2024年山东省高中自主招生数学模拟试卷试题（含答案）

2024年山东省高中自主招生数学模拟试卷

一、选择题

i.若关于x的方程2=无解，则机的值为（）

X2x+l

A.0B.4或6C.6D.0或4

2.如图，圆锥底面圆半径为7aw,高为24c%,则它侧面展开图的面积是（）

32

3.已知点A（a,b）,B（4,c）在直线y=kx+3"为常数，左WO）上，若油的最大值为9,

则c的值为（）

A.aB.2C.3D.1

22

4.已知二次函数丫=«?7-4机2彳-3（%为常数，机#0）,点P（xp,yP'）是该函数图象上一

点，当0WxpW4时，切W-3,则机的取值范围是（）

A.小三1或冽＜0B.mN1C.-1或根＞0D.-1

5.将抛物线＞=-（X-1）2位于直线＞=-1以下的图象沿直线y=-1向上翻折所得的图

象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线y=-x+a的交点少于4个，则a的取值

范围是（）

A.aWl或aA^B.仁D.或a＞|

6.如图，在Rt^ABC和中，ZABC=ZBDE=90°，点A在边。E的中点上，若

AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为()

A.V14B.V15c.4D.V17

7.如图是一张矩形纸片ABC。，点E为A。中点，点尸在BC上，把该纸片沿EE折叠，点

A,2的对应点分别为A',2',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若

理=2,则幽的值为（）

A.2近B.C.史D.其

573

8.如图，正方形与正方形BEFG有公共顶点8,连接EC、GA,交于点。，GA与

BC交于点P,连接。。、0B,则下列结论一定正确的是（）

®EC±AG；②△OBPsACAP；③OB平分NCBG；④NAOO=45。；

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连结CE作GM

_LCF于点M,8/_LGM于点J,AK_LB/于点K,交CF于点L.若正方形A8GF与正方

形JKLM的面积之比为5,C£=V10+V2，则CH的长为（)

E

C

H

A.V5B.3+^C.2V2

D.Vio

2

10.如图，正方形ABC。的顶点分别在反比例函数y=£L(h>0)和>=丝(fo>0)的

图象上.若8O〃y轴，点。的横坐标为3，贝!Jki+kz=()

JX

OX

A.36B.18C.12D.9

二、填空题

11.如图，矩形ABC。中，AB=6,4。=4,点E、厂分别是A3、。。上的动点，EF//BC,

则AF+CE的最小值是______.

BC

12.如图，在扇形A05中，点C,。在AB上，将CD沿弦C。折叠后恰好与CH,相切于

点E,F.已知NAOB=120°,04=6,则EF的度数为,折痕CD的长

为

n

13.如图，己知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点3在y轴的负半轴

上，tan/A8O=3,以A8为边向上作正方形ABCZ）.若图象经过点C的反比例函数的解

析式是＞=工，则图象经过点。的反比例函数的解析式是.

14.如图，正方形481P1P2的顶点Pl、P2在反比例函数y=,（尤＜0）图象上，顶点A1

X

Cm,0）在x轴的负半轴上，顶点81（0,71）在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形

P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=-l（尤＜0）的图象上，顶点42在无轴的负半轴上，

X

则点尸3的坐标是.

15.抛物线yuaf+bx+c（〃，b,c为常数）的部分图象如图所示，设m=4-Z?+c,则相的

取值范围是.

ZABC=90°，平分NAOC.若A£>=1,CD=3,

则sinZABD=_______________________

17.如图，在菱形ABC。中，过点。作。CO交对角线AC于点E,连接BE,点尸是线

段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P,点。是AC上一动点，连接尸。，DQ.若

AE=14,"=18,则。Q-P。的最大值为.

三、解答题

18.如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、8之间的距离，他们在

河边与AB平行的直线/上取相距60m的C、。两点，测得NACB=15°,ZBCZ）=120",

ZADC=30°.

（1）求河的宽度；

（2）求古树A、8之间的距离.（结果保留根号）

19.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AE平分NA4C交BC于点E,。为AC上一点，经

过点A、E的。O分别交AB、AC于点。、F,连接。。交AE于点M.

(1)求证：8C是。。的切线.

(2)若CT=2,sinC=3,求AE的长.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2无+6的图象与反比例函数y=K的图

x

象相交于A(a,4),2两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接2C,当线段AC被y轴分

成长度比为1：2的两部分时，求8c的长；

(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为''完

美筝形”.设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，。是平面内一点，当四边形ABPQ

是完美筝形时，求尸，Q两点的坐标.

备用图

21.如图，在矩形ABC。中，点。是AB的中点，点〃是射线。C上动点，点尸在线段AM

上（不与点A重合），OP=1AB.

2

（1）判断AABP的形状，并说明理由.

（2）当点M为边。C中点时，连接CP并延长交于点N.求证：PN=AN.

（3）点。在边AO上，AB=5,40=4,当NCPQ=90°时，求DW的长.

备用图

22.如图，△ABC和△QBE的顶点B重合，/ABC=NDBE=90°,/BAC=NBDE=30°,

BC=3,BE=2.

（1）特例发现：如图1,当点D,E分别在AB,BC上时，可以得出结论：胆

CE

=,直线AD与直线CE的位置关系是；

（2）探究证明：如图2,将图1中的绕点8顺时针旋转，使点。恰好落在线段

AC上，连接EC,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由；

（3）拓展运用：如图3,将图1中的绕点8顺时针旋转a（19°<a<60°）,连

接A。、EC,它们的延长线交于点R当。尸=BE时，求tan(60°-a)的值.

图1图2

23.如图(1),二次函数y=-x2+bx+c的图象与％轴交于A、B两点,与y轴交于C点，

点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线/经过氏C两点.

(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

(2)点尸为直线/上的一点，过点尸作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点再

过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当时，求点尸的

2

横坐标；

(3)如图(2),点C关于x轴的对称点为点。，点尸为线段BC上的一个动点，连接

AP,点。为线段AP上一点，且AQ=3P。，连接当3AP+4。。的值最小时，直接

写出。。的长.

图⑴图⑵

参考答案与试题解析

一、选择题

1.若关于％的方程2=」一无解，则根的值为()

X2x+l

A.0B.4或6C.6D.0或4

【解答】解：2=」一,

X2x+l

2(2x+l)=mx,

4x+2=mx,

(4-m)x=-2,

•・•方程无解，

.,.4-m=0或2x+l=0或x=0,

即4-m=0或

24-m

.'.m=4或m=0,

故选：D.

2.如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是()

C.17511cm2D.350ircm2

【解答】解：在RtzXAOC中，AC=^72+242=25(cm),

所以圆锥的侧面展开图的面积=上又2n义7*25=175冗(cm2).

2

故选：C.

3.已知点A(①b),B(4,c)在直线>=丘+3(左为常数，左W0)上，若"的最大值为9,

则C的值为（）

A.aB.2C.旦D.1

22

【解答】解：：点A（。，b）,B（4,c）在直线>=履+3上，

.[ak+3=b①，

,•14k+3=c②’

由①可得：ab—a（ak+3）—ka2+3a—k（a+_2_）2-_r_,

2k4k

,：ab的最大值为9,

“<0,-且=9,

4k

解得k=-1,

4

把k=-上代入②得：4X（-1）+3=c,

44

：.c=2,

故选：B.

4.已知二次函数>=/-4冽2彳-3（根为常数，加#0）,点尸（xp,刃）是该函数图象上一

点，当0W/pW4时，切W-3,则根的取值范围是（）

A.力三1或加<0B.C.mW-1或相>0D.mW-1

【解答】解：•.,二次函数丫=如2-4%2了-3,

对称轴为x=2〃z,抛物线与y轴的交点为（0,-3）,

:点尸CxP,yP）是该函数图象上一点，当0WxpW4时，ypW-3,

①当m>0时，对称轴x=2m>0,

此时，当x=4时，yW-3,即%,42-4"0.4-3W-3,

解得7"三1;

②当m<0时，对称轴x=2%<0,

当0WxW4时，y随x增大而减小，

则当0W型W4时，ypW-3恒成立；

综上，根的取值范围是：m21或相<0.

故选：A.

5.将抛物线>=-（x-1）2位于直线>=-1以下的图象沿直线y=-1向上翻折所得的图

象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线y=-x+a的交点少于4个，则a的取值

范围是（）

c-l<a<-|-

A.或D.或

o

：.B(2,-1),

由图可知，当直线y=-经过B时，新图象与直线y=-x+〃的交点有3个,

此时-1=-2+〃，

・・a=1,

当直线y=~x+a为直线12时，新图象与直线y=-x+a的交点有3个，

此时-(x-1)2=-x+a有两个相等实数根，

即x2-3x+a+l=0的判别式△=0,

.*.9-4(a+1)=0,

•.•Cl_5—9

4

由图可知，若新图象与直线y=-x+a的交点少于4个，则aWl或包,

4

故选：D.

6.如图，在RtZkABC和RtZXBOE中，ZABC^ZBDE^9Q°，点A在边DE的中点上，若

AB^BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为()

D.V17

【解答】解：方法一：作所，CB交CB的延长线于点R作EGL2A交8A的延长线于

点G,

"：DB=DE=2,/BDE=90°,点A是。E的中点，

；.BE=dBQ2+DE2r22+22=2近,ZM=EA=1,

；•AB=7BD2+AD2=722+12=娓，

"：AB=BC,

:.BC=0

.••-A--E-->--B--D-_-A--B-->-E--G--，

22

•1X2疾5G

,2~=~2~，

解得EG=?娓,

5

'：EG±BG,EF±BF,ZABF=90a,

四边形EFBG是矩形，

:.EG=BF=2疾,

5_

•：BE=2M，BF=2Vk,

5

,CF=BF+BC=喑+遥=

：.EF=7^^=\"产_唔2=喑

7炳

--------,

5

•：/EFC=90°,

EC=dE/©2=4(嗜)2+,

故选：D.

方法二：延长即到R使得。E=O尸，连接CRBF,如图所示，

•:BD=DE=2,/BDE=9U°,

：.ZBDE=ZBDF=90°,EF=4,

：.△BOE也ABDF(SAS),

；,BE=BF,ZBEA=ZBFA=45°,

VZEBA+ZABF=90°,ZABF+ZFBC=90°,

・•・NEBA=/FBC,

•:BE=BF,BA=BC,

：./\EBA^/\FBC(SAS),

：.ZBEA=ZBFC=45°,AE=CF,

AZCFE=ZBFC+ZAFB=90°,

•・,点A为。石的中点，

AAE=1,

：.CF=1,

22

EC=7EFCF=V42+i2=，

故选：D.

E%..…：G

7.如图是一张矩形纸片ABC。，点E为A。中点，点尸在8c上，把该纸片沿EF折叠，点

A,8的对应点分别为A',2',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若

理=2,则胆的值为（）

GC3AB

BP

A.272B,亚

5

【解答】解：连接FG,CA',过点G作G7UA。于点T.设AB=x,AD=y.

・・BF=2

*CG3-，

・••可以假设B尸=2攵，CG=3k.

'JAE=DE=^-y,

2

由翻折的性质可知E4=EA'=Xy,BF==2k,ZAEF=ZGEF,

2

9：AD//CB,

：.NAEF=/EFG,

：.ZGEF=ZGFEf

:.EG=FG=y-5k,

GA'=^-y-（y-5k）=5k--y,

22

VC,4,B'共线，GA'//FBf,

・CJGA'

**CFFB，，

-3k_5k4y

y-2k2k

Ay2-123+32后=0,

；.y=8左或y=4左（舍去），

.*.AE=Z）E=4^,

・・•四边形CDTG是矩形，

・・・CG=DT=3k,

:・ET=k,

,:EG=8k-5k=3k,

AB=CD=GT=J（3k）2-k2=2折,

.•.AD=_^=2V2.

AB2V2k

解法二：不妨设BF=2,CG=3,连接CE,则RtACA'E^RtACDE,推出AC=CD=

AB^A'B',空=--退—=1,推出GF=CG=3,BC=8,在RtACB'F,勾股得CB'=

GFA'B'

4/2则AB=2近，

故选：A.

8.如图，正方形ABC。与正方形BEFG有公共顶点2,连接EC、GA,交于点。，GA与

BC交于点P,连接。。、OB,则下列结论一定正确的是（）

①EC_LAG；②△OBPs^cAP；③08平分/CBG；@ZAOD=45°；

【解答】解：：四边形ABC。、四边形BEfG是正方形,

：.AB=BC,BG=BE,ZABC=90°=ZGBE,

：.ZABC+ZCBG=ZGBE+ZCBG,即ZABG=NEBC,

工AABG丝ACBE(SAS),

：.ZBAG=NBCE,

VZBAG+ZAPB=90°,

ZBCE+ZAPB=9Q°,

：.ZBCE+ZOPC^9Q°,

.,.ZPOC=90°,

：.EC±AG,故①正确；

取AC的中点K,如图：

在Rt^AOC中，K为斜边AC上的中点,

；.AK=CK=OK,

在RtZkABC中，K为斜边AC上的中点，

：.AK=CK=BK,

：.AK=CK=OK=BK,

；.A、B、0、C四点共圆，

J.ZBOA^ZBCA,

'：ZBPO=ZCPA,

:.△OBPsACAP,故②正确，

；NAOC=NAOC=90°,

/.ZAOC+ZADC^180°,

；.A、0、C、。四点共圆，

"：AD=CD,

：.ZAOD^ZDOC^45°,故④正确，

由已知不能证明OB平分NCBG,故③错误，

故正确的有：①②④，

故选：D.

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,以其三边为边向外作正方形，连结CF,作GM

_LC尸于点M,BJ_LGM于点J,AK_LBJ于点K,交C尸于点L若正方形ABGF与正方

形JKZJW的面积之比为5,CE=JI5+&,则C8的长为（）

A.V5B.3点C.272D.710

2

【解答】解：设b交于点尸，过C作CNLA8于点N,如图：

E

设正方形JKLM边长为m,

：.正方形JKLM面积为机2,

:正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,

正方形ABGF的面积为5%2,

由已知可得：ZAFL=90°-ZMFG=ZMGF,ZALF=90°=ZFMG,AF=GF,

.,.△AFL乌AFGM(A4S),

J.AL^FM,

设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m,

在中，Al}+Fl}=AF2,

.'.x2+(x+m)2—2,

解得尤=机或％=-2m(舍去)，

.,.AL=FM=m,FL=2m,

'：tanZAF£=—

AFFL2m2

•••A—P-=-1,

V5m2

：.AP=^m,

2____________________

FP=VAP2+AF2=(^|IL)2+(V5m)2=-BP=AB-AP=®n-Y|皿=

V5m

--------,

2

：.AP^BP,即尸为AB中点，

VZACB=90°,

?.CP=AP=BP=J^L,

2

•；NCPN=/APF,/CNP=9Q°=/FAP,

：.4CPNs工FPA,

.CP_CN_PNpn2CN_PN

FPAFAPV5m45m

2mI-

CN—m,PN——m,

2

AN=AP+PN=遍,

2

.•.tanNBAC=KCN=m_2

ACAN辰+1A/5+1'

,/△AEC和ABCH是等腰直角三角形,

△AECs^BCH,

•BC=CH

*'ACCE，

VCE=V10+V2-

•2=CH.

Vs+1Vio+V2

；.CH=2&,

故选：C.

kk

10.如图，正方形ABC。的顶点分别在反比例函数尸」(h>0)和y=_Z(fo>0)的

XX

图象上.若轴，点。的横坐标为3,贝壮1+左2=()

【解答】解：连接AC交3。于E,延长交尤轴于E连接。。、OB,如图:

V

•・•四边形A3CD是正方形，

:.AE=BE=CE=DE,

设AE=5E=CE=DE=机，D(3,a),

轴，

AB(3,a+2m),A(3+m,a+m),

VA,8都在反比例函数y=±L(ki>0)的图象上,

X

fci=3(a+2m)=(3+m)(a+m),

Vm^O,

m—3-a.

B(3,6-〃)，

,:B(3,6-a)在反比例函数y=k>(h>0)的图象上，D(3,a)在>=二k冬(fo>0)

XX

的图象上，

h=3(6-a)=18-3a,ki=3a,

h+fo=18-3。+3a=18；

故选：B.

二、填空题

11.如图，矩形ABC。中，AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点，EF//BC,

则AF+CE的最小值是10.

【解答】解：延长8C到G,使CG=ER连接尸G,

'：EF//CG,EF=CG,

...四边形ErGC是平行四边形，

:.CE=FG,

：.AF+CE^AF+FG,

当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG,

由勾股定理得，AG=A/AB2+BG2=V62+(4+4)2=10)

：.AF+CE的最小值为10,

故答案为：10.

12.如图，在扇形A08中，点C,D在右上，将向沿弦折叠后恰好与04,OB相切于

点E,F.已知NAO8=120°,OA=6,则砺的度数为60°,折痕CD的长为

4/6_.

【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为。‘，连接。,E,O'F,00',O'C,

OO,交CD于点H,

：.OO'LCD,CH=DH,O'C=OA=6,

:将而沿弦。折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F.

：.ZO'EO=ZO'/0=90°,

VZAOB=120°,

：.ZEO'尸=60°,

则出的度数为60°；

408=120。，

：.ZO'OF=60a，

,：O'FLOB,O'E=O'F=O'C=6,

/.00'=°'F=亢=4我,

sin60°V1

2

：.O'H=2A/3-

CH=72_0，R2=V36-12=2娓,

：.CD=2CH=4

故答案为：60°,4•后.

13.如图，已知在平面直角坐标系无Oy中，点A在无轴的负半轴上，点8在y轴的负半轴

上，tan/A8O=3,以48为边向上作正方形ABCD若图象经过点C的反比例函数的解

析式是y=工，则图象经过点。的反比例函数的解析式是y=-1

X

【解答】解：如图，过点C作CT，y轴于点T,过点。作。XLCT交CT的延长线于点

H.

OB

・••可以假设03=〃，OA=3a,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZAOB=ZBTC=90°,

ZABO+ZCBT=90°,ZCBT+ZBCT=90°,

/ABO=/BCT,

:•△AOB名ABTC(AAS),

.\BT=OA=3a,OB=TC=a,

：.OT=BT-0B=2a,

C(a,2a),

:点。在＞=上的图象上，

X

2/=1,

同法可证△CHO之△BTC,

:.DH=CT=a,CH=BT=3a,

(-2a,3〃)，

设经过点D的反比例函数的解析式为y=K,则有-2a义3a=k,

X

:・k=-6a2=-3,

经过点。的反比例函数的解析式是y=-3.

X

故答案为：y=-旦.

X

14.如图，正方形481P1P2的顶点Pl、P2在反比例函数y=-l(尤＜0)图象上，顶点A1

(m,0)在x轴的负半轴上，顶点21(0,71)在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形

P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=,（X<O）的图象上，顶点42在无轴的负半轴上,

X

则点P3的坐标是（-叵近，-返二/苣）.

2—2―

【解答】解：作PiCLy轴于C,尸轴于。，轴于E,P3FJ_P2。于尸，如图

所示：

•/四边形A1B1P1P2为正方形，

AZAiBiPi=90°,

：.ZCBiPi+ZOBiAi=90°,

VZCBiPi+ZCPiBi=90o,Z(9BiAi+ZOAiBi=90°,

：.ZCBiPi=ZOA\B\,

在△P181C和△B1A1O中，

'NBiCP广NBiOAi=90°

.N0B[Ai=NCP1B1,

B1P1=A1BI

：.APIBIC^AB\A\O(AAS),

同理：△8140之△A1P20,

OBi=PiC=AiD=n,

：.OA\=B\C=P1D,

：.P\(-n,A),

n

.9.OAI=BIC=P2D=^--n,

n

0D=--n+n=-,

nn

・••尸2的坐标为(-』，--n),

nn

把尸2的坐标代入＞=工（x＜o）得：=-1,

xnn

解得：n=-返•（舍去）或〃=返~,

22

・・・尸2（-心亚），

2

设尸3的坐标为（—-,b）,

b

又•・・四边形P2P3A2B2为正方形，

同上：

:・P3E=P3F=DE=b,

：.OE=OD+DE=M+b,

b

解得：b=-近一遍(舍去)，b=一®道,

_22

--1.V2W6

••=--------,

b2__

，点P3的坐标为(-726,——76).

__22

故答案为：(―"26,-'2"/X/6).

15.抛物线y=Qx2+bx+c（〃，b,C为常数）的部分图象如图所示，设根=4-/?+C,则小的

取值范围是-4＜小〈0

【解答】解：：抛物线开口向上，

••Cl)*09

:抛物线对称轴在y轴左侧，

，--L<o,

2a

：.b>0,

:抛物线经过(0,-2),

•・c=-2,

•・•抛物线经过(1,0),

i+/?+c=0,

・・〃+Z?^2,b~~2-a,

*.m—a-b+c=a-(2-a)+(-2)=2〃-4,

••y=aj?+(2-a)%-2,

当x=-1时，y=a+a-2-2=2〃-4,

'：b=2-a>0,

：.0<a<2,

：.-4V2Q-4<0,

故答案为：-4Vzn<0.

16.如图，在四边形ABC。中，ZA=ZABC=90°,平分NADC若AO=1,0)=3,

则sinZAB£»=逅.

—6—

c

A'-----

【解答】解：过点。作。垂足为如图,

VZA=ZABC=90°,

：.AD//BC,

：./ADB=/CBD,

・・・。5平分NADC,

NADB=NCDB,

:・CD=CB=3,

9：AD=BE=l,

:・CE=BC-BE=3-1=2,

在RtACDE中，

DE=VCD2-CE2=732-22=Vs，

•：DE=AB,

在RtZXADB中，

BD=VAD2+AB2=V12+(V5)2=a，

*=

..sinZABD=-^_=-4-—•

17.如图，在菱形中，过点。作OE,CD交对角线AC于点E,连接5E,点尸是线

段5万上一动点，作尸关于直线。石的对称点P,点。是AC上一动点，连接P。，DQ.若

AE=14,CE=18,则DQ-P'Q的最大值为—16%耳_.

【解答】解：如图，连接BD交AC于点。，过点D作。KLBC于点K,延长DE交A8

于点R,连接EP并延长，延长线交于点J,作以关于AC的对称线段ET,则点

P'的对应点尸"在线段上.

当。，P",。共线时，QD-QP1的值最大，最大值是线段。P'的长，

当点尸与B重合时，点P'与/重合，此时。。-。尸’的值最大，最大值是线段DT

的长，也就是线段即的长.

:四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AO=OC,

VA£=14.EC=18,

；.AC=32,AO=OC=16,

：.OE=AO-AE=]6-14=2,

\'DE±CD,

:.NDOE=/EDC=90°,

'：ZDEO=ZDEC,

：.AEDOs^ECD,

:.D^=EO*EC=36,

:.DE=EB=EJ=6,

22

-CD=VEC-DE=V182-62=12最,

0£>=VDE2-OE2=V62-22=4^2>

:.BD=8近,

•：S3CB=工义OCXBD=LBC・DK,

22

..加=生咨建空

12V23

,：ZBER=ZDCK,

32

.•.sinNBER=sinNr>CK=I^=—3=±/2_,

CD12V29

:.RB=BEX2=8&,

93

,:EJ=EB,ERA,BJ,

:.JR=BR=丁&,

3_

：.JB=DJ'=l&J2,

3_

：.DQ-P'Q的最大值为16。』.

3

解法二:DQ-P'Q=BQ-FQWBF,显然P的轨迹EJ,故最大值为BJ.勾股得CD,OD.△

BDJs^BAD,BD?=BJ*BA,可得BJ=16M.

_3

故答案为：里亚.

3

三、解答题

18.如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树48之间的距离，他们在

河边与A8平行的直线/上取相距60%的C、。两点，测得/ACB=15°,/8。9=120°,

ZAL>C=30°.

（1）求河的宽度；

【解答】解：（1）过点A作AE，/,垂足为E,

设C£=尤米，

•.•CD=60米，

：.DE=CE+CD=(尤+60)米，

VZACB=15°,ZBCZ)=120°,

/.ZACE=180°-ZACB-ZBC£>=45°,

在RtZkAEC中，AE=CE・tan45°=尤(米)，

在中，ZAD£=30°,

/.tan30°=岖=x=近,

EDx+603

.•.尤=30«+30,

经检验：彳=30«+30是原方程的根，

：.AE=(30-73+30)米，

二河的宽度为(3073+30)米；

(2)过点B作垂足为尸，

贝I]CE=AE=BF=(30V3+30)米，AB=EF,

'：ZBCD=\2Q°,

/.ZBCF=180°-NBCD=60°,

在RtZkBC/中，CF=—坦—=307^+30.=(30+10愿)米,

tan60°V3

：.AB=EF=CE-CF=3073+30-(30+10^3)=20«(米)，

J古树A、8之间的距离为20«米.

EFCD

19.如图，在中，/B=90°,AE平分N8AC交于点E,。为AC上一点，经

过点A、E的。。分别交A3、AC于点。、F,连接0。交AE于点M.

(1)求证：3C是。。的切线.

(2)若。尸=2,sinC=3,求AE的长.

方法一：TAE平分N84C交于点

：.ZBAC=2Z0AEf

■:NF0E=2/0AE,

；・NF0E=NBAC,

OE//AB,

VZB=90°,

・•・OE±BC,

又・・・。石是。。的半径，

・・・5C是。。的切线；

方法二：TAE平分N84C交8C于点石,

：.ZOAE=ZBAE,

•：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

：.ZBAE=ZOEA,

J.OE//AB,

'：ZB=9Q°,

：・OELBC,

又TO石是。。的半径,

・・・8C是。。的切线；

（2）解：连接ER

VCF=2,sinC=3,

5

.OE3

•江欧7'

•：OE=OF,

：.OE=OF=3,

*：OA=OF=3f

：.AC=OA+OF^CF=S,

••.A8=AC・sinC=8x2=21,

55

•：NOAE=NBAE,

cosZOAE=cosZBAE,

即坐4,

AEAF

24

•VAE

••--=----,

AE3+3

解得AE=12位(舍去负数)，

5_

：.AE的长为12遥.

5

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2尤+6的图象与反比例函数y=K的图

x

象相交于A(a,4),B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点2的坐标；

(2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接8C,当线段AC被y轴分

成长度比为1：2的两部分时，求的长；

(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完

美筝形”.设尸是第三象限内的反比例函数图象上一点，。是平面内一点，当四边形A8P。

是完美筝形时，求尸，Q两点的坐标.

【解答】解：(1)•••一次函数＞=-2尤+6的图象过点A,

.,.4=-2a+6,

・・4=1,

・,•点A(1,4),

•..反比例函数y=K的图象过点A(1,4),

.,.^=1X4=4；

反比例函数的解析式为：y=4,

X

联立方程组可得：yT，

y=-2x+6

阡i寸：＜，

71=4【了2=2

:.点B(2,2)；

(2)如图，过点A作AELy轴于E,过点C作C9，y轴于「

/./XAEHs/XCFH,

•AE_AH_EH,

，'CF'CH'FH，

当期■=■1时，则CF=2AE=2,

CH2

.•.点C(-2,-2),

BC=q(2+2)2+(2+2)2=4&,

当期_=2时，则

CH22

.•.点c(-工，-8),

2

，BC=J(2总产+(2+8)2=5A,

综上所述：8C的长为4近或目叵；

2

(3)如图，当NAQP=N4BP=90°时，设直线AB与y轴交于点E,过点2作

轴于「设与y轴的交点为N,连接BQ,AP交于点”，

・••点E(0,6),

・・•点5(2,2),

：.BF=OF=2,

・・・EF=4,

VZABP=90°,

・•・ZABF+ZFBN=90°=NABF+/BEF,

:・/BEF=/FBN,

又♦：/EFB=/BFN=9U°,

:•△EBFsABNF,

•・•—BF=—FN,

EFBF

；.印=22£2=1,

4

...点N(0,1),

直线BN的解析式为：尸L+l,

2

4

yJX

联立方程组得：

_1/

yax+i

X[=-4%2=2

解得：

y[=-l>2=2,

:.点P(-4,-1),

直线AP的解析式为：y=x+3,

YAP垂直平分BQ,

：.设BQ的解析式为y=-x+4,

.,.尤+3=-x+4,

•.•点”是8。的中点，点8(2,2),

...点。(-1,5).

21.如图，在矩形ABC。中，点