2021年中考数学一轮复习易错题：三角形解析版

易错点04三角形

1.点、线、角

2.关于三角形的一些概念（角平分线、中线、高）

3.三角形边关系，角关系（三角形内角和、三角形的外角）

4.全等三角形性质、判定

5.等腰三角形性质、判定

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

9.三角形中位线

三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高

线的特征与区别。

1.（2020•白云区模拟）如图，点。在线段2c上，ACLBC,AB=8cm,AD6cm,AC=

4cm,则在中，5D边上的高是cm.

【答案】4

【解析】解:如图，•••/€?J_8C,

：.BD边上的高为线段NC.

^'：AC=4cm,

BD边上的图是4cm.

故答案是：4.

支式练习

1.（2020•恩施市校级模拟）如图，已知/£是△NBC的边3c上的中线，若/5=8cm,△

ACE的周长比△NE8的周长多2cm,则AC=cm.

【答案】10

【解析】解：是△48C的边3C上的中线，

：.CE=BE,

又,：AE=AE,/XACE的周长比△/班的周长多2cm,

.,.AC-AB=2cm,

即/C-8=2c机，

.".AC=10cm,

故答案为：10;

2.（2019•张店区二模）如图，在线段NO,AE,4F中，△A8C的高是线段.

【答案】AF.

【解析】解：：/尸，8c于尸,

尸是△/BC的高线，

故答案为：AF.

3.（2020秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC>AB）,AC=2BC,3C边上的中线4D把

AABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边/C的长为.

【答案】48cm.

【解析】解：二【。是BC边上的中线，AC=2BC,

：.BD=CD,

设BD=CD=x,AB=y,则ZC=4x,

"：AC>AB,

：.AC+CD=(>Q,AB+BD=40,

即4x+x=60,x+y=40,

解得：x=12,y=28,

BPAC=4x=4Scm,AB=28cm.

故答案为：48cm.

三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何

两边”。求最短距离的方法。

1.（2020•蒙山县模拟）用下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,5cm

C.3cm,5cm,10cmD.8cm,4cm,4cm

【答案】A

【解析】解：A选项，2+3>4,满足任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第

三边，故可组成三角形；

8选项，2+3=5,两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；

C选项，3+5<10,两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；

。选项，4+4=8,两边之和不大于第三边，故不可组成三角形，

故选：A.

支式拣可

1.（2020•金溪县一模）小贤同学将12c机，14c机，18c"?,24c机的四根木棒首尾相接，组成

一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（）

A.30cmB.31cmC.36cmD.38cm

【答案】B

【解析】解：如图，设/D=12c"?,AB=l4cm,BC=l8cm,CD=24cm,

由三角形/3C和△/CD可知/C<12+24=36且/C<14+18=32,

所以/C<32,

由三角形和△BCD可知12+14=26且NC<18+24=42,

所以3。<26,

•••凸四边形对角线长为整数，

•••对角线最长为31.

故选:B.

C

2.（2020•唐山一模）已知三角形的三边长为3,x,5.如果x是整数，则x的值不可能是

（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】解：•••三角形的三边长分别为3,无，5,

.•.第三边的取值范围为：2cx<8

为整数，

Ax的值不可能是8.

故选：D.

3.（2020•广东模拟）三角形的两边分别为5,10,则第三边的长可能等于（）

A.3B.5C.9D.15

【答案】C

【解析】解：设第三边的长为x,根据三角形的三边关系得：

10-5cx<10+5,

即5cx<15.

故选：C.

易播题03三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性

质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

1.（2020•东坡区校级模拟）如图所示，是△48C的角平分线，DE〃BC交AB于点、E,

ZA=45°,ZBDC=60°,则/C的度数是（

A.100°B.105°C.110°D.115°

【答案】B

【解析】解：・.・N4=45°,ZBDC=60

：・NABD=/BDC-NA=150.

•：BD是△45C的角平分线，

AZABC=2ZABD=30°,

AZC=180°-ZABC-Z^=180°-30°-45°=105°.

故选：B.

支式练习P）

1.（2020•三水区校级二模）一副三角板按如图所示放置则NC4E的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】解：解法一、・・ZB〃C。，

AZBAC=ZACD=30°,

VZAED=45°，

AZAEC=\35°,

VZCAE+ZAEC+ZACE=180°,

，/E/C=180°-AAEC-Zy4C£,=180°-30°-135°=15°,

解法二、"JAB//CD,

：.ZBAC=ZACD=30°,

VZAED=45°,ZEAC=ZAED-ZACD=15°,

故选：B.

2.（2020•和平区二模）将一副三角板如图叠放，则图中/a余角的度数为（）

A.15°B.75°C.85°D.165°

【答案】B

【解析】解：由三角形的外角的性质可知，Za=60°-45°=15°,

所以a的余角为75°,

故选：B.

3.（2020•碑林区校级一模）如图，已知在△48。中，ZC=90°,BE平分N4BC,且5E

//AD,ZBAD=20°,则//即的度数为（）

D

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【解析】解：,:BE〃幺D,

：.ZABE=ZBAD=20°,

:BE平分N4BC,

：.ZEBC=ZABE=20°,

VZC=90°,

：.ZAEB=ZC+ZCBE=900+20°=110

故选：B.

全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。

着重学会论证三角形全等。

1.（2020•泸西县模拟）如图，已知DE〃/2,ADAE=ZB,DE=2,AE=4,C为/£的

中点.

求证：△ABC咨AE4D.

【答案】证明：：C为4E的中点，4E=4,DE=2,

：.AC=-AE=2=DE,

2

又，：DE〃AB,

：.ZBAC=/E,

"ZB=ZDAE

在△43C和△£/£>中，，ZBAC=ZE-

,AC=DE

（AAS）.

【解析】根据中点的定义，再根据44s证明△NBC四△"£>答案即可.

支式练习

1.（2020•雁塔区校级一模）如图，在四边形N8CZ）中，ND〃8C,点M为对角线/C上一

点，连接3M,若AC=BC,ZAMB=ZBCD,求证：△ADgACMB.

【答案】证明：：40〃3。,

ZDAC=ZMCB,

■:NAMB=/BCD,ZCBM+ZACB=ZAMB,/ACB+NACD=/BCD,

：.NCBM=/ACD,

在△/DC和△CW中，

<ZACD=ZCBM

>AC=BC,

kZDAC=ZMCB

：./\ADC^：/\CMB(ASA).

【解析】根据平行线的性质求出/D4C=NMCS,求出NC8M=N/C。，根据全等三角

形的判定定理求出即可.

2.（2020•怀柔区模拟）已知：点、A,D,C在同一条直线上，AB//CE,AC=CE,ZACB

=ZE,求证：AABC沿ACDE.

【答案】证明：：/台〃。自

二ZA^ZECD.

•.,在△4BC和△(?£)£■中，

rZA=ZECD

<AC=CE，

LZACB=ZE

A/\ABC^/\CDE(ASA).

【解析】先根据平行的性质得到//=/EC。，然后根据/“即可证明

3.（2020•西山区模拟）如图，已知等边三角形48C,延长8/至点。，延长NC至点E,使

AD=CE,连接CD,BE.求证：4ACD义ACBE.

【答案】证明：是等边三角形，

：.AC=BC,ZCAB=ZACB=60°,

/.ZDAC=ZBCE^\20°,

'：AD=CE,

.♦.△ACD-CBECSAS）.

【解析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论.

两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以

及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等

于相似比的平方。

1.（2020•三水区一模）在△/8C中，点。、E分别为边力8、NC的中点，则△NDE与△NBC

的周长之比为（）

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】A

【解析】解：如图,

•.•点。，E分别为△NBC的边N8,4c上的中点,

：.AD=BD,AE=EC,

.•.OE是△N8C的中位线，

J.DE//BC,1.DE=—BC,

：./\ADE^/\ABC,

,:DE：BC=1：2,

.♦.△ADE与/、/台。的周长比为1：2,

故选：A.

支为练习

1.（2020•西城区校级模拟）如图，在△N8C中，DE//BC,分别交NC于点。，E.若

4D=1,DB=3,则△//）£■的面积与△48C的面积的比等于（）

【答案】D

【解析】解：DB=3,

：.AB=4,

'JDE//BC,

：./\ADE^^ABC,

.SAADE_

（仙）2=_1.

SAABCAB16

故选：D.

2.（2020•锡山区校级模拟）在矩形中，AB=4,BC=2,E为3c中点，H,G分别

是边N3,CZ）上的动点，且始终保持GH,NE,则最小值为（）

3^

2

【答案】B

【解析】解：如图所示，过G作GNJ_48于N,则N4VG=90°,GN=AD=2,

"：GHLAE,

：.ZANG=ZAFG=90°,

ZBAE=ZNGH,

:.△ABEs^GNH,

,AE=AB

,•而一而‘

=22=

RtAABE中,、E=JAB2+BE2^4+lV17-

.V17_4

••,

GH2

••\jri,

2

如图所示，以NG,4E为邻边作平行四边形ZENG,则4G=ME;GM=AE=yJH,Z

HGM=/AFG=90°,

：.AG+HE=ME+HE,

当H,E,"在同一直线上时，ZG+HE的最小值等于H〃的长，

此时，RtZiGHM中，77M=A/HG2^M2=^(XAL)2+CA/17产f，

：.EH+AG的最小值为

2

故选：B.

NNH3

3.(2020•闽侯县模拟)如图，在△NBC中，AC=3,BC=6,D为BC边上的一点，且/

BAC=ZADC.若△4DC的面积为a,则△/BC的面积为()

A

BDC

7R

A.4QB.C.^―(2D.2a

22

【答案】A

【解析】解：•：/ACD=/BCA,ZBAC=ZADC.

:.ACADsACBA,

・,.S2kABC—(AC)2=(-§-)2=4,

^AADC93

^^ABC=^a'

故选：A.

易错题PH等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角

形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计

算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

1.（2020•海口三模）如图，在△45。中，/B=4C=8,点。是3。边上一点，KDF//AB,

DE//AC,则四边形。E4尸的周长为.

【答案】16

【解析】解：・.Z8=ZC,

・•・/B=/C,

■:DE//AB,

・•・/B=NCDF,

：.ZCDF=ZC,

：.DF=CF

Z.CE=DE,

同理可得8E=£»E,

四边形DEAF^]^^z=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC,

"：AB=AC=8,

...四边形。£4F的周长=8+8=16.

故答案为：16.

支式练习

2.（2020•泸西县模拟）在△N8C中，AB=AC=S,NC边上的高与的夹角为30°,则

2C边上的高的长为—.

【答案】4愿或4.

【解析】解：设4C边上的高为3。，3C边上的高为4E.

当△43C为锐角三角形时，如图1所示

ZABD=30°,NBDA=9Q°,

：.ZBAD=180°-/ABD-NBDA=18O°-30°-90°=60°,

又,：AB=AC,

：.AABC为等边三角形，

.'.AE=^-^-AB=4yJ~2；

当△NBC为钝角三角形时，如图2所示.

VZABD=30°,NBDA=90°,

AZBAD=1SO0-Z.ABD-Z5D^=180°-30°-90°=60°,

9：AB=AC,

：,NABC=NACB,

又•・・ZBAD=ZABC+ZACB,

：.ZABC=—ZBAD=30°.

2

在中，AB=8,ZABE=30°,ZAEB=90°,

：.AE=—AB=4.

2

故答案为：4«或4.

2.（2020•肥城市四模）如图，直线a〃b,Zl=30°,Z2=40",且NZ）=NC,则/3的

度数是.

【答案】400

【解析】解：如图,

/

VZ4=Z1+Z2=7O°,

'：AD=AC,

.\Z5=180°-2/4=40°,

•..直线a〃b,

.•.Z3=Z5=40°,

故答案为：40°.

3.（2020•松北区二模）如图，四边形/BCD,对角线NC,BD交于点、E,AC=BD,ZAEB

=60°,ZABD+ZACD^180°,AB=3,AC=7,则线段CD的长为.

【答案】5

【解析】解：过点C作48的平行线，过点8作/C的平行线，两平行线交于点R连接

DF,

,:BF〃AC,AB//CF,

・・・四边形45。厂为平行四边形，

：.AC=BF,

又•：AC=BD,

:・BD=BF,

*：AC〃BF,

：.ZAEB=ZFBD=60°,

为等边三角形,

：.DF=BF=BD=7,

设NBAE=x,贝UN力5E=120°-x,

VZABD+ZACD=1SO°,

AZACD=60°+x,

■:AB〃CF,

AZBAC+ZACF=1SO°,

AZ^CF=180°-x,

・・・NZ)C尸=360°-ZACF-ZACD=UO

：.ZGCD=60°,

设CG=〃，则CZ>=2Q,Z)G=%，

•:GF^DG2=D盛,

・•・(a+3)2+(V3a)2=72^

解得。=互或。=-4（舍去）.

2

：.CD=5.

故答案为：5.

运用勾股定理及其逆定理计算线段的长'证明线段

的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

1.（2020•清镇市校级模拟）如图，每个空油桶的直径是50c机，将15个空油桶堆在一起，

若要给它们盖一个遮雨棚，这个遮雨棚高至少为cm.

IT***

【答案】223.21.

【解析】解：如图，于。，

,.,^5=4X50=200,8c=4X50=200,/C=4X50=200,

:.AABC为等边三角形，

哼3C=

油桶的最高点到地面的距离=25+100A/§+25-223.21（CM）.

答：遮雨棚起码要223.21c™高.

故答案为：223.21.

支式拣习

1.（2020•长春模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一.其中记载了一道“折竹

抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，

△ABC中，NACB=90°,AC+AB=IO,BC=3,求/C的长.在这个问题中，可求得

AC的长为.

【答案】4.55.

【解析】解：设NC=x,

\'AC+AB=IO,

.,.AB=10-x.

在RtZ\4BC中，ZACB^90°,

：.4。+8。=旃,即N+32=(io-x)2.

解得：x=4.55,

即/C=4.55.

故答案为：4.55.

2.（2020•南岗区模拟）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点）,在岸边顺

次取点8,E,C,使得月BLBC,过点C作CDL8C交NE延长线于点D,若测得8£=

20m,CE=10m,CD=20m,则河的宽度为m.

B八

D

【答案】40

【解析】解：'：AB±BC,CDLBC,

:.△BAEsACDE,

•.A•BB一E，

CDCE

•:BE=20m,CE=10m,CD=20m,

•胆=型

"2010

解得：48=40,

故答案为：40.

3.（2020•新都区模拟）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直

角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGX,已知/〃为的较长直角

边，AM=\[7EF,则正方形/BCD的面积为.

【答案】32

【解析】解：设AM=2a,BM=b,则正方形ABCD的面积=4a2+b^,

由题意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2。-b-2a+2b=b,

'：正方形EFGH的面积为4,

抉=4,

■:AM=\[jEF,

2a=\[^b,

二・正方形4SCZ）的面积=442+62=862=32,

故答案为：32.

中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的

性质。

1.（2020•邵东县模拟）如图，要测量池塘两岸相对的月，8两点间的距离，可以在池塘外

选一点C,连接NC,BC,分别取/C,8c的中点。，E,测得DE=48〃?，则N2的长是

m.

CEB

【答案】96

【解析】解：：点。，£分别是/C,3c的中点，

是的中位线，

:.AB=2DE=96(m),

故答案为：96.

变式练习

1.(2020•铜山区二模)在△4BC中，点D、E分别是48、/C的中点,2C=6,贝!]

【答案】3

【解析】解:如图，

•.•在△NBC中，点。、£分别是48、/C的中点，

：.DE^—BC,

2

'：BC=6,

：.DE=3,

故答案为：3.

2.（2020•丰台区三模）如图，D,E分别是△N8C的边NC的中点，若的面积

为1,则四边形。8CE的面积等于.

【答案】3

【解析】解：E分别是△4BC的边N8,ZC的中点,

是的中位线,

J.DE//BC,DE=—BC,

2

：./\ADE^/\ABC,

.SAADE_zDE>,2」

ABCBC4

•.•△4DE的面积为1,

AABC的面积为4,

.•.四边形。8CE的面积等于3,

故答案为：3.

3.（2020•无锡模拟）如图，在中，NACB=90°,点。、E、尸分别为AC、

8c的中点，若CD=6,则防的长为

A

【答案】6

【解析】解：是直角三角形，CD是斜边的中线,

：.CD=—AB,

2

又：EF是4ABC的中位线，

：.AB=2CD=2X6=U,

：.EF=­X\2^6.

2

故答案为：6.

解直角三角形的实际应用

1.（2020•阳新县模拟）杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计

划沿ZC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧。（/、C、。共线）处

同时施工.测得/C42=30°,AB=4km,ZABD^105°,求4D的长.

【答案】解：过点3作8EL4D于点E,如图所示.

在RtZX/BE中，AB=4km,ZCAB=30°,ZAEB=90°,

：.BE=^AB=2km,AE=yj=2\[3km,ZABE=1SO°-30°-90°=60°,

：.ZDBE=ZABD-ZABE=45°.

在RtZXBDE1中，ZBED=90°,NDBE=45°,

:.DE=BE•tanZDBE=2km,

：.AD=AE+DE=(2A/3+2)km.

【解析】过点B作BELAD于点E,在RtA4BE中，通过解直角三角形可求出BE,AE

的长及//BE的度数，结合/N2Z)=105°可求出/D3E的度数，在Rt/YBAE中，通过

解直角三角形可求出DE的长，再结合4D=/E+OE即可求出结论.

支式练习

2.（2020•陕西模拟）如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的

稳定性和其他保密性原则，使得边沿的长度是边沿8C长度的三倍，且它们所在的直线

互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道N/BC=45°,边沿CD所在直线

与边沿2C所在直线相交后所成的锐角为30。（即P在8c的延长线上，ZDCP=30°）,

经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长.（结果保留根号）

【答案】解：如图，过点3作的交。/的延长线于点过点。作。NL8C,

交BC的延长线于点N,

\'BC//AD,

：.ZABC=ZMAB=45°,

又-/ABC=45°,

:.MA=MB=DN,

又.：AD=3BC,BC=1,

：.AD=21,

在RtZXCZW中，NDCN=30°,

：.CD=2DN,CN=yf^DN,

由得，ZW+21=7+V^W,

解得，DNS7,

/.CD=2W=14V3+14（米）

【解析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN,

MA,再根据矩形的性质，求出DV的长，进而求出答案.

2.（2020•安徽一模）某旅游区的平面图如图所示,分别从景点4,5测得视角NB4c=120。，

ZABC=25°,景点C相距800米，求景点N,8之间的距离.（参考数据：sin25°

心0.45,cos25°心0.9,tan25°«0.5,畲心1.73；精确到1米）

交BA的延长线于点D,

在RtA4CD中，ZCAD=60°,

由sinZC4r»=—,可得：CD=^C-sinZG4D=800X^=400V3.

AC2

由cos/C4D=岖，可得：AD=AC'cosZCAD=?,00X^-=4Q0,

AC2

在中，由tan/8=CD可得：0,5=,

BDBD

解得：8。=800/§,

：.AB=BD-^D=80（h/3-400^984（米）,

答：景点48之间的距离约为9