可得出正确的选项

22_

【详解】由题意，在椭圆呜+K中，—不妨设尸曲轴上方,

贝u尸卜志,1),|尸盟=1,|尸工|=2。一|尸耳|=3,cos/£Pg=；<：,

所以/居「g>60。，故B错;

△尸々。的周长为4a=8,A正确;

设怩9=加,|40卜4一根，

在丛PFQ中,忸尸『+1PQ『一2|居斗|PQ\^=寓

13

1+(m+3)2-2x1x(m+3)x—=(4-m)2=>m=—,

17

所以|居0|=M，D正确；

W=|KI-

所以s△出=打*=?夫2@1=冬

故C不正确，

故选：AD.

23.设椭圆uJ+V=l的左、右焦点分别为月，居，尸是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是(

A.以线段片区为直径的圆与直线尤-y-应=0相切

B.△尸月工面积的最大值为0

C.|尸耳|+|P闾=20

D.离心率6=立

2

【答案】ACD

【分析】由题可得。=应*=l,c=l,然后结合条件逐项分析即得.

【详解】由椭圆uJ+V=l可得，a=0b=l,c=\,

所以线段居居为直径的圆的方程为Y+y2=i,圆心为(0,0),半径为1,

所以线段眼为直径的圆到直线尤7-&=0的距离为11,故A正确；

由题可得△尸耳F?面积的最大值为:X2x1=1,故B错误；

所以|尸耳|+|尸引=20=2也,故C正确；

椭圆的离心率为6=正，故D正确.

2

故选：ACD.

三、填空题

24.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：.

【答案】了彳（答案不唯一）

3

o

【分析】由"一从=，=：,任取一个。值，求出相应的b值，写出标准方程即可.

【详解】由题意2c=3,即c=g,又6-廿二，例如〃=3,则

443

标准方程可为了+不

3

X£_i

故答案为：至4•（答案不唯一）

3

25.在平面直角坐标系中，点尸到点耳（-3,0）、区（3,0）的距离之和为10,则点尸的轨迹方程是.

【答案】

2516

【分析】依题意可得点p为以点8、B为焦点的椭圆，即可求出。、。、b,从而得到椭圆方程.

【详解】因为点尸到点月（-3,0）、与（3,0）的距离之和为10,

即忸耳I十I尸鸟|=10＞国司=6,所以点尸的轨迹为以点耳（-3,0）、区（3,0）为焦点的椭圆,

且c=3,a=5,所以6=启二/=4,所以椭圆方程为定+1=1.

故答案为：三+2=1

2516

26.已知椭圆:+「■=1（。＞6＞0）的离心率为乎，则长轴与短轴的比值为.

【答案】0

【分析】根据。，"c间的关系知e=£再根据条件即可求出结果.

【详解】因为椭圆5+）1（。＞人0）的离心率为争所以e「字得到，哼，所以长

轴与短轴的比值为0.

故答案为：及.

27.若椭圆C:《+f=l的离心率为逅，则椭圆C的长轴长为_______.

m23

【答案】2H或2a

【分析】根据题意，分类讨论根＞2和0〈根＜2两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.

【详解】因为椭圆反+$=1的离心率为逅，易知相＞0,

m23

当机＞2时，椭圆焦点在x轴上，a2=m,b2=2,

所以£_=曰=g,解得机=6,则a=«,所以椭圆的长轴长为26.

am9

当0〈根＜2时，椭圆焦点在y轴上，储=2,b2=m,

所以£_=j=g,得根=],满足题意，

a2293

此时a=0,所以椭圆的长轴长为2夜.

故答案为：26或2&.

28.已知4(2,0)是椭圆三+匕=1上一点，则离心率0=.

m4

【答案】叵

2

【分析】将点A(2,0)代入椭圆的方程，求得机=8,结合离心率的定义，即可求解.

22

lf242YV

【详解】因为A(2,0)是椭圆土+匕=1上一点，可得：+彳=1,解得m=8,即二+二=1,

m4m484

所以椭圆的离心率为=

a2V22

故答案为：正.

2

29.椭圆《+片=1的内接正方形的周长为______.

916

96

【答案】y

【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为(“机)，代入椭圆方程即可求解加，进而可求周长.

【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为(机〃。，

贝1]d+至=1=加="，所以周长为8利=史，

91655

故答案为：三96

30.一椭圆的短半轴长是20，离心率是g,焦点为与，鸟，弦A3过则AAB耳的周长为.

【答案】12

【分析】由椭圆的离心率和。力，c的关系求出。.根据椭圆的定义可得△ABB的周长为4a,即可得出答案.

11

【详解】因为椭圆的短半轴长是2及，所以6=20.离心率是e=£r=所以c=：a.

a33

由。2=可得Q2=9,HP<2=3.

根据椭圆的定义|AK|+|A局=2a,忸司+忸局=勿,

可得居的周长为4a=3x4=12.

故答案为：12.

22

31.已知耳，耳分别是双曲线C:会-方=1人0)的左右焦点，尸是C上的一点，且|%=2|明=16,则

△尸£工的周长是.

【答案】34

【分析】由双曲线定义可得。=4,再利用。，"c之间的关系求得c=5,从而得到所求周长.

【详解】因为|尸耳|=2|尸闾=16,所以|尸耳|=16,|尸局=8,

故|P£|—|P闾=16—8=8=2°,则。=4,

又加=9,故c?=。+故=25,则c=5,国图=2c=10,

所以的周长为|尸耳|+卢阊+寓司=16+8+10=34.

故答案为：34.

Y2-V25

32.已知椭圆C：r+4=l(a>6>0),尸是它的右焦点，A是它的左顶点，尸为直线x=：。上一点，APF

a"b4

是底角为30的等腰三角形，则C的离心率为.

【答案】I

【分析】根据A/方是底角为30的等腰三角形，推出ZP网=60,由此得到a，。的关系式，可得离心率.

【详解】由题意可知：ZPAF=ZAPF=30,PF=AF=a+c,

•**6Z+c——a—2c,3c——Q,c=—=一.

22a2

故答案为：

22

33.椭圆=+4=l(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率0=______

ab

【答案】叵口

2

【分析】由题设确定内切圆半径，利用等面积法列椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.

【详解】由题设，内切圆半径为万，故3仍=\。々眩+画，

所以a%2=a2c2+62c2,贝!]/一3/02+°4=0,gpg4_3g2+1=0?

所以e2=士史，(/=任6>1舍)，故e=或二1.

222

故答案为：史二1.

2

22

34.已知与耳分别为椭圆=+2=1(。>6>0)的左、右焦点，点尸在椭圆上，/。瑞(。为坐标原点)是

ab

面积为G的正三角形，则此椭圆的方程为.

r2V2

【答案】即+为=1

【分析】不妨设点P位于第一象限，且居90),由题意得到正/=&,解得。=2,结合椭圆的定义，求

得0=1+有，得到6?=2若，即可求得椭圆的方程.

【详解】不妨设点P位于第一象限，且居(GO),

因为,尸。不是面积为目的正三角形，可得®片=6,解得c=2,

4

所以尸(1,6),耳(-2,0),g(2,0),

由椭圆的定义得2a=户团+1尸阊='(1+2)2+便_0,+J(l-2)2+(V3-0)2=2+273,

所以4=1+y/39贝!)=Q2—,

22

所以椭圆的标准方程为京后+为1.

22

故答案沏为九

35.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4,短轴长为8,则椭圆的标准方程为

【答案】寻"或耳5

【分析】根据椭圆的简单几何性质即可求解。也c的值，即可求解.

【详解】设椭圆的焦距为2c,长轴长为2“，短轴长为2.

所以

Cl-C1

----二一？3a5c,又2〃=8=〃=4,结合［2=。2+/可得々=5,0=3,

a+c4

故椭圆方程为5+1=1或E+E=l,

231b2516

故答案为：小》或卷+方1

36.设片和心为椭圆4必+2产=1的两个焦点，点尸在椭圆上，且满足|。叫=；,则△£尸鸟的面积

是.

【答案】；

【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出。、b、C,由|。巧=g,可得点P为短轴顶点，最后由面积公

式计算可得.

【详解】椭圆4/+2y2=l,即7+了=1,所以a=变，b=\,c=yla2-b2=^,

24222

因为|0P|=；,所以点尸为短轴顶点，所以S4%=；*2CX6=；X2X；X；=；.

故答案为：—

4

37.已知可工是等边三角形，M、N分别是边A耳和人工的中点.若椭圆以目、工为焦点，且经过“、N,

则椭圆的离心率等于一

【答案】V3-1

【分析】如图建立平面直角坐标系，设的边长为2,即可求出闺乙|、|N可、|八%|,从而求出

即可求出离心率.

【详解】如图建立平面直角坐标系,

因为“月心是等边三角形，M、N分别是边明和A8的中点,

所以N4，设△△£区的边长为2,

则闺同=2c=2,即c=l,\NF2\=^\AF2\=1,|N娟=而铲画=5

X|A^|+|A^|=2a=V3+l,所以

所以椭圆的离心率'=7=百7

故答案为：A/3-I

22

38.已知椭圆C:±+匕=1的左、右两个顶点分别为A,8,点尸是椭圆C上异于A,8的任意一点，则直

43

线B4,尸5的斜率之积为.

3

【答案】

4

【分析】根据题意结合斜率公式分析运算.

【详解】由题意可得。=2,则A（-2,0）,3（2,0）,

设尸（七,%）伉二±2）,则?+。=1,整理得"_3（无：4）,

可得直线PA,PB的斜率分别为%，

故答案为：q.

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

22

1.已知椭圆高+^=1的左，右两焦点为£和与，尸为椭圆上一点，且归。|=2』，则1mHp月|=()

A.8B.12C.16D.64

【答案】A

【分析】根据题干数据先分析出-尸耳鸟为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.

由题意得，a=4,b=2,c=&-b2=26，于是|尸。|=26=|。叶=|°玛，

即。为△巴工的外心，以区闾为直径的圆经过P,于是/片尸乙=90,

x+y=2a=S

记，狎=%|尸阊=y,根据椭圆定义和勾股定理:

+y2=4c2=48

于是I尸石卜「段=孙='+\，+丁)=8.

故选：A

2.已知点耳(-L0),g(1,0),动点p到直线X=3的距离为d,因=且，则的周长为()

d3

A.4B.6C.4A/3D.2A/3+2

【答案】D

【分析】设点P的坐标，代入距离公式化简得点P的轨迹方程，利用椭圆定义即可求解.

【详解】设P(x»),则|尸工卜曲萨",d=|尤一3|,

因为巴=走，所以a1)：：｝=：,整理可得工+E=i,

d3(x-3)2332

即尸点的轨迹为椭圆且方程为—+^=1,

32

由椭圆定义知△环月的周长为2a+2c=2指+2.

故选:D

3.设椭圆C：E+「=1的左、右焦点分别为耳，F2,尸是C上的动点，则下列四个结论正确的个数（）

①归图+|P局=20；

②离心率6=且；

2

③△尸片鸟面积的最大值为后；

④以线段为直径的圆与直线x+y-亚=0相切.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当尸为椭圆短轴顶点时，△尸耳工的面积取得最大值,

求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④.

【详解】对于①，由椭圆的定义可知|「耳|+|尸阊=24=2近，故①正确；

对于②，由椭圆方程知“=应力=1,0=1,

所以离心率e=£=」=正，故②错误；

a122

对于③，忸阊=2c=2,当尸为椭圆短轴顶点时，

△尸片耳的面积取得最大值，最大值为g-2c/=c/=l,故③错误;

对于④，以线段月月为直径的圆的圆心为（0,0）,半径为c=l,

圆心到直线x+=0的距离为：

/立一1，

Vi2+i2右

即圆心到直线的距离等于半径，

所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-拉=0相切，

故④正确.

故选：B.

丫22

4.已知椭圆E:》+}=l（a>6>0）的右焦点为尸（4,0）,过点尸的直线交椭圆于43两点，若且

OA+OB=2OM，则E的方程为（）

V2V2

A.----1----=1B-

4832

=1D—

c14kJ,--------1--------1

204

【答案】C

【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解.

【详解】，右焦点尸（4,0）,「I=〃+16,

设4（石，％）,与出，%），由OA+OB=2OM可知M是A3的中点,

.,.玉+冗2=2,yt+y2=-2,

两式相减得，十三）%一三）+（%+%）”%）=o,

ab

,k二二、2（F+%2）=2b2=0+1=1

AB2FM9

Xj-x2/（%+%）-2/a4-13

a2=3b2=/+16,b2=Sfci2=24,

22

故椭圆E方程为二+乙=1,

248

故选：C

22

5.已知点A,8是椭圆C:5+?=1上关于原点对称的两点，B分别是椭圆C的左、右焦点，若|前卜2,

则忸£|=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】C

【分析】先证明四边形A月8名是平行四边形，再利用椭圆的定义求出IAK1=4即得解.

【详解】因为|。4|=|。8|,|。月|=|。工|,

所以四边形AFtBF2是平行四边形.

所以|8月|=|伍I.

由椭圆的定义得IA81=2x3-1A片|=6-2=4.

所以忸41=4.

故选：c

6.已知椭圆c：［+/

=l(a>6>0)的右焦点为尸，过原点的直线/与C交于A,B两点，若AFLBF,且

\AF\^3\BF\,则C的离心率为()

A叵B.巫I

C.-D.

4553

【答案】A

【分析】设椭圆的左焦点为耳，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出|前|,仙司,

再利用勾股定理构造齐次式即可得解.

【详解】如图，设椭圆的左焦点为匕,

由椭圆的对称性可得|物|=忸凡忸团=|AF|,

所以四边形AFBK为平行四边形，

又所以四边形A网片为矩形，所以A耳，A尸,

由|AF|=3忸可，得|AF|=3|必

又|明|+网=2°,所以的卜导网=.,

在Rt.A历中，由+网2=|囤2,

得《+叱=402,即至=4°2,所以£=巫，

442a4

即C的离心率为叵.

4

故选：A.

22

7.已知椭圆E：t+3=l（a>b>0）的右焦点为F2,左顶点为4,若E上的点尸满足尸西，尤轴,

ab

tanNPA"=~,则E的离心率为（）

A.gB.-C.-D.-

2545

【答案】A

【分析】设出点尸2的坐标，求出|尸61长，再利用给定的正切值列式计算作答.

x=c

,2万2

/.得3=2,即1PBi=

【详解】设《（C，。），则直线尸尸2：尤=。，由/

次+=1CLa

..1PK12h2

而4（一〃,0）,4耳=a+c,由tanNPAjB=7，得I4z?I即。+c=,

214%2a

有°+"2（-2）,又a>c,因此a=2c,

a

c1

所以E的离心率为e=—=彳.

a2

故选：A

22

8.椭圆C:=+2=l（a>6>0）的左右焦点为巴，B，点尸为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M,