湖北华师一附2024届高三五月适应性考试数学试卷含答案

湖北华师一附2024届高三五月适应性考试数学试卷

+答案

2024届高三年级五月适应性考试数学试题

时限：120分钟满分：150分命审题:高三数学备课组

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知A={%|-4<x<2},B={%|lg(x-1)<0}，则AHB=

A.{%|-4<%<2}B.{%|-4<%<2]

C.{%I1<%<2]D.{%|1<%<2]

2.函数/(%)=ln(ex+1)—2

A.是偶函数，且在区间(0,+8)上单调递增

B.是偶函数，且在区间(0,+8)上单调递减

C.是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增

D.既不是奇函数，也不是偶函数

3.如图1,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为|，这个电路是通路的概率是

A.-B.-C.

图1

4.已知数列{an)，则“an_2+an+2=2an(n>3,neN*)”是“数列{an}是等差数列”的

A.充分不必要条件B必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=2A，则cosB=

77-11

A.--B.—C.--D.-

161688

牝设喳线必=2Px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线在第一象限交于点4与y轴交于点C,若

而=而，则直线/的斜率为

A.—B.—C.2V2D.V3

33

1

7.若函数/(x)=sins%+V3cos<k)x(<»>0)在区间[a,b]上是减函数，且/(a)=l,/(b)=一1,b-a=兀,则

a>=

A.-B.-C.1D.2

33

8.已知△ABC是边长为4V3的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|泰+价+而|=3,则

|而|的最小值是

A.1B.2C.3D.-

3

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.如图2,在正方体4BC0-4/iCi。中,E,F,M,N分别为棱441，的中点，点P是面B±C的中心，

则下列结论正确的是

A.E,F,M,P四点共面

B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面MEF1平面PMN

10.已知复数Z1，Z2满足:Z1为纯虚数,怙2-1|=2|Z2-4|,则下列结论正确的是

2

A.zf=-kJB.3<\z2\<7

C.|zi-z2|的最小值为3D.|zi-Z2+3i|的最小值为3

11.已知函数fO)的定义域为R，对Vx,yeR,f(x+y)-f(x-y)=2/(1-x)/(y)，且f(l)=l.f'M为/(x)

的导函数，则

为偶函数B./(2024)=0

C.f(l)+/(2)+…+0(2025)=0D.[/(%)]2+[/(I-%)]2=1

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,满分15分.

12.已知圆雉曲线mx2+ny2=1的焦点在y轴上，且离心率为2,则；=.

2

13.已知矩形ABCD中48=2百,BC=2,以AC所在直线为旋转轴,将矩形ABCD旋转一周形成的面所围成的

几何体的体积为.

14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只.现从口袋中先后有放回地取

球2n次(九€N+)，且每次取1只球,X表示2n次取球中取到红球的次数,Y=[X，X为奇数，则丫的数学期望

lo,x为偶数

为(用n表示).

二、解答题:本题共5小题，共77分.

15.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=y[xeax[x>0).

⑴求函数f(x)的单调区间.

⑵若函数/(%)有最大值I，求实数a的值.

16.(本小题满分15分)

(1)假设变量x与变量丫的n对观测数据为Qi，月),(x2,y2)-(xn,yn)，两个变量满足一元线性回归模型

牖在£(e)=，请写出参数b的最小二乘估计；

(2)为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措,对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效

果。下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量w(万)，其中年份对应的年份代码t为

1-5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系,可以用线性回归模型描述.

年份代码t12345

销量W(万)49141825

令变量x=t-t,y=w_w，则变量x与变量y满足一元线性回归模型｛京胃J羡)=©，利用⑴中结论

求y关于x的经验回归方程,并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.'i'''

17.(本小题满分15分)如图3,在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD为菱形,PA1平面ABCD.AC与BD相交于点

E,点尸在PC上,EF1PC,AC=4a,BD=4,ET=2.

⑴证明：DF1平面PBC;

⑵若PA与平面BDF所成的角为a，平面PAD与平面PBC的夹角为夕，求a+3.

3

图3

18.体小题满分17分)已知圆E:(%+乃)+*=32,动圆C与圆E相内切，且经过定点F(V6,0)

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

⑵若直线=x+t与(1)中轨迹交于不同的两点A,B，记△OAB外接圆的圆心为M(。为坐标原点)，平面

上是否存在两定点C,D，使得||MC\-\MD||为定值，若存在,求出定点坐标和定值，若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分17分)对于数列｛即｝，如果存在等差数列｛篇｝和等比数列｛4｝，使得an=bn+cn(neN*),则

称数列｛an｝是“优分解”的.

(1)证明：如果是等差数列，则｛即｝是“优分解”的.

22

⑵记Aan=an+1-an,Aan=Aan+1-Aan(nEN*)，证明：如果数列｛即｝是“优分解”的，则Aan=0(nEN*)

或数列｛存即｝是等比数列.

(3)设数列｛an｝的前n项和为Sn，如果｛斯｝和5｝都是“优分解”的，并且的=3,a?=4,=6,求｛an)的通

项公式.

4

2024届高三年级5月适应性考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

选择题与填空题详解:

1.【答案】C

【解析】lg(x—l)<O,；.O<x—1<1,，1<X<2,;.5=(1,2),A5=(1,2),故正确选项为C

2.【答案】A

【解析】•••/(%)的定义域为R,f(-%)=+1)+1=+1)-x+1=ta(el+l)-j=/(%)

x

/(x)为偶函数；当％>0时，/'(x)=—J—ge-l>0,/(x)在区间(0,+8)上单调递增

2(炭+1)

故正确选项为A

3.【答案】B

【解析】•••这个电路是通路，.•.原件A正常工作，且元件B,C至少有一个正常工作,

其概率为尸=工义1-(1-1)(1--)3

故正确选项为B

2228

4.【答案】B

【解析】先判断充分性：。"_2+4+2=24，,。"+2-4=an-an-2,

令n=2k(keN*),则出口一。2&一%"2=…=。4一。2，；•数列｛4｝的偶数项成等差数列，

令n=2k-l(keN*),则出1一。21=。2*1一。2*-3=…=%一。1，；•数列｛4｝的奇数项成等差数列，

但数列｛4｝不一定是等差数列，如：1,1,2,2,3,3,“%_2+4+2=24(”23,〃€"*)”不是“数

列｛%｝是等差数列”的充分条件；

1

再判断必要性：若数列｛4｝是等差数列，则24=4_1+4+|=%一2；4+/；〃+2=4+字+券,

•••24=4_2+4+2，二''4.2+%+2=⑦”523,〃€"*)''是"数列｛4｝是等差数列”的必要条件；

综上，“%_2+a“+2=2a"("23,〃eN*)”是“数列｛4｝是等差数列”的必要不充分条件，故正确选项为B

5.【答案】D

【解析丁；3a=2b,3sinA=2sinB,VB=2A,3sinA=2sin2A=4sinAcosA,Ae(0,万),

3,3,1

；.sinA30,cosA=—,cosB=cos2A=2cos-A-l=2-(—)--1=—,故正确选项为D.

448

6.【答案】C

【解析】•••赤=丽.•./为AC的中点，过点A作AA垂直于y轴于点A,OF为MAC的中位线，

则AA=0,的坐标为(p,、历")，则直线/的斜率为左=§=20,故正确选项为C.

—p

2

7.【答案】A

(]/(x)=sincox+y/scoscox=2sin(6>x+—)，依题意，coa+—=—+2kji(kGZ)，cob+—=—+2k7i(keZ)

33636

,jr1

两式相减得0(b-a)=§,；匕一。="，，0=§,故正确选项为A

8.【答案】C

【解析】(方法一)设AA5C的重心为G,则AP+BP+CPMAG+BG+CG+BGPMBGP,

•.•kP+BP+CP|=3,.•.点尸的轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，

|AP|的最小值是|AG|—1=3,故正确选项为C

(方法二)以AC所在直线为x轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系，则

A(-2A/3,0),5(0,6),0(273,0),设P(x,y),•••卜「+即5+。,=3,.••点P的轨迹方程为

/+(丁—2)2=1,设圆心为G,由圆的性质可知当AP过圆心时„最小，最小值为IAP|—1=4-1=3,

故正确选项为C.

9.【答案】BD..

PN

【解析】易得经过三点的平面为一个正六边形，点P在平面外，/TT?

四点不共面，.•.选项A错误；分别连接石,P和民C-贝I]E\/：------.

平面诲即平面G3E/，截面G3E/是等腰梯形，，选项B正确；分/'F/।

Ai8

2

别取5耳，eq的中点G,。，则平面PMN即为平面QGMN,所显然不平行平面QGMN,.•.选项C

错误，同时：加,政笆加,改九二七/欣,平面打河一:平面力冲上平面尸河可一二选项口正

确.综上，正确选项为BD.

10.【答案】ABD

【解析】•••Z］为纯虚数，.•.设％=6期00),从=一,「，.♦.选项A正确；

•.•|Z2-1|=2|Z2-4|,则Z2所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，以2为半径的圆，34,归7,

...选项8正确；：21为纯虚数，；.21对应点在丁轴上(除去原点)，二,1一22|的取值范围为(3,+00),

—Z2］无最小值，选项C错误；：k-z2+3/］=@+3)，-Z2|,I，S+3),3H0)为纯虚数或0,对

应的点在y轴上(除去点(0,3))),.•.当6=-3时R—Z2+3,取得最小值3,.♦.选项D正确，故正确选

项为ABD.

11.【答案】BCD

【解析】令x=0,贝I/。)―/(—y)=2/(l)/(y)=2/(y),=;./(x)为奇函数，故选

项A不正确；

令X=y=0,则/(0)=0,令y=l,则/(x+l)_/(x_l)=2/(l_x)/(l)=2/(l_x),・.•/(%)为奇函

数.・./(I—x)=—/(X—1).•./(X+1)=—y(x—的周期为4,••.y(2024)=/(0)=0,故选项

B正确；

・・,/(%)为奇函数，，/(x)=—/(f),，/'(x)=/'(f)，，r(x)为偶函数；•••/'(x+l)=—/'(xT)

/卜―1),•・4'(为)的周期为4,且尸Q)+尸⑵+尸G)+尸⑷=o,

.•・/⑴+/")+…+/(2025)=尸⑴,V一(九)为偶函数，.•./'(x—1)=/"—%),

(无+1)=—/”—九)，.•./'(%)关于(1,0)对称，.-./,(1)=0,.-./,(1)+/,(2)++/,(2025)=0,

故选项C正确；

令x=l_y,则/⑴_/(l_2y)=2/⑴，即/⑴_/(l_2x)=2/2(x)①，令y=l-x,

则/(1)-心-1)=2尸(1-9，

由①+②得2/(x)+2/(l—x)=2/(l)—/(l—2x)—/(2x—l)=2*l)=2，r(x)+/(l—x)=l,

故选项D正确，故正确选项是BCD.

4答案】1

3

【解析】•.•圆锥曲线的离心率为2,•♦•该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在y轴上的标准形式

匚£=1,则口=-4,.心」

1］_£mn3

【解析】由题知X~B2〃,；)，.•./=(),1,0,3,0,2〃—1,0

=。C"22-1+3W22-3+…+(2〃—1)C；：T21

"TC姑,=—(<图片+……+C雷2。

(2+1『"T=%2*1+Jt22-2+c*227++c雷2】+C娼2°

(2-1广―邑/修+段""％+C雷吸Y>2°

CM-pa+C篙293+……+c^2'=^^-,.■.E(r)=^-^Y^=|+^r

四、解答题：

15.［解析］(1)/0)=」=(八+4&族=岩丝6=*>0).................................2分

2jx2y1x

1°当。20时/'(x)>0,.•./(%)在区间(0,+8)上单调递增。.....................................4分

2°当a<0时，xe(0,-」-)时，尸(尤)>0,；.f(x)单调递增

2a

XG(一-L,+oo)时，f(x)<0,:./(%)单调递减7分

2a

4

综上，当aNO时，/(x)的增区间是(0,+oo),当a<0时，/(x)的增区间是(0,-----),减区间是(----,+°°)

2a2a

...................................................................................................................................................................8分

(2)由(1)知当时，/(x)无最大值。...............................................9分

1Ir__11112?

当〃<0时，/(x)max=/(一丁)=J一ke2=不，平方有----=—,解得4=__，：.a=__............13分

2aV2a22ae4ee

16.【解析】⑴Q=fe；=£(%—如丫=-2如X+/片)=匕28；―2应.+£y；

i=li=li=li=li=li=l

n

要使残差平方和最小，当且仅当公=上一；.................................................5分

n

i=l

55

_,方(:-亍)(叱-刃)51

(2)x=t-T,y=w-w,由(1)知5=-^------=-.....--------------------=一=5.1,

zu-n210

i=li=l

・•.y关于x的经验回归方程为y=5.5,........................................................................................................10分

/.w-w=5.1（t-F）,T=3,w=14f/.w=5.1（t-7）+w=5.1t-1.3f

当r=7,w=5.1x7—1.3=34.4（万），

5分

因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆...........

17.【解析】（1）证明：-底面ABC。是菱形，.•.ACLBD,

丫平面或）u平面ABC。，:.PA±BD,

XVACPA=A,平面B4C,.PCu平面B4C,/.BD1PC,

2分

又EFLPC,PCmBDF,............................................................

・•,Dbu平面3。厂，PC±DF,EF=ED=EB=2,AZDFB=90

5分

即DB,砥，..DEL平面PBC....................................................................

（2）（方法一）由（1）知PCJ_平面D3尸，延长P4,EE,相交于点G,

则NPGF即为P4与平面BDF所成的角

APGFAPCA,:.ZPGF=ZPCA=45=45.........................................9分

过P作/AD,作DH_U于点H,连接EH,。尸，平面

PBC,..DF1BC,BCAD,lAD,:.IBC

:.DFll,又•.DH_U,上平面DFH,上FH

5

图3

.•.NDHF即为平面PBC与平面K4O的夹角£,sin，=器=|^；,“=30,

a+J3—45+30=7515分

（方法二）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，过点E且

平行外的直线为z轴建立空间直角坐标系，则

A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),£>(0,-2,0),F(-V2,0,近),

DF=(-V2,2,叵),AD=(-2A/2,-2,0)

EF±PC,EF=2,EC=2^2,:.ZACP=45,

PA=AC=4亚，:.ZAPC=45

PCI•平面皮与平面3D厂所成的角为（z=90-ZAPC=45.....................................................9分

DF_L平面PBC,.\DF是平面PBC的一个法向量，又平面R4D_L平面ABCD,

设”=(x,y,0)只需〃_LAD,则平面B4£),n-AD=(%,_y,0)(-2\^2,-2,0)=-2\[lx-2y=0

令”=(一1,应,0),则cos£=I",。尸।=班,.•.尸=30,;.a+尸=45+30=75................15分

\n\-\DF\73-2722

18.【详解】（1）设圆£的半径为r,圆£与动圆C内切于点。..一点尸在圆E内部，二点C在圆E内部.

|CE|+|CF|=|CE|+|CQ|=r=4A/2>\EF\=276,

22

.••点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为±+±=1...................................................................5分

82

（2）（方法一）联立y=x+f与椭圆方程，消y得5/+8笈+4/—8=0,

8/4/—8

设4(为%),3(%2，%)，则玉+%2=一1，xix2=---

的中垂线方程为：y——=--(x--),即、=--x+——F—@

2%2%2%2

同理可得OB的中垂线方程为:y=-三x+二+涯②

%2%2

由①②两式可得一工工+义-+丛=一追兀+%-+%

%2yl2%2%2

AOAB外接圆圆心M的横坐标xM=々飞-"J'+（%-%）X%

2区％-玉为）

6

其中x2yx-xly2=x2（xi（x2+，）=t（x2一石）

xx

—%；%+（%—%）%%=2（i+%）—（%2+力+（冗2-石）（国+力（%2+0

22

=｛x^Xx-X1X2）+^（X2一玉2）+（々一%）（玉+力（12+%）

=（%—%）［玉%2+《12+斗）+（玉+%）（12+'）］

=（x2_玉）［2再%2+2%（12+石）+/］

_（%—X]）[2为々+2/（%+%）+/]_2玉%+2《％+石）+/_X]X,t_3t8

X=-------------------------------------------=-----------------------------=-------1-X+X,H---=------------

M291

2%（九2—』）2tt2105^

10分

又「AB的中垂线方程为y—号上=—（x—七三），即y=—X—

3/R33/8

•'•圆心M的纵坐标为y——（----------）—t=-------1—,・・13分

M105t5105%

*'•圆心M在双曲线％?—y之—--上,15分

.•・存在定点c（—芋,0）,。（竽,0）,使得||“。卜|初。||=|百（定值）......................17分

（方法二）设AQ4B外接圆方程为必+/+公+冲=0,联立y=x+『与圆的方程消＞得

c2/c1\2cr[2/+d+e8/+ct4产—8

2x+（2/+d+e）%+1+e/=0,贝！J%+%=----------------——~,再々=———————

,,16/28/一165/日,3t163t16、人有、1尸位、

2%+d+e=—，t+et-----------，解倚d=—I------，c—----------，设圆心坐标为y）,

5555t55t

ed3t83t8

则%=——=---------,V=------H——，.......................................................................................13分

2105t105t

4848