新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

高一数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A.4 B. C. D.2.欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作.若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（）A. B. C. D.3.已知a，，，则（）A. B.2 C.1 D.4.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（）A.86，84 B.84.5，85 C.85，84 D.86.5，845.在中，，，则（）A. B.C. D.6.在长方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则（）A. B. C. D.7.已知矩形的对角线长为1，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.8.有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件M为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件N为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件M，N的对立事件分别为，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B.的周长为C. D.外接圆的面积为10.已知平面向量，，，则下列结论正确的是（）A.，一定可以作为一个基底B.一定有最小值C.一定存在一个实数m，使得D.若，则在上的投影向量的坐标为11.在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则（）A.边在上的射影长为 B.边在上的射影长为C.B，C两点在平面的同一侧 D.B，C两点在平面的两侧三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，方程的一个根为，则______.13.已知正方体的棱长为1，点B到平面的距离为______.14.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，B的角平分线交于点D，边上的高为，边上的高为，与相交于点P，与相交于点R，与相交于点Q，则______，______.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数，.（1）若z是纯虚数，求m；（2）在复平面内，z对应的点位于第三象限，求m的取值范围.16.（15分）某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）求样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）；（3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”，试估计全年级“地理爱好者”人数.17.（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.（1）求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率；（2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.18.（17分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，M为的中点.（1）若平面与平面的交线为l，证明：.（2）证明：平面平面.（3）若，，求二面角的正切值.19.（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）若，，求角C；（2）若为锐角三角形，设，求的取值范围.高一数学试卷参考答案1.A因为，所以，解得.2.A将著作《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》分别记为“几”“光”“曲”“数”，则从这4部著作中任意抽取2部的所有情况有（几，光），（几，曲），（几，数），（光，曲），（光，数），（曲，数），共6种，抽到《光学》的情况有（几，光），（光，曲），（光，数），共3种，所以抽到《光学》的概率为.3.D因为，所以，所以解得4.D将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数，因为84出现了三次，所以众数为84，故选D.5.C.6.B如图，连接，因为平面，所以，由直线与平面所成角的定义知，.又，所以由异面直线所成角的定义知，在中，可知.7.B由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.记矩形中心为O，由矩形的性质知点O在翻折过程中到四个顶点的距离相等，即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则.8.C由题可知，①既是奇函数又是偶函数，②是奇函数，③是奇函数，④是偶函数，⑤是非奇非偶函数，⑥是非奇非偶函数.所以，，，A错误.，，，B错误.因为，所以，C正确.，，D错误.9.ABD由，得，解得或（舍去），所以的周长为，A正确，B正确.因为，所以，解得，C错误.设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确.10.BCD对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误.对于B，因为，所以，B正确.对于C，由，得，解得，C正确.对于D，当时，，则，D正确.11.BD设B，C在平面上的射影分别为，，因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，.当B，C在的同一侧时，在上的射影，此时，A，C错误；当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确.12.因为的一个根为，所以方程的另一个根为，结合韦达定理可得.13.设点B到平面的距离为h，由，得，解得.14.60°；在直角三角形中，由于是角平分线，，所以.在直角三角形中，，所以，所以是正三角形.在直角三角形中，，，所以，又，所以是等腰三角形，且底角，.由余弦定理得，所以，即.在直角三角形中，.在直角三角形中，由，得，所以，.15.解：（1）因为z是纯虚数，所以……3分所以解得.……6分（2）因为z对应的点位于第三象限，所以……10分所以解得m的取值范围是.……13分16.解：（1）由题意得，解得.……5分（2），中位数在这一组.……6分设中位数的估计值为x，则，解得，即样本成绩的中位数约为81.4.……10分（3）全年级“地理爱好者”约有人.……15分17.解：设甲、乙、丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件A，B，C.……1分（1）因为，所以.……2分又，所以，即.……5分又，所以，即乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.……7分（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件D，……8分则……11分，……14分所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.……15分18.（1）证明：因为四边形为菱形，所以.因为平面，平面，所以平面.……2分又因为平面，平面与平面的交线为l，所以.……4分（2）证明：因为底面是菱形，所以.……5分又因为平面，平面，所以.……7分又，，平面，所以平面.……8分因为平面，所以平面平面.……9分（3）解：设与交于点O，连接，过点O作于点H，连接.因为M为的中点，O为的中点，所以.……10分因为平面，平面，所以，则.……11分因为平面平面，为两个平面的交线，所以平面.……12分又平面，所以.因为，，，平面，所以平面.……14分又平面，所以，则为二面角的平面角.……15分因为平面，且，所以，，所以，，.……16分因为平面，平面，所以，所以在中，，即二面角的正切值为.……17分19.解：（1）（法一）由得，代入，得，即，……1分即.……2分由正弦定理得，即，……3分即，所以.……4分因为，所以，，……5分